Math ClubMath Club
v1 · padrão canônico

Lição 46 — TVI e Taxa de Variação Média

Teorema do Valor Intermediário (existência de raízes, bisseção) e Taxa de Variação Média (inclinação da secante, ponte para a derivada).

Used in: 2.º ano do EM (cálculo intro) · Equiv. Math II japonês §5 · Equiv. Analysis/Klasse 11 alemã

TVM[a,b]=f(b)−f(a)b−a\text{TVM}_{[a,b]} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

A Taxa de Variação Média de ff no intervalo [a,b][a, b] é a inclinação da reta secante que passa pelos pontos (a, f(a))(a,\, f(a)) e (b, f(b))(b,\, f(b)). Quando b→ab \to a, essa taxa se aproxima da taxa de variação instantânea — a derivada.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definições e teoremas

Teorema do Valor Intermediário (TVI)

"Se ff é contínua em [a,b][a, b] e kk é qualquer valor entre f(a)f(a) e f(b)f(b), então existe pelo menos um número cc em (a,b)(a, b) tal que f(c)=kf(c) = k." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.4, Theorem 2.13

Corolário (existência de raiz). Se f∈C([a,b])f \in C([a, b]) e f(a)⋅f(b)<0f(a) \cdot f(b) < 0, então existe c∈(a,b)c \in (a, b) com f(c)=0f(c) = 0.

f(a)⋅f(b)<0  ⟹  ∃ c∈(a,b):f(c)=0f(a) \cdot f(b) < 0 \implies \exists\, c \in (a,b) : f(c) = 0
what this means · Produto negativo equivale a sinais opostos: f(a) e f(b) estão em lados opostos de zero, logo f precisa cruzar zero em algum ponto interior.

Demonstração (esboço via completude). Suponha f(a)<0<f(b)f(a) < 0 < f(b). Defina S={x∈[a,b]:f(x)<0}S = \{x \in [a, b] : f(x) < 0\}. O conjunto SS é não-vazio (a∈Sa \in S) e limitado superiormente por bb. Por completude de R\mathbb{R}, existe c=sup⁡S∈[a,b]c = \sup S \in [a, b]. Por continuidade de ff, se f(c)≠0f(c) \neq 0 obtém-se contradição. Logo f(c)=0f(c) = 0. □\square

Por que a continuidade é indispensável. A função de Heaviside H(x)=0H(x) = 0 se x<0x < 0 e H(x)=1H(x) = 1 se x≥0x \geq 0 satisfaz H(−1)=0H(-1) = 0 e H(1)=1H(1) = 1, mas nunca assume 1/21/2 — pois tem um salto em x=0x = 0 e não é contínua lá.

Método da Bisseção

Dado f∈C([a,b])f \in C([a, b]) com f(a)f(b)<0f(a)f(b) < 0, a bisseção localiza a raiz iterativamente. A cada passo, calcula-se o ponto médio e guarda-se a metade onde ff muda de sinal:

mn=an+bn2,∣c−mn∣≤b−a2n+1m_n = \frac{a_n + b_n}{2}, \qquad |c - m_n| \leq \frac{b - a}{2^{n+1}}
what this means · A cada iteração, o ponto médio m_n subdivide o intervalo atual. O erro cai pela metade a cada passo — convergência garantida e quantificável.

Para precisão ε\varepsilon, são necessárias n≥⌈log⁡2((b−a)/ε)⌉−1n \geq \lceil \log_2((b-a)/\varepsilon) \rceil - 1 iterações.

Taxa de Variação Média (TVM)

"A taxa de variação média de ff ao longo do intervalo [a,b][a, b] é AV[a,b]=f(b)−f(a)b−a\text{AV}_{[a,b]} = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}. Geometricamente, a taxa de variação média representa a inclinação da reta que passa pelos pontos (a,f(a))(a, f(a)) e (b,f(b))(b, f(b))." — Active Calculus, §1.1, Definition 1.1.4

A notação com h=b−ah = b - a é equivalente:

TVM=f(a+h)−f(a)h,h=b−a≠0\text{TVM} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}, \quad h = b - a \neq 0
what this means · Substituindo b = a + h, a TVM fica expressa em termos do incremento h. Quando h → 0, essa expressão define a derivada — a taxa de variação instantânea.

Passagem ao limite. Se ff é diferenciável em aa:

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=lim⁡b→af(b)−f(a)b−af'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{b \to a} \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

xy(a, f(a))(b, f(b))secante: inclinação = TVMab

A reta secante liga (a, f(a)) a (b, f(b)). Sua inclinação é a TVM. Quando b → a, a secante converge para a reta tangente em a, cuja inclinação é f'(a).

Exemplos resolvidos

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 4Modeling 10Challenge 3Proof 1
  1. Ex. 46.1Application

    Mostre, usando o TVI, que f(x)=x3−x−1f(x) = x^3 - x - 1 tem pelo menos uma raiz real no intervalo (1,2)(1, 2). Que propriedade de ff é necessária? Justifique nos passos.

    OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · Example 2.38 · p. 178
    Show solution
    $f(x) = x^3 - x - 1$ é polinômio, logo contínua. f(1)=−1<0f(1) = -1 < 0 e f(2)=5>0f(2) = 5 > 0. Como $f$ muda de sinal em $[1, 2]$, o TVI garante existência de $c \in (1, 2)$ com $f(c) = 0$.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique $f$: f(x)=x3−x−1f(x) = x^3 - x - 1. Por quê: a equação já está na forma $f(x) = 0$.
    2. Continuidade: $f$ é polinômio, logo contínua em todo R\mathbb{R}. Por quê: polinômios são contínuos — sem saltos, sem buracos.
    3. Calcule f(1)=1−1−1=−1<0f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 < 0 e f(2)=8−2−1=5>0f(2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0. Por quê: precisamos dos sinais nos extremos.
    4. Conclua: f(1)⋅f(2)=−5<0f(1) \cdot f(2) = -5 < 0 — sinais opostos. TVI garante c∈(1,2)c \in (1, 2) com f(c)=0f(c) = 0. Macete: produto negativo = mudança de sinal = raiz garantida.
  2. Ex. 46.2Application

    Em qual intervalo de comprimento 1 a função f(x)=x3−2x−5f(x) = x^3 - 2x - 5 tem raiz, garantida pelo TVI? (Resp: (2,3)(2, 3).)

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · Example 2.38 variant · p. 178
    Show solution
    f(x)=x3−2x−5f(x) = x^3 - 2x - 5. Testar f(2)=8−4−5=−1<0f(2) = 8 - 4 - 5 = -1 < 0 e f(3)=27−6−5=16>0f(3) = 27 - 6 - 5 = 16 > 0. Mudança de sinal em (2,3)(2, 3). Resp: D.
  3. Ex. 46.3Application

    A equação cos⁡x=x\cos x = x tem solução em (0,π/2)(0, \pi/2)? (Resp: Sim.)

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · Example 2.39 · p. 179
    Show solution
    Defina f(x)=cos⁡x−xf(x) = \cos x - x. f(0)=1>0f(0) = 1 > 0. f(π/2)≈−1,57<0f(\pi/2) \approx -1{,}57 < 0. Mudança de sinal, $f$ contínua. TVI garante $c \in (0, \pi/2)$ com $\cos c = c$.
  4. Ex. 46.4Application

    Mostre que a equação ex+x=3e^x + x = 3 tem solução no intervalo (0,1)(0, 1). Defina ff adequadamente, verifique a continuidade e aplique o TVI.

    OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · Checkpoint 2.30 · p. 180
    Show solution
    Defina f(x)=ex+x−3f(x) = e^x + x - 3. f(0)=1+0−3=−2<0f(0) = 1 + 0 - 3 = -2 < 0. f(1)=e+1−3≈0,72>0f(1) = e + 1 - 3 \approx 0{,}72 > 0. Mudança de sinal em [0,1][0, 1], ff contínua. Por TVI, existe c∈(0,1)c \in (0, 1) com ec+c=3e^c + c = 3.
  5. Ex. 46.5ApplicationAnswer key

    O TVI garante raiz de f(x)=x5+x3−1f(x) = x^5 + x^3 - 1 em (0,1)(0, 1)? (Resp: Sim.)

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineActive Calculus · §1.1 · Exercise 1.1.2 · p. 2
    Show solution
    f(x)=x5+x3−1f(x) = x^5 + x^3 - 1. f(0)=−1<0f(0) = -1 < 0. f(1)=1+1−1=1>0f(1) = 1 + 1 - 1 = 1 > 0. Mudança de sinal, $f$ contínua. TVI garante raiz em $(0, 1)$.
  6. Ex. 46.6Understanding

    Todo polinômio de grau ímpar tem ao menos uma raiz real. Por quê?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · Exercise 2.173 · p. 181
    Show solution
    Para P(x)=anxn+…P(x) = a_n x^n + \ldots com nn ímpar e an>0a_n > 0: P(x)→+∞P(x) \to +\infty quando x→+∞x \to +\infty e P(x)→−∞P(x) \to -\infty quando x→−∞x \to -\infty. Logo PP muda de sinal e, por TVI (contínua), tem raiz real. Se an<0a_n < 0, os sinais se invertem mas a conclusão é a mesma.
  7. Ex. 46.7Application

    Mostre que a equação ln⁡x=e−x\ln x = e^{-x} tem solução no intervalo (1,e)(1, e).

    OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · Example 2.40 · p. 179
    Show solution
    Defina f(x)=ln⁡x−e−xf(x) = \ln x - e^{-x}. f(1)=0−e−1≈−0,37<0f(1) = 0 - e^{-1} \approx -0{,}37 < 0. f(e)=1−e−e≈0,93>0f(e) = 1 - e^{-e} \approx 0{,}93 > 0. Mudança de sinal, ff contínua em [1,e][1, e]. TVI garante c∈(1,e)c \in (1, e) com ln⁡c=e−c\ln c = e^{-c}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Reformule: f(x)=ln⁡x−e−xf(x) = \ln x - e^{-x}. Por quê: converter equação em problema de raiz.
    2. f(1)=ln⁡1−e−1=0−0,368=−0,368<0f(1) = \ln 1 - e^{-1} = 0 - 0{,}368 = -0{,}368 < 0. Extremo esquerdo negativo.
    3. f(e)=ln⁡e−e−e=1−0,066=0,934>0f(e) = \ln e - e^{-e} = 1 - 0{,}066 = 0{,}934 > 0. Por quê: $\ln e = 1$ por definição do logaritmo natural.
    4. Mudança de sinal + continuidade de ff em [1,e][1, e] → TVI garante cc com ln⁡c=e−c\ln c = e^{-c}. Macete: ln⁡\ln e e−xe^{-x} são contínuas para x>0x > 0, logo ff também é.
  8. Ex. 46.8Understanding

    Se f(a)f(a) e f(b)f(b) têm o mesmo sinal, podemos concluir que ff não tem raiz em (a,b)(a, b)?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · Exercise 2.174 · p. 181
    Show solution
    Se f(a)f(b)>0f(a)f(b) > 0, o TVI não se aplica — mas podem existir raízes. Exemplo: f(x)=(x−1)2f(x) = (x-1)^2 em [0,2][0, 2]. f(0)=1>0f(0) = 1 > 0, f(2)=1>0f(2) = 1 > 0 (mesmo sinal), mas x=1x = 1 é raiz dupla. O TVI é condição suficiente, não necessária para existência de raízes.
  9. Ex. 46.9ChallengeAnswer key

    ff é contínua em [0,1][0, 1] com f(0)=f(1)f(0) = f(1). Mostre que existe c∈[0,1/2]c \in [0, 1/2] com f(c)=f(c+1/2)f(c) = f(c + 1/2). Dica: defina g(x)=f(x)−f(x+1/2)g(x) = f(x) - f(x + 1/2) e aplique TVI.

    Solve onlineActive Calculus · §1.1 · Exercise 1.1.6 (adapted) · p. 4
    Show solution
    Defina $g(x) = f(x) - f(x + 1/2)$ em $[0, 1/2]$. $g(0) = f(0) - f(1/2)$ e $g(1/2) = f(1/2) - f(1)$. Somando: $g(0) + g(1/2) = f(0) - f(1) = 0$, logo $g(0) = -g(1/2)$. Se $g \not\equiv 0$, então $g$ muda de sinal. Por TVI (g contínua em $[0, 1/2]$), existe $c \in [0, 1/2]$ com $g(c) = 0$, i.e., $f(c) = f(c + 1/2)$.
  10. Ex. 46.10ApplicationAnswer key

    Aplique o TVI para mostrar que f(x)=x4−2x−1f(x) = x^4 - 2x - 1 tem ao menos uma raiz em cada um dos intervalos (−1,0)(-1, 0) e (1,2)(1, 2).

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · Checkpoint 2.31 · p. 180
    Show solution
    $f(x) = x^4 - 2x - 1$. Em $(-1, 0)$: f(−1)=1+2−1=2>0f(-1) = 1 + 2 - 1 = 2 > 0 e f(0)=−1<0f(0) = -1 < 0 — raiz em $(-1, 0)$. Em $(1, 2)$: f(1)=1−2−1=−2<0f(1) = 1 - 2 - 1 = -2 < 0 e f(2)=16−4−1=11>0f(2) = 16 - 4 - 1 = 11 > 0 — raiz em $(1, 2)$ também. Total: ao menos 2 raízes reais.
  11. Ex. 46.11ApplicationAnswer key

    Aplique 1 iteração da bisseção a f(x)=x3−x−1f(x) = x^3 - x - 1 em [1,2][1, 2]. Qual é o novo intervalo? (Resp: [1;  1,5][1;\; 1{,}5].)

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineREAMAT — Cálculo Numérico · §3.1 · Exemplo 3.1 · p. 45
    Show solution
    m=(1+2)/2=1,5m = (1 + 2)/2 = 1{,}5. f(1,5)=3,375−1,5−1=0,875>0f(1{,}5) = 3{,}375 - 1{,}5 - 1 = 0{,}875 > 0. Como f(1)=−1<0f(1) = -1 < 0 e f(1,5)>0f(1{,}5) > 0, a raiz está em [1;  1,5][1;\; 1{,}5]. Resp: A.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule m1=(1+2)/2=1,5m_1 = (1 + 2)/2 = 1{,}5. Por quê: bisseção divide o intervalo ao meio.
    2. Avalie f(1,5)=(1,5)3−1,5−1=3,375−2,5=0,875>0f(1{,}5) = (1{,}5)^3 - 1{,}5 - 1 = 3{,}375 - 2{,}5 = 0{,}875 > 0.
    3. f(1)=−1<0f(1) = -1 < 0 e f(1,5)=0,875>0f(1{,}5) = 0{,}875 > 0 — mudança de sinal na metade esquerda.
    4. Novo intervalo: [1;  1,5][1;\; 1{,}5]. Macete: guarda sempre a metade onde os sinais são opostos.
  12. Ex. 46.12ApplicationAnswer key

    Após a 2.ª iteração da bisseção de f(x)=x3−x−1f(x) = x^3 - x - 1 em [1,2][1, 2], qual é o intervalo? (Resp: [1,25;  1,5][1{,}25;\; 1{,}5].)

    Solve onlineREAMAT — Cálculo Numérico · §3.1 · Exemplo 3.1 continuação · p. 45
    Show solution
    Após a iteração 1 temos [1;  1,5][1;\; 1{,}5]. Iteração 2: m2=(1+1,5)/2=1,25m_2 = (1 + 1{,}5)/2 = 1{,}25. f(1,25)=1,953−1,25−1=−0,297<0f(1{,}25) = 1{,}953 - 1{,}25 - 1 = -0{,}297 < 0. Como f(1,25)<0<f(1,5)f(1{,}25) < 0 < f(1{,}5), novo intervalo: [1,25;  1,5][1{,}25;\; 1{,}5].
  13. Ex. 46.13Application

    Qual é o erro máximo após 3 iterações da bisseção em [1,2][1, 2]? (Resp: 0,1250{,}125.)

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineREAMAT — Cálculo Numérico · §3.1 · Proposição 3.1 · p. 47
    Show solution
    Após $n$ iterações em $[a, b]$, o erro máximo é $(b - a)/2^n$. Para $n = 3$ e $[1, 2]$ (comprimento 1): erro ≤1/23=1/8=0,125\leq 1/2^3 = 1/8 = 0{,}125. Resp: C.
  14. Ex. 46.14Application

    Quantas iterações da bisseção em [1,2][1, 2] são necessárias para garantir erro menor que 10−510^{-5}? Mostre o cálculo. (Resp: 17.)

    Solve onlineREAMAT — Cálculo Numérico · §3.1 · Exercício 3.1 · p. 48
    Show solution
    Erro ≤(b−a)/2n<10−5\leq (b-a)/2^n < 10^{-5}. Com $b - a = 1$: 2n>1052^n > 10^5. n>log⁡2(105)=5log⁡210≈5×3,322=16,6n > \log_2(10^5) = 5\log_2 10 \approx 5 \times 3{,}322 = 16{,}6. Logo $n \geq 17$ iterações.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Escreva a condição: (b−a)/2n<10−5(b - a)/2^n < 10^{-5}. Por quê: fórmula do erro de bisseção.
    2. Com $b - a = 1$: 2n>1052^n > 10^5. Por quê: isolar $2^n$.
    3. Aplique $\log_2$: n>log⁡2(105)=5log⁡210≈16,6n > \log_2(10^5) = 5 \log_2 10 \approx 16{,}6.
    4. Arredonde para cima: $n \geq 17$. Macete: cada dígito decimal de precisão custa log⁡210≈3,32\log_2 10 \approx 3{,}32 iterações.
  15. Ex. 46.15Modeling

    A equação x⋅2x=1x \cdot 2^x = 1 tem solução no intervalo (0,1)(0, 1)? (Resp: Sim.)

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineActive Calculus · §1.1 · Exercise 1.1.3 · p. 5
    Show solution
    $f(x) = x \cdot 2^x - 1$. f(0)=0⋅1−1=−1<0f(0) = 0 \cdot 1 - 1 = -1 < 0. f(1)=1⋅2−1=1>0f(1) = 1 \cdot 2 - 1 = 1 > 0. Mudança de sinal, $f$ contínua. TVI garante raiz em $(0, 1)$.
  16. Ex. 46.16ApplicationAnswer key

    Quantas iterações de bisseção em [1,2][1, 2] garantem erro menor que 10−610^{-6}? (Resp: 20.)

    Solve onlineREAMAT — Cálculo Numérico · §3.1 · Exercício 3.2 · p. 48
    Show solution
    Erro ≤1/2n<10−6\leq 1/2^n < 10^{-6}. 2n>1062^n > 10^6. n>6log⁡210≈19,93n > 6\log_2 10 \approx 19{,}93. Logo $n \geq 20$ iterações.
  17. Ex. 46.17Challenge

    Aplique 4 iterações de bisseção a f(x)=cos⁡x−xf(x) = \cos x - x em [0,π/2][0, \pi/2]. Execute os cálculos no papel e escreva o intervalo resultante em cada iteração.

    Solve onlineActive Calculus · §1.1 · Exercise 1.1.4 (adapted) · p. 5
    Show solution
    $f(x) = \cos x - x$ em $[0, \pi/2]$. It. 1: m=π/4≈0,785m = \pi/4 \approx 0{,}785, f(0,785)=cos⁡(0,785)−0,785≈0,707−0,785=−0,078<0f(0{,}785) = \cos(0{,}785) - 0{,}785 \approx 0{,}707 - 0{,}785 = -0{,}078 < 0. Raiz em [0;  0,785][0;\; 0{,}785]. It. 2: m=0,393m = 0{,}393, f(0,393)=cos⁡(0,393)−0,393≈0,924−0,393=0,531>0f(0{,}393) = \cos(0{,}393) - 0{,}393 \approx 0{,}924 - 0{,}393 = 0{,}531 > 0. Raiz em [0,393;  0,785][0{,}393;\; 0{,}785]. Após 4 iterações o intervalo contém c≈0,739c \approx 0{,}739.
  18. Ex. 46.18Modeling

    A Taxa Interna de Retorno (TIR) de um projeto é definida como NPV(r)=0\text{NPV}(r) = 0. O TVI e a bisseção podem ser usados para localizá-la?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineActive Calculus · §1.1 · Exercise 1.1.5 (adapted) · p. 3
    Show solution
    A TIR é a solução de NPV(r)=0\text{NPV}(r) = 0. NPV(r)=∑t=0nCt/(1+r)t\text{NPV}(r) = \sum_{t=0}^{n} C_t/(1+r)^t é contínua em r>−1r > -1. Se NPV(r1)>0\text{NPV}(r_1) > 0 e NPV(r2)<0\text{NPV}(r_2) < 0 para r1<r2r_1 < r_2, o TVI garante existência de TIR em $(r_1, r_2)$, que pode ser localizada por bisseção.
  19. Ex. 46.19ApplicationAnswer key

    Calcule a TVM de f(x)=x2+3f(x) = x^2 + 3 em [1,4][1, 4]. (Resp: 5.)

    Solve onlineActive Calculus · §1.1 · Exercise 1.1.7 · p. 6
    Show solution
    $f(x) = x^2 + 3$. $f(1) = 1 + 3 = 4$. $f(4) = 16 + 3 = 19$. TVM $= (19 - 4)/(4 - 1) = 15/3 = 5$.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule $f(1) = 1^2 + 3 = 4$ e $f(4) = 4^2 + 3 = 19$. Por quê: precisamos dos valores nos extremos do intervalo.
    2. Aplique a fórmula: TVM $= (f(4) - f(1))/(4 - 1) = (19 - 4)/3 = 15/3 = 5$.
    3. Interprete: quando $x$ vai de 1 a 4, $f$ aumenta 15 unidades em 3 unidades de $x$ — taxa média de 5 por unidade. Macete: TVM = inclinação da reta secante.
  20. Ex. 46.20Application

    Calcule a TVM de f(x)=−x2+4xf(x) = -x^2 + 4x em [2,4][2, 4]. (Resp: −2-2.)

    Solve onlineActive Calculus · §1.1 · Exercise 1.1.8 · p. 6
    Show solution
    $f(x) = -x^2 + 4x$. $f(2) = -4 + 8 = 4$. $f(4) = -16 + 16 = 0$. TVM $= (0 - 4)/(4 - 2) = -4/2 = -2$.
  21. Ex. 46.21Application

    Calcule a TVM de f(x)=2x2+1f(x) = 2x^2 + 1 em [2,4][2, 4]. (Resp: 12.)

    Solve onlineActive Calculus · §1.1 · Exercise 1.1.9 · p. 7
    Show solution
    $f(x) = 2x^2 + 1$. $f(2) = 8 + 1 = 9$. $f(4) = 32 + 1 = 33$. TVM $= (33 - 9)/(4 - 2) = 24/2 = 12$.
  22. Ex. 46.22ApplicationAnswer key

    Calcule a TVM de f(x)=x2f(x) = x^2 no intervalo [2,2+h][2, 2+h] (com h≠0h \neq 0). (Resp: 4+h4 + h.)

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineActive Calculus · §1.3 · Example 1.3.1 · p. 28
    Show solution
    $f(x) = x^2$. TVM em $[2, 2+h]$: (2+h)2−4h=4+4h+h2−4h=4h+h2h=4+h\dfrac{(2+h)^2 - 4}{h} = \dfrac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} = \dfrac{4h + h^2}{h} = 4 + h. Resp: A.
    Show step-by-step (with the why)
    1. $f(2) = 4$, $f(2+h) = (2+h)^2 = 4 + 4h + h^2$. Por quê: expandir com produto notável $(a+b)^2$.
    2. TVM =(4+4h+h2)−4h=4h+h2h= \dfrac{(4 + 4h + h^2) - 4}{h} = \dfrac{4h + h^2}{h}.
    3. Fatorar $h$: h(4+h)h=4+h\dfrac{h(4 + h)}{h} = 4 + h (válido para $h \neq 0$). Macete: quando $h \to 0$, TVM $\to 4 = f'(2)$.
  23. Ex. 46.23Application

    Calcule a TVM de f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x no intervalo [0,h][0, h] com h≠0h \neq 0. (Resp: 1+h1 + h.)

    Solve onlineActive Calculus · §1.3 · Exercise 1.3.1 · p. 29
    Show solution
    $f(x) = x^2 + x$. $f(0) = 0$. $f(h) = h^2 + h$. TVM $= (h^2 + h - 0)/h = h + 1 = 1 + h$.
  24. Ex. 46.24Application

    Calcule a TVM de f(x)=xf(x) = \sqrt{x} em [1,3][1, 3]. Deixe a resposta na forma exata. (Resp: (3−1)/2(\sqrt{3}-1)/2.)

    Solve onlineActive Calculus · §1.1 · Exercise 1.1.10 · p. 8
    Show solution
    f(x)=xf(x) = \sqrt{x}. $f(1) = 1$, f(3)=3f(3) = \sqrt{3}. TVM =(3−1)/(3−1)=(3−1)/2≈0,366= (\sqrt{3} - 1)/(3 - 1) = (\sqrt{3} - 1)/2 \approx 0{,}366.
  25. Ex. 46.25Application

    Calcule a TVM de f(x)=1/xf(x) = 1/x em [1/2,1][1/2, 1]. (Resp: −2-2.)

    Solve onlineActive Calculus · §1.1 · Exercise 1.1.11 · p. 8
    Show solution
    $f(x) = 1/x$. $f(1/2) = 2$, $f(1) = 1$. TVM $= (1 - 2)/(1 - 1/2) = (-1)/(1/2) = -2$.
    Show step-by-step (with the why)
    1. $f(1/2) = 1/(1/2) = 2$ e $f(1) = 1$. Por quê: avaliar nos extremos do intervalo $[1/2, 1]$.
    2. TVM $= (f(1) - f(1/2))/(1 - 1/2) = (1 - 2)/(1/2) = -1 \div (1/2) = -2$.
    3. Interpretação: $f(x) = 1/x$ decresce rapidamente próximo de zero; a taxa média nesse intervalo é $-2$ por unidade de $x$. Curiosidade: quando $x \to 0^+$, a TVM $\to -\infty$, refletindo o polo de $1/x$.
  26. Ex. 46.26Application

    A posição de um objeto é s(t)=5t2s(t) = 5t^2 metros (tt em segundos). Qual é a velocidade média no intervalo [1,4][1, 4] s? (Resp: 25 m/s.)

    Solve onlineActive Calculus · §1.1 · Preview Activity 1.1.2 · p. 9
    Show solution
    $s(t) = 5t^2$. $s(1) = 5$ m. $s(4) = 80$ m. TVM $= (80 - 5)/(4 - 1) = 75/3 = 25$ m/s. Interpretação: velocidade média de 25 m/s no intervalo $[1, 4]$ s.
  27. Ex. 46.27Application

    Calcule a TVM de f(x)=x2f(x) = x^2 no intervalo [a,a+h][a, a+h] em função de aa e hh. O que acontece quando h→0h \to 0? (Resp: 2a+h2a + h; limite é f′(a)=2af'(a) = 2a.)

    Solve onlineActive Calculus · §1.3 · Example 1.3.2 · p. 30
    Show solution
    $f(x) = x^2$. TVM em $[a, a+h]$: (a+h)2−a2h=2ah+h2h=2a+h\dfrac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \dfrac{2ah + h^2}{h} = 2a + h. Quando $h \to 0$: $2a = f'(a)$.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Expanda: $f(a+h) = (a+h)^2 = a^2 + 2ah + h^2$. Por quê: produto notável.
    2. TVM =a2+2ah+h2−a2h=2ah+h2h= \dfrac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \dfrac{2ah + h^2}{h}. Numerador: a diferença cancela $a^2$.
    3. Fatore $h$: TVM $= 2a + h$. Por quê: $h \neq 0$, então $h/h = 1$.
    4. Quando $h \to 0$: TVM $\to 2a = f'(a)$. Insight: este é o cálculo que define a derivada de $x^2$.
  28. Ex. 46.28ApplicationAnswer key

    Calcule a TVM de f(x)=1/xf(x) = 1/x no intervalo [a,a+h][a, a+h] em função de aa e hh. (Resp: −1/(a(a+h))-1/(a(a+h)); limite é −1/a2-1/a^2.)

    Solve onlineActive Calculus · §1.3 · Exercise 1.3.2 · p. 31
    Show solution
    $f(x) = 1/x$. $f(a+h) - f(a) = 1/(a+h) - 1/a = (a - (a+h))/(a(a+h)) = -h/(a(a+h))$. TVM $= [-h/(a(a+h))]/h = -1/(a(a+h))$. Quando $h \to 0$: TVM $\to -1/a^2 = f'(a)$.
  29. Ex. 46.29Modeling

    A posição de uma partícula é s(t)=t2+ts(t) = t^2 + t metros (tt em segundos). Qual a velocidade média no intervalo [2,5][2, 5] s? (Resp: 8 m/s.)

    Solve onlineActive Calculus · §1.1 · Activity 1.1.3 (adapted) · p. 12
    Show solution
    $s(t) = t^2 + t$. $s(2) = 4 + 2 = 6$. $s(5) = 25 + 5 = 30$. TVM $= (30 - 6)/(5 - 2) = 24/3 = 8$ m/s. Interpretação: velocidade média de 8 m/s entre $t = 2$ s e $t = 5$ s.
  30. Ex. 46.30Modeling

    A temperatura de uma cidade às 0h era 27 ∘27\,^\circC e às 6h era 15 ∘15\,^\circC. Qual foi a taxa de variação média da temperatura no período? (Resp: −2 ∘-2\,^\circC/h.)

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.1 · Example 2.1 (adapted) · p. 134
    Show solution
    TVM $= (T(6) - T(0))/(6 - 0) = (15 - 27)/6 = -12/6 = -2\,^\circ$C/h. A temperatura caiu 12 graus em 6 horas — em média 2 graus por hora.
  31. Ex. 46.31Modeling

    A função de custo de produção é C(q)C(q) (em R$). C(100)=1.000C(100) = 1{.}000 e C(200)=1.500C(200) = 1{.}500. Qual é o custo marginal médio de produzir entre 100 e 200 unidades?

    Solve onlineActive Calculus · §1.1 · Exercise 1.1.14 (adapted) · p. 13
    Show solution
    Custo marginal médio =(C(200)−C(100))/(200−100)=(1.500−1.000)/100=500/100== (C(200) - C(100))/(200 - 100) = (1{.}500 - 1{.}000)/100 = 500/100 = R\$ 5,00 por unidade.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique $f = C$ (custo), $a = 100$, $b = 200$.
    2. TVM =(C(200)−C(100))/(200−100)=(1.500−1.000)/100= (C(200) - C(100))/(200 - 100) = (1{.}500 - 1{.}000)/100.
    3. $= 500/100 =$ R\ 5,00 por unidade. <em>Interpretação:</em> cada unidade adicional produzida nessa faixa custa em média R\ 5,00 — é o custo marginal médio.
    4. Conexão: quando a escala de produção $\to 0$, o custo marginal médio converge para o custo marginal instantâneo $C'(q)$ — a derivada do custo.
  32. Ex. 46.32Modeling

    A altura de um objeto em queda livre é h(t)=−4,9t2+20h(t) = -4{,}9t^2 + 20 metros. Qual é a velocidade média no intervalo [0,3][0, 3] s? (Resp: −14,7-14{,}7 m/s.)

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.1 · Example 2.2 · p. 135
    Show solution
    h(t)=−4,9t2+20h(t) = -4{,}9t^2 + 20 m. $h(0) = 20$ m. h(3)=−4,9×9+20=−44,1+20=−24,1h(3) = -4{,}9 \times 9 + 20 = -44{,}1 + 20 = -24{,}1 m. TVM =(−24,1−20)/3=−44,1/3=−14,7= (-24{,}1 - 20)/3 = -44{,}1/3 = -14{,}7 m/s. O sinal negativo indica queda.
  33. Ex. 46.33Modeling

    A população de uma cidade era 1.000.000 em 2020 e 1.030.000 em 2030. Qual foi a taxa de variação média anual da população? (Resp: 3.000 hab./ano.)

    Solve onlineActive Calculus · §1.1 · Exercise 1.1.15 (adapted) · p. 14
    Show solution
    TVM =(P(2030)−P(2020))/(2030−2020)=(1.030.000−1.000.000)/10=30.000/10=3.000= (P(2030) - P(2020))/(2030 - 2020) = (1{.}030{.}000 - 1{.}000{.}000)/10 = 30{.}000/10 = 3{.}000 hab./ano.
  34. Ex. 46.34Modeling

    Para s(t)=5t2s(t) = 5t^2 m, calcule a TVM no intervalo [1,1+h][1, 1+h] em função de hh. O que acontece quando h→0h \to 0? (Resp: 10+5h10 + 5h; limite é 10 m/s.)

    Solve onlineActive Calculus · §1.1 · Activity 1.1.2 · p. 10
    Show solution
    TVM $= (s(t_2) - s(t_1))/(t_2 - t_1)$. Em $[1, 1+h]$: $s(1) = 5$, $s(1+h) = 5(1+h)^2 = 5 + 10h + 5h^2$. TVM $= (5 + 10h + 5h^2 - 5)/h = 10 + 5h$. Quando $h \to 0$: TVM $\to 10$ m/s $= s'(1)$.
  35. Ex. 46.35ModelingAnswer key

    Uma ação foi comprada por R$ 100 e vendida por R$ 115 após 2 anos. Qual foi o retorno percentual total no período? (Resp: 15%.)

    Solve onlineActive Calculus · §1.1 · Exercise 1.1.16 (adapted) · p. 14
    Show solution
    Retorno percentual total $= (P_f - P_i)/P_i = (115 - 100)/100 = 15\%$. Isso é a TVM percentual no período de 2 anos. Retorno anualizado seria (1,15)1/2−1≈7,24%(1{,}15)^{1/2} - 1 \approx 7{,}24\% ao ano (juros compostos), que é diferente.
  36. Ex. 46.36Challenge

    Para s(t)=t2+3ts(t) = t^2 + 3t, a TVM em [1,4][1, 4] é 8 m/s. Calcule s′(t)s'(t) e encontre c∈(1,4)c \in (1, 4) com s′(c)=8s'(c) = 8. O que esse resultado antecipa?

    Solve onlineActive Calculus · §1.1 · Activity 1.1.4 (adapted) · p. 15
    Show solution
    Para $s(t) = t^2 + 3t$, TVM em $[1, 4]$: $s(4) = 28$, $s(1) = 4$. TVM $= (28-4)/3 = 8$ m/s. A derivada é $s'(t) = 2t + 3$. Para $s'(c) = 8$: 2c+3=8⇒c=2,5∈(1,4)2c + 3 = 8 \Rightarrow c = 2{,}5 \in (1, 4). Sim, existe tal $c$ — isso é o Teorema do Valor Médio do Cálculo (Lição 56).
  37. Ex. 46.37Modeling

    A receita mensal de uma empresa cresceu de R$ 700 em janeiro para R$ 2.800 em julho (6 meses). Qual foi a taxa de variação média mensal da receita? (Resp: R$ 350/mês.)

    Solve onlineActive Calculus · §1.1 · Exercise 1.1.12 (adapted) · p. 11
    Show solution
    A receita cresceu de R\$ 700 para R\$ 2.800 em 6 meses. TVM $= (2.800 - 700)/6 = 2.100/6 = 350$ R\$/mês. Interpretação: crescimento médio de R\$ 350 por mês no semestre.
  38. Ex. 46.38Understanding

    Qual é o significado geométrico da Taxa de Variação Média f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineActive Calculus · §1.3 · Preview Activity 1.3.1 · p. 27
    Show solution
    A TVM $= (f(b) - f(a))/(b - a)$ é a inclinação da reta que passa pelos pontos $(a, f(a))$ e $(b, f(b))$ — a reta secante. Não é a derivada (que é o limite da TVM). É definida para qualquer $f$ com os dois pontos avaliáveis — não exige diferenciabilidade.
  39. Ex. 46.39Understanding

    O que o TVI garante sobre ff contínua em [a,b][a, b]?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · Theorem 2.13 (contexto) · p. 177
    Show solution
    O TVI afirma: $f$ contínua em $[a, b]$ assume todo valor entre $f(a)$ e $f(b)$. Isso não implica monotonicidade nem diferenciabilidade. A afirmação sobre derivada é o Teorema do Valor Médio do Cálculo — um resultado diferente, que vem na Lição 56.
  40. Ex. 46.40Proof

    Demonstre formalmente que a derivada f′(a)f'(a) é o limite da Taxa de Variação Média quando o intervalo [a,b][a, b] encolhe para o ponto aa.

    Active Calculus · §1.3 · Definition 1.3.1 (contexto) · p. 28
    Show solution
    Por definição, f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}, que é exatamente lim⁡b→aTVM[a,b]\lim_{b \to a} \text{TVM}_{[a,b]} (com $b = a + h$). Logo: a derivada É o limite da TVM quando o intervalo encolhe para um ponto. A TVM é a versão global (reta secante); a derivada é a versão local (reta tangente). Este é o fundamento do cálculo diferencial.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Escreva a definição de derivada: f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}.
    2. Reconheça que o quociente é a TVM: TVM[a, a+h]=f(a+h)−f(a)h\text{TVM}_{[a,\, a+h]} = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}. Por quê: basta identificar $b = a + h$.
    3. Portanto: f′(a)=lim⁡b→aTVM[a,b]f'(a) = \lim_{b \to a} \text{TVM}_{[a,b]}. Insight: a derivada não é "um tipo de TVM" — ela É o limite da TVM.
    4. Macete: secante (dois pontos) $\to$ tangente (um ponto) quando os dois pontos se fundem. Isso é o cálculo.

Fontes

  • Active Calculus 2.0 — Matt Boelkins · Grand Valley State University · 2024 · CC-BY-NC-SA. Fonte primária. §1.1 (How Do We Measure Velocity?) e §1.3 (The Derivative at a Point) — base dos Exemplos 3, 4, 5, Blocos C, D e E.
  • OpenStax Calculus: Volume 1 — OpenStax · Rice University · 2016 · CC-BY-NC-SA. §2.4 (Continuity e TVI) — base do Exemplo 1 e Blocos A e E. §2.1 (A Preview of Calculus) — base do Bloco D.
  • REAMAT — Cálculo Numérico (Python) — UFRGS · 2024 · CC-BY 4.0. §3.1 (Método da Bisseção) — base do Exemplo 2 e Bloco B.
  • Basic Analysis I — Jiří Lebl · 2024 · CC-BY-SA. §3.3 — demonstração do TVI via completude de R\mathbb{R} (Porta formal).

Updated on 2026-05-05 · Author(s): Clube da Matemática

Found an error? Open an issue on GitHub or submit a PR — open source forever.