v1 · padrão canônico

Lição 59 — Diferenciabilidade e suavidade

Diferenciável implica contínua. Pontos de bico, cúspide, tangente vertical. Classes C^k e C^∞. Função de Weierstrass.

Used in: 2.º ano do EM avançado (cálculo) · Equiv. Math III japonês · Equiv. Leistungskurs Klasse 12 alemã

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Diferenciabilidade em $a$ : a função $f$ é diferenciável em $a$ se e somente se este limite existe como número real finito. Existindo, seu valor é a derivada $f'(a)$ — a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto $(a, f(a))$ .

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definições e teoremas

Diferenciabilidade num ponto

"Se $f'(a)$ existe, dizemos que $f$ é diferenciável em $a$ . Se $f$ é diferenciável em todo número em um intervalo aberto $(a, b)$ , então $f$ é diferenciável em $(a, b)$ ." — OpenStax Calculus Volume 1, §3.2

Teorema fundamental (diferenciabilidade implica continuidade)

"Se $f$ é diferenciável em $a$ , então $f$ é contínua em $a$ ." — Active Calculus, §1.7, Boelkins 2024 (Teorema 1.7.1)

Tipos de pontos de não-diferenciabilidade

Os quatro tipos principais de ponto de não-diferenciabilidade. Da esquerda: bico (derivadas laterais finitas e distintas), cúspide (derivadas laterais infinitas opostas), tangente vertical (derivada $= +\infty$ de ambos os lados), salto (função não contínua).

Tipo	Exemplo em $0$	O que ocorre
Bico (corner)	$\lvert x \rvert$	$f'_+(0) = 1 \neq -1 = f'_-(0)$
Cúspide	$x^{2/3}$	$f'_\pm(0) = \pm\infty$
Tangente vertical	$x^{1/3}$	$f'(0) = +\infty$
Descontinuidade de salto	$\text{sgn}(x)$	$f$ não é contínua
Oscilação sem limite	$x\sin(1/x),\ f(0)=0$	limite do quociente não existe

Hierarquia $C^k$

Exemplo: $C^\infty$ mas não $C^\omega$ (Cauchy)

$f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$

Esta função é $C^\infty(\mathbb{R})$ e $f^{(n)}(0) = 0$ para todo $n \geq 0$ , mas $f \not\equiv 0$ . Logo $f \notin C^\omega$ — separa definitivamente as classes suave e analítica.

Função de Weierstrass

$W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x), \quad 0 < a < 1,\ b \text{ inteiro ímpar},\ ab > 1 + \tfrac{3}{2}\pi.$

Exemplos resolvidos

Example— 1· Verificando diferenciabilidade de |x| em zero (básico)

Problema. Prove que $f(x) = |x|$ é contínua em $0$ mas não diferenciável em $0$ .

Estratégia. Verificar continuidade via limite e depois calcular as derivadas laterais. Se elas diferirem, a derivada não existe.

Resolução.

Continuidade. $\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$ . Contínua.
Derivada lateral direita. $f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1.$
Derivada lateral esquerda. $f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{|0+h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1.$
Conclusão. $f'_+(0) = 1 \neq -1 = f'_-(0)$ . O limite bilateral não existe. $f$ não é diferenciável em $0$ .

Verificação. Geometricamente: o gráfico faz um bico em V. Qualquer reta por $(0, 0)$ corta o gráfico de um lado mas não tangencia de ambos.

Fonte. Active Calculus §1.7 — Boelkins, 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Diferenciabilidade de função por partes com descontinuidade

Problema. Determine se a função

$g(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 2 \\ 5x - 7, & x > 2 \end{cases}$

é diferenciável em $x = 2$ .

Estratégia. Checar continuidade primeiro; se não for contínua, já não é diferenciável — economiza trabalho.

Resolução.

Continuidade em $2$ .

$\lim_{x \to 2^-} (x^2 + 1) = 4 + 1 = 5, \qquad \lim_{x \to 2^+} (5x - 7) = 10 - 7 = 3.$

Os limites laterais são $5 \neq 3$ . A função não é contínua em $2$ .

Conclusão. Descontinuidade implica não diferenciabilidade. $g$ não é diferenciável em $x = 2$ .

Verificação. Pelo teorema: diferenciável implica contínua. Logo não-contínua implica não-diferenciável (contrapositivo). Não precisamos calcular derivadas laterais.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1 §3.2 — OpenStax, 2016 · CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Diferenciabilidade via definição com teorema do sanduíche

Problema. Seja

$h(x) = \begin{cases} x^2 \sin(1/x), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$

Prove que $h$ é diferenciável em $0$ e encontre $h'(0)$ .

Estratégia. Usar a definição diretamente — regras de derivação não se aplicam em $x = 0$ porque $1/x$ não está definida aí. Estimar via teorema do sanduíche.

Resolução.

Aplicar a definição. $h'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h(0+h) - h(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(1/h)}{h} = \lim_{h \to 0} h\sin(1/h).$
Estimar. $|h \sin(1/h)| \leq |h| \cdot 1 = |h| \to 0 \quad \text{quando } h \to 0.$
Pelo teorema do sanduíche. $-|h| \leq h\sin(1/h) \leq |h|$ , e $|h| \to 0$ , portanto $h\sin(1/h) \to 0$ .
Conclusão. $h'(0) = 0$ . $h$ é diferenciável em $0$ .

Verificação. Para $x \neq 0$ : $h'(x) = 2x\sin(1/x) - \cos(1/x)$ . O termo $\cos(1/x)$ oscila quando $x \to 0$ , logo $h' \notin C^0$ — $h$ é diferenciável mas não $C^1$ .

Fonte. Active Calculus §1.7 — Boelkins, 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Encontrando parâmetros para garantir C¹ (avançado)

Problema. Encontre os valores de $a$ e $b$ tais que a função

$p(x) = \begin{cases} ax^2 + b, & x \leq 1 \\ 2x^3 + 3, & x > 1 \end{cases}$

seja de classe $C^1$ em $\mathbb{R}$ .

Estratégia. Para ser $C^1$ no ponto de junção $x = 1$ , exige-se (1) continuidade e (2) igualdade das derivadas. Esses dois requisitos formam um sistema $2 \times 2$ em $a, b$ .

Resolução.

Condição de continuidade em $x = 1$ .

$p(1^-) = a \cdot 1^2 + b = a + b, \qquad p(1^+) = 2 \cdot 1^3 + 3 = 5.$

Equação (I): $a + b = 5$ .

Condição de igualdade das derivadas em $x = 1$ .

Para $x < 1$ : $p'(x) = 2ax$ , portanto $p'_-(1) = 2a$ .

Para $x > 1$ : $p'(x) = 6x^2$ , portanto $p'_+(1) = 6$ .

Equação (II): $2a = 6 \Rightarrow a = 3$ .

Resolver o sistema. De (II): $a = 3$ . Substituindo em (I): $3 + b = 5 \Rightarrow b = 2$ .
Verificação.

$p(1) = 3 + 2 = 5 = 2 + 3$ . Contínua.
$p'_-(1) = 2 \cdot 3 \cdot 1 = 6 = p'_+(1)$ . Derivada contínua.

Fonte. APEX Calculus §2.1 — Hartman et al., 2024 · CC-BY-NC.

Example— 5· Analisando cúspide e hierarquia C^k para x^(2/3) (desafio)

Problema. Seja $f(x) = x^{2/3}$ .

(a) Mostre que $f$ não é diferenciável em $0$ .

(b) Determine a classe de regularidade máxima de $f$ em torno de $0$ .

Estratégia. Usar a definição de derivada em $0$ e as regras de potência para $x \neq 0$ .

Resolução.

(a) Derivada em $0$ via definição.

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h^{2/3} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h^{2/3 - 1} = \lim_{h \to 0} h^{-1/3}.$

Quando $h \to 0^+$ : $h^{-1/3} \to +\infty$ . Quando $h \to 0^-$ : $h^{-1/3} = -|h|^{-1/3} \to -\infty$ .

O limite não é um número real finito. Logo $f$ não é diferenciável em $0$ — cúspide.

(b) Hierarquia. Em qualquer intervalo $I$ que não contenha $0$ , $f \in C^\infty$ . Mas em qualquer intervalo contendo $0$ , $f \in C^0$ (contínua) mas $f \notin C^1$ (não diferenciável em $0$ ). Regularidade máxima: $C^0$ .

(c) Para $x \neq 0$ .

$f'(x) = \frac{2}{3} x^{-1/3} = \frac{2}{3x^{1/3}}.$

Quando $x \to 0^+$ : $f'(x) \to +\infty$ . Quando $x \to 0^-$ : $f'(x) \to -\infty$ .

O gráfico tem uma cúspide voltada para cima em $0$ : as retas tangentes ficam cada vez mais verticais ao se aproximar de $0$ , divergindo para $+\infty$ pela direita e $-\infty$ pela esquerda.

Verificação. $f(0) = 0^{2/3} = 0$ , $\lim_{x\to 0} x^{2/3} = 0$ . Contínua em $0$ . As derivadas laterais $\to \pm\infty$ : confirma cúspide, não tangente vertical (que teria ambas as derivadas laterais indo para $+\infty$ ).

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1 §3.2 — OpenStax, 2016 · CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 9Modeling 5Challenge 2Proof 2

Fontes

Active Calculus — Boelkins, 2024 · §1.7 "Limits, Continuity, and Differentiability" · CC-BY-NC-SA. Fonte primária.
Calculus Volume 1 — OpenStax, 2016 · §3.2 "The Derivative as a Function" · CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al., 2024 · v5 · §2.1 "Instantaneous Rates of Change: The Derivative" · CC-BY-NC.