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Lição 48 — Limites de funções trigonométricas

Continuidade de seno, cosseno e tangente; os dois limites fundamentais sin x/x e (1−cos x)/x; generalizações; teorema do confronto; aplicações em física.

Used in: 2.º ano do EM (16 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 4 · Equiv. Klasse 11 alemã (Grenzwerte trigonometrischer Funktionen)

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

O limite fundamental trigonométrico: à medida que $x$ se aproxima de zero (em radianos), a razão $\sin x / x$ se aproxima de 1. Deste único resultado derivam todos os outros limites trigonométricos — $\tan x / x \to 1$ , $(1 - \cos x)/x \to 0$ , $\sin(ax)/(bx) \to a/b$ — e ele fundamenta as derivadas de $\sin$ e $\cos$ .

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa e técnicas de manipulação

Continuidade das funções trigonométricas

O limite fundamental: prova geométrica

Theorem· Limite fundamental trigonométrico

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$

Prova (argumento de área, $x \in (0, \pi/2)$ ). Considere o círculo unitário. O setor de ângulo $x$ tem área $x/2$ . O triângulo inscrito tem área $(\sin x)/2$ e o triângulo externo tem área $(\tan x)/2$ . Por inclusão de áreas:

$\frac{\sin x}{2} \leq \frac{x}{2} \leq \frac{\tan x}{2}.$

Dividindo por $(\sin x)/2 > 0$ :

$1 \leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{1}{\cos x}.$

Invertendo (e revertendo as desigualdades):

$\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1.$

Como $\cos x \to 1$ quando $x \to 0^+$ , pelo Teorema do Confronto: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$ . Para $x \to 0^-$ , use que $\sin(-x)/(-x) = \sin x / x$ . Logo o limite bilateral é 1. $\square$

"We can use the squeeze theorem to tackle several important limits. [...] The first involves the sine function." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.3

Limites trigonométricos fundamentais

Definition· Tabela de limites com x → 0

Limite	Valor	Observação
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$	$1$	limite fundamental
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x}$	$0$	via conjugado
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$	$\dfrac{1}{2}$	via identidade $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x}$	$1$	$= \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}$
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{bx}$	$\dfrac{a}{b}$	substituição $u = ax$
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{\sin(bx)}$	$\dfrac{a}{b}$	ambos $\to$ 1 via limite fundamental

Demonstrações dos limites secundários

$(1 - \cos x)/x^2 \to 1/2$ : usando a identidade $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ :

$\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^2(x/2)}{(x/2)^2} \to \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}.$

$\tan x / x \to 1$ :

$\frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} \to 1 \cdot \frac{1}{1} = 1.$

$\sin(ax)/(bx) \to a/b$ : seja $u = ax$ ; quando $x \to 0$ , $u \to 0$ :

$\frac{\sin(ax)}{bx} = \frac{a}{b} \cdot \frac{\sin(ax)}{ax} = \frac{a}{b} \cdot \frac{\sin u}{u} \to \frac{a}{b}.$

Teorema do Confronto

Assíntotas verticais de $\tan$ , $\sec$ , $\csc$ , $\cot$

Em $x = \pi/2 + k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ): $\cos x = 0$ e $\sin x = \pm 1$ , portanto:

$\lim_{x \to (\pi/2)^-} \tan x = +\infty, \quad \lim_{x \to (\pi/2)^+} \tan x = -\infty.$

Analogamente, $\csc x = 1/\sin x$ tem assíntotas em $x = k\pi$ e $\cot x = \cos x / \sin x$ idem.

Gráfico de $\tan x$ próximo de $x = \pm\pi/2$ : assíntotas verticais com limites laterais de sinais opostos.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Continuidade e substituição direta

Problema: Calcule $\lim_{x \to \pi/3} (2\sin x + \cos x)$ .

Estratégia: Como $\sin x$ e $\cos x$ são contínuas em todo $\mathbb{R}$ , e combinações lineares de funções contínuas são contínuas, podemos simplesmente substituir $x = \pi/3$ .

Resolução:

Identificar a continuidade: As funções $\sin x$ e $\cos x$ são contínuas em $\mathbb{R}$ , portanto a soma $2\sin x + \cos x$ também é.
Substituir diretamente:

$\lim_{x \to \pi/3} (2\sin x + \cos x) = 2\sin\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{3}.$

Calcular os valores:

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \sqrt{3} + \frac{1}{2}.$

Verificação numérica: $\pi/3 \approx 1{,}047$ ; $2\sin(1{,}047) + \cos(1{,}047) \approx 2(0{,}866) + 0{,}500 = 2{,}232 \approx \sqrt{3} + 0{,}5$ . Correto.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Example 2.23 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Limite da forma sin(ax)/bx

Problema: Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{3x}$ .

Estratégia: Identificar a forma $\sin(ax)/(bx)$ com $a = 5$ e $b = 3$ . Reescrever como $\frac{a}{b} \cdot \frac{\sin(ax)}{ax}$ para reduzir ao limite fundamental.

Resolução:

Reescrever multiplicando e dividindo por 5:

$\frac{\sin(5x)}{3x} = \frac{5}{3} \cdot \frac{\sin(5x)}{5x}.$

Aplicar o limite: À medida que $x \to 0$ , também $5x \to 0$ . Logo:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{5x} = 1.$

Combinar:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{3x} = \frac{5}{3} \cdot 1 = \frac{5}{3}.$

Verificação: Para $x = 0{,}001$ : $\sin(0{,}005)/0{,}003 \approx 1{,}6\overline{6} = 5/3$ . Correto.

Fonte. APEX Calculus, §1.3, Example 1.3.4 — CC-BY-NC 4.0.

Example— 3· Limite com tan e sin

Problema: Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(3x)}{\sin(5x)}$ .

Estratégia: Reescrever $\tan(3x) = \sin(3x)/\cos(3x)$ e separar em fatores que tendem a limites conhecidos.

Resolução:

Reescrever $\tan$ :

$\frac{\tan(3x)}{\sin(5x)} = \frac{\sin(3x)}{\cos(3x) \cdot \sin(5x)}.$

Multiplicar e dividir pelos argumentos:

$= \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot \frac{5x}{\sin(5x)} \cdot \frac{3}{5\cos(3x)}.$

Aplicar os limites conhecidos:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin(5x)} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos(3x)} = 1.$

Combinar:

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(5x)} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5}.$

Verificação: Para $x = 0{,}01$ : $\tan(0{,}03)/\sin(0{,}05) \approx 0{,}030009/0{,}049979 \approx 0{,}600 = 3/5$ . Correto.

Fonte. APEX Calculus, §1.3, Exercises p. 49 — CC-BY-NC 4.0.

Example— 4· Teorema do confronto aplicado a função oscilante

Problema: Calcule $\lim_{x \to 0} x^2 \cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ .

Estratégia: A função $\cos(1/x)$ oscila sem limite quando $x \to 0$ . Não se pode usar produto de limites. Mas como $|\cos(1/x)| \leq 1$ , é possível encapsular $x^2\cos(1/x)$ entre duas funções cujo limite é 0 e aplicar o Teorema do Confronto.

Resolução:

Estabelecer a desigualdade: Para todo $x \neq 0$ , $-1 \leq \cos(1/x) \leq 1$ . Multiplicando por $x^2 \geq 0$ :

$-x^2 \leq x^2\cos\!\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2.$

Calcular os limites das funções limítrofes:

$\lim_{x \to 0} (-x^2) = 0 \quad \text{e} \quad \lim_{x \to 0} x^2 = 0.$

Aplicar o Teorema do Confronto: Como a função do meio está espremida entre duas funções que tendem a 0:

$\lim_{x \to 0} x^2\cos\!\left(\frac{1}{x}\right) = 0.$

Verificação: Não se pode escrever $\lim(x^2) \cdot \lim(\cos(1/x))$ porque o segundo limite não existe. O confronto contorna esse obstáculo com elegância.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, The Squeeze Theorem — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 5· Aproximação de pequeno ângulo no pêndulo

Problema: Para ângulos pequenos, mostre que o período do pêndulo se aproxima de $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$ usando o limite $\lim_{\theta \to 0}\sin\theta/\theta = 1$ . Calcule o erro percentual relativo em $T$ para $\theta_0 = 10°$ .

Estratégia: A aproximação $\sin\theta \approx \theta$ transforma a equação diferencial não-linear em linear, cujo período é $T_0$ . A correção de primeira ordem ao período vem da série de Taylor de $\sin\theta$ .

Resolução:

Equação diferencial exata: $\ddot\theta + (g/L)\sin\theta = 0$ .
Aproximação de pequenos ângulos: Como $\lim_{\theta \to 0} \sin\theta/\theta = 1$ , para $\theta$ pequeno: $\sin\theta \approx \theta$ . A equação vira:

$\ddot\theta + \frac{g}{L}\theta = 0.$

Este é o oscilador harmônico simples com frequência $\omega_0 = \sqrt{g/L}$ e período $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$ .

Correção de primeira ordem: Usando $\sin\theta \approx \theta - \theta^3/6$ , a expansão do período exato é:

$T = T_0 \left(1 + \frac{\theta_0^2}{16} + \cdots\right).$

Erro relativo para $\theta_0 = 10°$ :

$\frac{T - T_0}{T_0} \approx \frac{\theta_0^2}{16} = \frac{(0{,}1745)^2}{16} \approx 0{,}0019 = 0{,}19\%.$

O período real excede $T_0$ por apenas $0{,}19\%$ para oscilações de $10°$ .

Verificação: Para $\theta_0 = 30°$ : erro $\approx (0{,}5236)^2/16 \approx 1{,}71\%$ — ainda pequeno mas não mais desprezível.

Fonte. Active Calculus, §2.2, Activity 2.2.2 — CC-BY-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 30Understanding 4Modeling 3Challenge 2Proof 1

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang & Herman · OpenStax · 2016 · §2.3 (The Limit Laws — trig limits, Squeeze Theorem), §2.4 (Continuity), §3.5 (Derivatives of Trig Functions) · CC-BY-NC-SA 4.0. Fonte primária para exercícios e exemplos.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · §1.3 (Finding Limits Analytically — seção trigonométrica, pp. 48–49) · CC-BY-NC 4.0.
Active Calculus — Boelkins · 2024 · §2.2 (Sine and Cosine Functions, Activity 2.2.2) · CC-BY-SA 4.0.