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v1 · padrão canônico

Lição 60 — Consolidação Trim 6: derivadas

Workshop integrador do Trimestre 6: definição via limite, regras operatórias, regra da cadeia, derivada implícita, derivadas superiores, inversas, linearização, taxas relacionadas e diferenciabilidade.

Used in: 2.º ano EM — Trim 6 · Equiv. Math III japonês (derivadas) · Equiv. Analysis LK alemão — Ableitung

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

A derivada como limite: a taxa instantânea de variação de ff em xx. Toda regra de derivação — produto, quociente, cadeia, implícita — é consequência desta definição. Dominar esse conceito é dominar o Trimestre 6.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Mapa formal do Trimestre 6

Hierarquia das ferramentas de derivação

"The derivative of a function ff at a value aa, denoted f′(a)f'(a), is defined by the formula f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}, provided this limit exists." — Active Calculus, §1.3

Tabela de derivadas fundamentais

f(x)f(x)f′(x)f'(x)Regra
xnx^nnxn−1n x^{n-1}potência
exe^xexe^xexponencial natural
axa^xaxln⁡aa^x \ln aexponencial geral
ln⁡x\ln x1/x1/xlogaritmo
sin⁡x\sin xcos⁡x\cos xseno
cos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin xcosseno
tan⁡x\tan xsec⁡2x\sec^2 xtangente
arcsin⁡x\arcsin x1/1−x21/\sqrt{1-x^2}arco-seno
arctan⁡x\arctan x1/(1+x2)1/(1+x^2)arco-tangente

Regras operatórias

"The Product Rule states: if ff and gg are differentiable functions, then ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)." — OpenStax Calculus Vol. 1, §3.3

Derivada implícita e derivadas de ordem superior

Linearização e taxas relacionadas

Teorema fundamental de diferenciabilidade

"If ff is differentiable at aa, then ff is continuous at aa." — Active Calculus, §1.7

Reconhecimento de padrão

Sinal no enunciadoTécnica
"Compute f′(a)f'(a) diretamente"Regras + tabela
"y=f(composta)y = f(\text{composta})"Cadeia
"F(x,y)=0F(x, y) = 0, ache y′y'"Derivada implícita
"f′′f'', concavidade, inflexão"Derivadas de ordem superior
"Derivada de arcsin⁡\arcsin, arctan⁡\arctan, ln⁡\ln, exe^x, axa^x"Tabela de inversas
"Aproxime f(x)f(x) perto de aa"Linearização
"Quão rápido XX muda com o tempo?"Taxas relacionadas
"ff é diferenciável em aa?"Verificar continuidade + limite bilateral

Exemplos resolvidos

Exercise list

50 exercises · 12 with worked solution (25%)

Application 29Understanding 6Modeling 5Challenge 9Proof 1
  1. Ex. 60.1Application

    Calcule f′(3)f'(3) pela definição de derivada para f(x)=x2f(x) = x^2.

    Solve onlineActive Calculus · §1.3 · 1.3.3 · p. 52
    Show solution
    Definição: f′(3)=lim⁡h→0(3+h)2−9h=lim⁡h→06h+h2h=lim⁡h→0(6+h)=6.f'(3) = \lim_{h\to0}\frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \lim_{h\to0}\frac{6h+h^2}{h} = \lim_{h\to0}(6+h) = 6.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Escreva o quociente de diferença: f(3+h)−f(3)h=(3+h)2−9h\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 9}{h}.
    2. Expanda o numerador: (3+h)2−9=9+6h+h2−9=6h+h2(3+h)^2 - 9 = 9 + 6h + h^2 - 9 = 6h + h^2.
    3. Cancele o hh: 6h+h2h=6+h\frac{6h+h^2}{h} = 6 + h.
    4. Tome o limite: lim⁡h→0(6+h)=6\lim_{h\to0}(6+h) = 6. Portanto f′(3)=6f'(3) = 6.
    5. Macete: sempre expanda o numerador antes de tentar cancelar o hh; tentar cancelar antes de expandir é o erro mais comum.
  2. Ex. 60.2Application

    Calcule f′(1)f'(1) pela definição para f(x)=1/xf(x) = 1/x.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §3.1 · 3.1.3 · p. 225
    Show solution
    Para f(x)=1/xf(x) = 1/x: f(1+h)−f(1)h=11+h−1h=1−(1+h)h(1+h)=−hh(1+h)=−11+h→h→0−1.\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \frac{\frac{1}{1+h}-1}{h} = \frac{1-(1+h)}{h(1+h)} = \frac{-h}{h(1+h)} = \frac{-1}{1+h} \xrightarrow{h\to0} -1.
  3. Ex. 60.3ApplicationAnswer key

    Calcule f′(4)f'(4) pela definição para f(x)=xf(x) = \sqrt{x}.

    Solve onlineActive Calculus · §1.3 · 1.3.5 · p. 53
    Show solution
    Quociente de diferença para f(x)=xf(x) = \sqrt{x} em a=4a=4: racionaliza multiplicando pelo conjugado (4+h+2)(\sqrt{4+h}+2), obtendo 14+h+2→h→014\frac{1}{\sqrt{4+h}+2} \xrightarrow{h\to0} \frac{1}{4}. Portanto f′(4)=1/4f'(4) = 1/4.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Forme o quociente: 4+h−2h\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}.
    2. Multiplique pelo conjugado 4+h+24+h+2\frac{\sqrt{4+h}+2}{\sqrt{4+h}+2}.
    3. Numerador vira (4+h)−4=h(4+h)-4 = h. Cancele o hh.
    4. Resultado: 14+h+2→h→014\frac{1}{\sqrt{4+h}+2} \xrightarrow{h\to0} \frac{1}{4}.
    5. Macete: toda vez que o quociente de diferença tem raiz no numerador, a estratégia é racionalizar multiplicando pelo conjugado.
  4. Ex. 60.4Understanding

    O que é f′(a)f'(a) pela definição formal?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineActive Calculus · §1.3 · conceitual · p. 50
    Show solution
    Por definição: f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}. Geometricamente, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de ff em (a,f(a))(a, f(a)). As outras opções descrevem integral (área), máximo e distância — conceitos distintos.
  5. Ex. 60.5ChallengeAnswer key

    Seja g(x)=x2cos⁡(1/x)g(x) = x^2 \cos(1/x) para x≠0x \neq 0 e g(0)=0g(0) = 0. Calcule g′(0)g'(0) usando a definição.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §3.1 · 3.1.15 · p. 230
    Show solution
    Para h≠0h \neq 0: g(h)−g(0)h=h2cos⁡(1/h)h=hcos⁡(1/h)\frac{g(h)-g(0)}{h} = \frac{h^2\cos(1/h)}{h} = h\cos(1/h). Como ∣hcos⁡(1/h)∣≤∣h∣→0|h\cos(1/h)| \leq |h| \to 0 pelo Teorema do Confronto, o limite é 0. Portanto g′(0)=0g'(0) = 0, apesar de gg oscilar infinitamente perto de 0.
  6. Ex. 60.6ApplicationAnswer key

    Calcule f′(x)f'(x) para f(x)=x4−3x2+7f(x) = x^4 - 3x^2 + 7.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §3.3 · 3.3.1 · p. 243
    Show solution
    Regra da potência: (xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1}. Portanto f′(x)=4x3−6x+0=4x3−6xf'(x) = 4x^3 - 6x + 0 = 4x^3 - 6x. O termo constante 7 tem derivada 0.
  7. Ex. 60.7Application

    Calcule h′(x)h'(x) para h(x)=exsin⁡xh(x) = e^x \sin x.

    Solve onlineActive Calculus · §2.3 · 2.3.1 · p. 90
    Show solution
    Regra do produto: (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'. Com u=exu = e^x e v=sin⁡xv = \sin x: h′(x)=exsin⁡x+excos⁡x=ex(sin⁡x+cos⁡x)h'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x).
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique u=exu = e^x e v=sin⁡xv = \sin x.
    2. Calcule u′=exu' = e^x e v′=cos⁡xv' = \cos x.
    3. Aplique a regra do produto: h′=u′v+uv′=exsin⁡x+excos⁡xh' = u'v + uv' = e^x\sin x + e^x\cos x.
    4. Fatore: h′(x)=ex(sin⁡x+cos⁡x)h'(x) = e^x(\sin x + \cos x).
    5. Macete: a regra do produto tem dois termos. Erro clássico: multiplicar as derivadas separadas — (uv)′≠u′v′(uv)' \neq u'v'.
  8. Ex. 60.8Application

    Calcule q′(x)q'(x) para q(x)=x+1x−1q(x) = \dfrac{x+1}{x-1}.

    Solve onlineActive Calculus · §2.3 · 2.3.5 · p. 92
    Show solution
    Regra do quociente com u=x+1u = x+1, v=x−1v = x-1: numerador =u′v−uv′=(x−1)−(x+1)=−2= u'v - uv' = (x-1) - (x+1) = -2. Logo q′(x)=−2(x−1)2q'(x) = \frac{-2}{(x-1)^2}.
  9. Ex. 60.9Application

    Calcule p′(x)p'(x) para p(x)=xsin⁡xp(x) = x \sin x.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §3.3 · 3.3.7 · p. 244
    Show solution
    Produto: p′(x)=(x)′sin⁡x+x(sin⁡x)′=sin⁡x+xcos⁡xp'(x) = (x)'\sin x + x(\sin x)' = \sin x + x\cos x.
  10. Ex. 60.10Application

    Calcule r′(x)r'(x) para r(x)=sin⁡xx2r(x) = \dfrac{\sin x}{x^2} e simplifique.

    Solve onlineAPEX Calculus · §2.4 · 2.4.9 · p. 109
    Show solution
    Quociente com u=sin⁡xu = \sin x, v=x2v = x^2: r′(x)=cos⁡x⋅x2−sin⁡x⋅2xx4=xcos⁡x−2sin⁡xx3r'(x) = \frac{\cos x \cdot x^2 - \sin x \cdot 2x}{x^4} = \frac{x\cos x - 2\sin x}{x^3}.
  11. Ex. 60.11Application

    Calcule f′(x)f'(x) para f(x)=x3exf(x) = x^3 e^x e fatore a resposta.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §3.3 · 3.3.9 · p. 244
    Show solution
    Produto: f′(x)=3x2ex+x3ex=x2ex(3+x)f'(x) = 3x^2 e^x + x^3 e^x = x^2 e^x(3 + x).
  12. Ex. 60.12Application

    Calcule y′(2)y'(2) para y(x)=x33−2x+1y(x) = \dfrac{x^3}{3} - 2x + 1.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §3.3 · 3.3.17 · p. 246
    Show solution
    y′(x)=x2−2y'(x) = x^2 - 2. Em x=2x = 2: y′(2)=4−2=2y'(2) = 4 - 2 = 2.
  13. Ex. 60.13Understanding

    Qual é a fórmula correta para a derivada do produto u(x)⋅v(x)u(x)\cdot v(x)?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineActive Calculus · §2.3 · conceitual · p. 88
    Show solution
    A regra do produto (Leibniz): (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'. Contraexemplo para a opção errada mais tentadora: (x⋅x)′=(x2)′=2x(x \cdot x)' = (x^2)' = 2x, mas (x)′⋅(x)′=1⋅1=1≠2x(x)' \cdot (x)' = 1 \cdot 1 = 1 \neq 2x.
  14. Ex. 60.14Challenge

    Calcule f′(x)f'(x) para f(x)=x2x2−1f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 1}.

    Solve onlineAPEX Calculus · §2.4 · 2.4.15 · p. 110
    Show solution
    Quociente: numerador =2x(x2−1)−x2⋅2x=2x3−2x−2x3=−2x= 2x(x^2-1) - x^2 \cdot 2x = 2x^3 - 2x - 2x^3 = -2x. Portanto f′(x)=−2x(x2−1)2f'(x) = \frac{-2x}{(x^2-1)^2}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique u=x2u = x^2, v=x2−1v = x^2 - 1.
    2. Calcule u′=2xu' = 2x, v′=2xv' = 2x.
    3. Numerador da regra do quociente: u′v−uv′=2x(x2−1)−x2(2x)=2x3−2x−2x3=−2xu'v - uv' = 2x(x^2-1) - x^2(2x) = 2x^3 - 2x - 2x^3 = -2x.
    4. Resultado: f′(x)=−2x(x2−1)2f'(x) = \frac{-2x}{(x^2-1)^2}.
    5. Observação: note o cancelamento de 2x32x^3 no numerador — isso ocorre sempre que numerador e denominador têm o mesmo grau principal.
  15. Ex. 60.15ApplicationAnswer key

    Calcule f′(x)f'(x) para f(x)=(2x+1)5f(x) = (2x+1)^5.

    Solve onlineActive Calculus · §2.5 · 2.5.1 · p. 100
    Show solution
    Cadeia: [u5]′=5u4⋅u′[u^5]' = 5u^4 \cdot u' com u=2x+1u = 2x+1, u′=2u' = 2. Portanto f′(x)=5(2x+1)4⋅2=10(2x+1)4f'(x) = 5(2x+1)^4 \cdot 2 = 10(2x+1)^4.
  16. Ex. 60.16Application

    Calcule g′(x)g'(x) para g(x)=sin⁡(x3)g(x) = \sin(x^3).

    Solve onlineActive Calculus · §2.5 · 2.5.3 · p. 100
    Show solution
    Cadeia com função externa sin⁡\sin e interna x3x^3: g′(x)=cos⁡(x3)⋅3x2g'(x) = \cos(x^3) \cdot 3x^2.
  17. Ex. 60.17Application

    Calcule k′(x)k'(x) para k(x)=ex2k(x) = e^{x^2}.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §3.6 · 3.6.3 · p. 270
    Show solution
    Cadeia com eue^u e u=x2u = x^2: k′(x)=ex2⋅2x=2xex2k'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique a estrutura: função externa e(cdot)e^{(cdot)}, interna x2x^2.
    2. Cadeia: (eu)′=eu⋅u′(e^u)' = e^u \cdot u'.
    3. Calcule u′=(x2)′=2xu' = (x^2)' = 2x.
    4. Resultado: k′(x)=ex2⋅2x=2xex2k'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}.
    5. Atalho mental: "derive a capa, mantenha o recheio, multiplique pela derivada do recheio."
  18. Ex. 60.18Application

    Calcule h′(x)h'(x) para h(x)=ln⁡(2x+3)h(x) = \ln(2x + 3).

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §3.6 · 3.6.7 · p. 271
    Show solution
    Cadeia: h′(x)=12x+3⋅(2x+3)′=22x+3h'(x) = \frac{1}{2x+3} \cdot (2x+3)' = \frac{2}{2x+3}.
  19. Ex. 60.19ApplicationAnswer key

    Calcule m′(x)m'(x) para m(x)=arcsin⁡(x2)m(x) = \arcsin(x^2).

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §3.7 · 3.7.9 · p. 280
    Show solution
    Cadeia com (arcsin⁡u)′=1/1−u2(\arcsin u)' = 1/\sqrt{1-u^2} e u=x2u = x^2: m′(x)=11−x4⋅2x=2x1−x4m'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^4}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique: externa = arcsin⁡\arcsin, interna = x2x^2.
    2. Derivada do arcsin: (arcsin⁡u)′=11−u2(\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}.
    3. Aplique a cadeia: m′(x)=11−(x2)2⋅2xm'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}} \cdot 2x.
    4. Simplifique: m′(x)=2x1−x4m'(x) = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}.
    5. Observação: o domínio natural exige ∣x2∣<1|x^2| < 1, portanto ∣x∣<1|x| < 1.
  20. Ex. 60.20Application

    Calcule p′(x)p'(x) para p(x)=cos⁡(sin⁡x)p(x) = \cos(\sin x).

    Solve onlineAPEX Calculus · §2.5 · 2.5.7 · p. 124
    Show solution
    Cadeia: função externa cos⁡\cos, interna sin⁡x\sin x. Derivada do cosseno é −sin⁡-\sin. Portanto p′(x)=−sin⁡(sin⁡x)⋅(sin⁡x)′=−sin⁡(sin⁡x)⋅cos⁡xp'(x) = -\sin(\sin x) \cdot (\sin x)' = -\sin(\sin x) \cdot \cos x.
  21. Ex. 60.21Challenge

    Calcule f′(x)f'(x) para f(x)=xxf(x) = x^x (x>0x > 0) usando logaritmização.

    Solve onlineActive Calculus · §2.6 · 2.6.11 · p. 110
    Show solution
    Logaritmize: f(x)=xx=exln⁡xf(x) = x^x = e^{x\ln x}. Então f′(x)=exln⁡x⋅(xln⁡x)′=xx⋅(ln⁡x+1)f'(x) = e^{x\ln x} \cdot (x\ln x)' = x^x \cdot (\ln x + 1).
    Show step-by-step (with the why)
    1. Reescreva: f(x)=xx=exln⁡xf(x) = x^x = e^{x\ln x}. (Logaritmização — transforma exponencial variável em base ee.)
    2. Cadeia: f′(x)=exln⁡x⋅ddx(xln⁡x)f'(x) = e^{x\ln x} \cdot \frac{d}{dx}(x\ln x).
    3. Produto: (xln⁡x)′=ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1(x\ln x)' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1.
    4. Substitui exln⁡x=xxe^{x\ln x} = x^x: portanto f′(x)=xx(1+ln⁡x)f'(x) = x^x(1 + \ln x).
    5. Curiosidade: no mínimo de xxx^x (em x=1/ex = 1/e), a derivada vale zero pois 1+ln⁡(1/e)=01 + \ln(1/e) = 0.
  22. Ex. 60.22Application

    Calcule w′(x)w'(x) para w(x)=ln⁡(sin⁡(3x)+2)w(x) = \ln(\sin(3x) + 2).

    Solve onlineAPEX Calculus · §2.5 · 2.5.19 · p. 126
    Show solution
    Cadeia dupla — externa = ln⁡\ln, interna = sin⁡(3x)+2\sin(3x)+2: w′(x)=1sin⁡(3x)+2⋅cos⁡(3x)⋅3=3cos⁡(3x)sin⁡(3x)+2w'(x) = \frac{1}{\sin(3x)+2} \cdot \cos(3x) \cdot 3 = \frac{3\cos(3x)}{\sin(3x)+2}.
  23. Ex. 60.23Application

    Calcule y′y' por derivação implícita para x2+y2=25x^2 + y^2 = 25.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §3.8 · 3.8.1 · p. 286
    Show solution
    Diferencia x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 em xx: 2x+2yy′=02x + 2y y' = 0. Isola: y′=−x/yy' = -x/y.
  24. Ex. 60.24Application

    Calcule y′y' em (1,1)(1, 1) para a curva x3+y3=2x^3 + y^3 = 2.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §3.8 · 3.8.5 · p. 287
    Show solution
    Diferencia x3+y3=2x^3 + y^3 = 2: 3x2+3y2y′=03x^2 + 3y^2 y' = 0. Logo y′=−x2/y2y' = -x^2/y^2. Em (1,1)(1,1): y′=−1y' = -1.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Diferencia ambos os lados em xx: ddx(x3)+ddx(y3)=0\frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(y^3) = 0.
    2. Cadeia em y3y^3: 3x2+3y2y′=03x^2 + 3y^2 y' = 0.
    3. Isola y′y': y′=−x2/y2y' = -x^2/y^2.
    4. Substitui (1,1)(1,1): y′∣(1,1)=−1y'|_{(1,1)} = -1.
    5. Macete: verifique sempre que o ponto pertence à curva antes de substituir: 13+13=21^3 + 1^3 = 2. Sim.
  25. Ex. 60.25Application

    Calcule y′y' em (0,π/2)(0, \pi/2) para sin⁡(xy)=y\sin(xy) = y.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §3.8 · 3.8.13 · p. 290
    Show solution
    Diferencia sin⁡(xy)=y\sin(xy) = y: cos⁡(xy)(y+xy′)=y′\cos(xy)(y + xy') = y'. Isola: y′(xcos⁡(xy)−1)=−ycos⁡(xy)y'(x\cos(xy)-1) = -y\cos(xy), logo y′=−ycos⁡(xy)xcos⁡(xy)−1y' = \frac{-y\cos(xy)}{x\cos(xy)-1}. Em (0,π/2)(0,\pi/2): cos⁡(0)=1\cos(0)=1 e y′=−(π/2)0−1=π/2y' = \frac{-(\pi/2)}{0-1} = \pi/2.
  26. Ex. 60.26Application

    Calcule y′y' para a elipse x29+y24=1\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1 e descreva a tangente em (3,0)(3, 0).

    Solve onlineActive Calculus · §2.7 · 2.7.3 · p. 116
    Show solution
    Elipse x2/9+y2/4=1x^2/9 + y^2/4 = 1. Diferencia: 2x/9+(2y/4)y′=02x/9 + (2y/4)y' = 0, logo y′=−4x/(9y)y' = -4x/(9y). Em (3,0)(3,0): denominador zero — tangente **vertical**.
  27. Ex. 60.27Understanding

    O que significa "tratar yy como função implícita de xx" ao derivar uma equação?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineActive Calculus · §2.7 · conceitual · p. 113
    Show solution
    Na derivação implícita, trata-se y=y(x)y = y(x) como função de xx. Ao derivar um termo com yy, usa-se a cadeia: (yn)′=nyn−1y′(y^n)' = ny^{n-1}y'. O y′y' resultante é então isolado algebricamente.
  28. Ex. 60.28Challenge

    Calcule y′′y'' implicitamente para x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §3.8 · 3.8.19 · p. 292
    Show solution
    De x2+y2=r2x^2+y^2=r^2: y′=−x/yy' = -x/y. Deriva novamente: y′′=−y−(−x)y′y2=−y+x(−x/y)y2=−y2−x2y3=−r2y3y'' = \frac{-y - (-x)y'}{y^2} = \frac{-y + x(-x/y)}{y^2} = \frac{-y^2 - x^2}{y^3} = -\frac{r^2}{y^3}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. De x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2: y′=−x/yy' = -x/y (derivação implícita).
    2. Deriva y′=−x/yy' = -x/y pela regra do quociente: y′′=−y−(−x)y′y2y'' = \frac{-y - (-x)y'}{y^2}.
    3. Substitui y′=−x/yy' = -x/y no numerador: −y+x(−x/y)=(−y2−x2)/y-y + x(-x/y) = (-y^2 - x^2)/y.
    4. Resultado: y′′=−x2+y2y3=−r2y3y'' = -\frac{x^2+y^2}{y^3} = -\frac{r^2}{y^3}.
    5. Observação: usamos x2+y2=r2x^2+y^2 = r^2 no passo final — o segredo de calcular y′′y'' implícito é sempre substituir a equação original ao simplificar.
  29. Ex. 60.29Challenge

    Calcule y′y' para x2y+xy2=6x^2 y + xy^2 = 6.

    Solve onlineAPEX Calculus · §2.6 · 2.6.9 · p. 131
    Show solution
    Diferencia x2y+xy2=6x^2 y + xy^2 = 6: (2xy+x2y′)+(y2+2xyy′)=0(2xy + x^2 y') + (y^2 + 2xyy') = 0. Isola: y′(x2+2xy)=−(2xy+y2)y'(x^2 + 2xy) = -(2xy + y^2). Logo y′=−(2xy+y2)x2+2xyy' = \frac{-(2xy+y^2)}{x^2+2xy}.
  30. Ex. 60.30ApplicationAnswer key

    Calcule f′′(x)f''(x) para f(x)=x3−2x2+2x−1f(x) = x^3 - 2x^2 + 2x - 1.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §3.5 · 3.5.1 · p. 260
    Show solution
    f′(x)=3x2−4x+2f'(x) = 3x^2 - 4x + 2. Então f′′(x)=6x−4f''(x) = 6x - 4.
  31. Ex. 60.31Application

    Calcule f(4)(x)f^{(4)}(x) para f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §3.5 · 3.5.9 · p. 261
    Show solution
    As derivadas de sin⁡x\sin x ciclam com período 4: sin⁡x→cos⁡x→−sin⁡x→−cos⁡x→sin⁡x\sin x \to \cos x \to -\sin x \to -\cos x \to \sin x. Como 4∣44 \mid 4, volta ao original: f(4)(x)=sin⁡xf^{(4)}(x) = \sin x.
    Show step-by-step (with the why)
    1. f′(x)=cos⁡xf'(x) = \cos x.
    2. f′′(x)=−sin⁡xf''(x) = -\sin x.
    3. f′′′(x)=−cos⁡xf'''(x) = -\cos x.
    4. f(4)(x)=sin⁡xf^{(4)}(x) = \sin x — retorna ao original após 4 derivadas.
    5. Macete: para f(n)f^{(n)} de sin⁡x\sin x, calcule nmod  4n \mod 4: resto 0 → sin⁡x\sin x, resto 1 → cos⁡x\cos x, resto 2 → −sin⁡x-\sin x, resto 3 → −cos⁡x-\cos x.
  32. Ex. 60.32Application

    Calcule f′(x)f'(x) para f(x)=arctan⁡xf(x) = \arctan x.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §3.7 · 3.7.1 · p. 276
    Show solution
    Pela fórmula da derivada da função inversa aplicada a tan⁡\tan: (arctan⁡x)′=11+x2(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}. Deriva diretamente da relação (tan⁡−1)′=1/(tan⁡)′∘tan⁡−1=1/sec⁡2(arctan⁡x)=cos⁡2(arctan⁡x)=1/(1+x2)(\tan^{-1})' = 1/(\tan)' \circ \tan^{-1} = 1/\sec^2(\arctan x) = \cos^2(\arctan x) = 1/(1+x^2).
  33. Ex. 60.33ApplicationAnswer key

    Calcule g′(x)g'(x) para g(x)=arctan⁡(2x)g(x) = \arctan(2x).

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §3.7 · 3.7.7 · p. 278
    Show solution
    Cadeia: g′(x)=11+(2x)2⋅2=21+4x2g'(x) = \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot 2 = \frac{2}{1+4x^2}.
  34. Ex. 60.34UnderstandingAnswer key

    Calcule h′(x)h'(x) para h(x)=ln⁡(2x)h(x) = \ln(2x) e identifique o erro mais comum.

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    Solve onlineActive Calculus · §2.6 · 2.6.5 · p. 108
    Show solution
    Dois métodos: (1) h(x)=ln⁡2+ln⁡xh(x) = \ln 2 + \ln x, portanto h′(x)=0+1/x=1/xh'(x) = 0 + 1/x = 1/x. (2) Cadeia: h′(x)=12x⋅2=1/xh'(x) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = 1/x. Ambos concordam. O distrator "1/(2x)" é o erro mais comum — aplicar a fórmula sem lembrar da cadeia.
  35. Ex. 60.35Application

    Calcule f′(x)f'(x) para f(x)=axf(x) = a^x, com a>0a > 0 e a≠1a \neq 1.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §3.9 · 3.9.5 · p. 299
    Show solution
    Escreva ax=exln⁡aa^x = e^{x \ln a}. Então f′(x)=exln⁡a⋅ln⁡a=axln⁡af'(x) = e^{x\ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a. Para a=ea = e: f′(x)=ex⋅1=exf'(x) = e^x \cdot 1 = e^x. Consistente.
  36. Ex. 60.36Challenge

    Calcule f(50)(x)f^{(50)}(x) para f(x)=sin⁡(2x)f(x) = \sin(2x).

    Solve onlineAPEX Calculus · §2.3 · 2.3.27 · p. 100
    Show solution
    Cada derivada de sin⁡(2x)\sin(2x) multiplica por 2 e avança na sequência sin → cos → -sin → -cos (período 4). Após nn derivadas, o fator é 2n2^n. Como 50=4⋅12+250 = 4 \cdot 12 + 2, o resto é 2: f(50)(x)=−250sin⁡(2x)f^{(50)}(x) = -2^{50}\sin(2x).
    Show step-by-step (with the why)
    1. f′(x)=2cos⁡(2x)f'(x) = 2\cos(2x).
    2. f′′(x)=−22sin⁡(2x)f''(x) = -2^2\sin(2x).
    3. f(4)(x)=24sin⁡(2x)f^{(4)}(x) = 2^4\sin(2x) — período 4 com fator 242^4.
    4. Decomponha: 50=4⋅12+250 = 4 \cdot 12 + 2, portanto f(50)∼f(2)f^{(50)} \sim f^{(2)} com fator total 2502^{50}.
    5. Resultado: f(50)(x)=−250sin⁡(2x)f^{(50)}(x) = -2^{50}\sin(2x).
  37. Ex. 60.37Application

    Use a linearização de f(x)=exf(x) = e^x em a=0a = 0 para aproximar e0,1e^{0{,}1}.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §4.2 · 4.2.1 · p. 353
    Show solution
    Em a=0a=0: f(0)=1f(0)=1, f′(0)=1f'(0)=1. Linearização: L(x)=1+xL(x) = 1 + x. Então e0,1≈1,1e^{0{,}1} \approx 1{,}1. Valor exato: ≈1,1052\approx 1{,}1052. Erro: <0,5%< 0{,}5\%.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule f(0)=e0=1f(0) = e^0 = 1 e f′(0)=e0=1f'(0) = e^0 = 1.
    2. Fórmula da linearização: L(x)=1+1⋅(x−0)=1+xL(x) = 1 + 1 \cdot (x - 0) = 1 + x.
    3. Avalie: e0,1≈L(0,1)=1,1e^{0{,}1} \approx L(0{,}1) = 1{,}1.
    4. Macete: escolha aa como o ponto mais próximo de onde se quer aproximar em que f(a)f(a) e f′(a)f'(a) sejam exatos e simples de calcular.
  38. Ex. 60.38Application

    Use a linearização de f(x)=xf(x) = \sqrt{x} em a=25a = 25 para aproximar 25,1\sqrt{25{,}1}.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §4.2 · 4.2.5 · p. 354
    Show solution
    Em a=25a=25: f(25)=5f(25) = 5, f′(x)=1/(2x)f'(x) = 1/(2\sqrt{x}), f′(25)=1/10f'(25) = 1/10. Então 25,1≈5+110(25,1−25)=5,01\sqrt{25{,}1} \approx 5 + \frac{1}{10}(25{,}1-25) = 5{,}01.
  39. Ex. 60.39Application

    Use a linearização de f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x em a=1a = 1 para aproximar ln⁡(1,05)\ln(1{,}05).

    Solve onlineActive Calculus · §1.8 · 1.8.3 · p. 72
    Show solution
    Em a=1a=1: f(1)=0f(1) = 0, f′(1)=1f'(1) = 1. Linearização: L(x)=x−1L(x) = x-1. Logo ln⁡(1,05)≈0,05\ln(1{,}05) \approx 0{,}05. Valor exato: ≈0,04879\approx 0{,}04879. Erro <3%< 3\%.
  40. Ex. 60.40Understanding

    O que é geometricamente a linearização L(x)L(x) de ff em aa?

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    Solve onlineActive Calculus · §1.8 · conceitual · p. 70
    Show solution
    A linearização L(x)=f(a)+f′(a)(x−a)L(x) = f(a) + f'(a)(x-a) é exatamente a reta tangente em (a,f(a))(a, f(a)). É a melhor aproximação linear de ff perto de aa no sentido preciso: f(x)−L(x)=o(x−a)f(x) - L(x) = o(x-a) quando x→ax \to a.
  41. Ex. 60.41ModelingAnswer key

    O raio de uma esfera é r=5r = 5 cm com erro de medição dr=0,1dr = 0{,}1 cm. Use o diferencial para estimar o erro absoluto e relativo no volume V=43πr3V = \tfrac{4}{3}\pi r^3.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §4.2 · 4.2.11 · p. 357
    Show solution
    Diferencial de volume: dV=4πr2 drdV = 4\pi r^2\,dr. Com r=5r=5 cm e dr=0,1dr = 0{,}1 cm: dV=4π(25)(0,1)=10π≈31,4dV = 4\pi(25)(0{,}1) = 10\pi \approx 31{,}4 cm³. O erro relativo em VV é dV/V=3(dr/r)=3(0,1/5)=6%dV/V = 3(dr/r) = 3(0{,}1/5) = 6\%.
  42. Ex. 60.42Challenge

    Se o erro relativo no raio de uma esfera é 1%1\%, qual é o erro relativo no volume? Justifique com diferenciais.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §4.2 · 4.2.17 · p. 359
    Show solution
    dV/V=4πr2 dr/(43πr3)=3 dr/rdV/V = 4\pi r^2\,dr / (\tfrac{4}{3}\pi r^3) = 3\,dr/r. O erro relativo em VV é sempre **3 vezes** o erro relativo em rr. Se dr/r=1%dr/r = 1\%, então dV/V≈3%dV/V \approx 3\%.
  43. Ex. 60.43Modeling

    O volume de uma esfera cresce a 22 cm³/s. Qual é dr/dtdr/dt quando r=2r = 2 cm?

    Solve onlineActive Calculus · §3.5 · 3.5.1 · p. 172
    Show solution
    dV/dt=4πr2 (dr/dt)dV/dt = 4\pi r^2\,(dr/dt). Com dV/dt=2dV/dt = 2 cm³/s e r=2r = 2 cm: 2=4π(4)(dr/dt)2 = 4\pi(4)(dr/dt). Logo dr/dt=2/(16π)=1/(8π)dr/dt = 2/(16\pi) = 1/(8\pi) cm/s.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Escreva a relação: V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3.
    2. Derive em tt: dVdt=4πr2drdt\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\frac{dr}{dt}.
    3. Substitua dV/dt=2dV/dt = 2 e r=2r = 2: 2=4π(4)(dr/dt)2 = 4\pi(4)(dr/dt).
    4. Isole: dr/dt=1/(8π)≈0,040dr/dt = 1/(8\pi) \approx 0{,}040 cm/s.
    5. Macete: em taxas relacionadas, **nunca** substitua valores numéricos antes de derivar em tt.
  44. Ex. 60.44ModelingAnswer key

    Um cone invertido tem razão raio/altura r/h=1/2r/h = 1/2. Água entra a 33 m³/min. Qual é dh/dtdh/dt quando h=2h = 2 m?

    Solve onlineActive Calculus · §3.5 · 3.5.3 · p. 173
    Show solution
    Cone com razão r/h=1/2r/h = 1/2, logo r=h/2r = h/2. Volume: V=πh312V = \frac{\pi h^3}{12}. Deriva: dV/dt=πh24 (dh/dt)dV/dt = \frac{\pi h^2}{4}\,(dh/dt). Com dV/dt=3dV/dt = 3 e h=2h = 2: 3=π(dh/dt)3 = \pi(dh/dt), logo dh/dt=3/πdh/dt = 3/\pi m/min.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Substitua a restrição r=h/2r = h/2 em V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h: V=πh312V = \frac{\pi h^3}{12}.
    2. Derive em tt: dVdt=πh24dhdt\frac{dV}{dt} = \frac{\pi h^2}{4}\frac{dh}{dt}.
    3. Substitua dV/dt=3dV/dt = 3 e h=2h = 2: 3=π(1) (dh/dt)3 = \pi(1)\,(dh/dt).
    4. Resultado: dh/dt=3/π≈0,955dh/dt = 3/\pi \approx 0{,}955 m/min.
    5. Macete: reduza a equação a uma variável usando a restrição geométrica antes de derivar em tt.
  45. Ex. 60.45Modeling

    Uma escada de 88 m apoia-se na parede. O pé desliza a 11 m/s. Quando o pé está a 55 m da parede, com que velocidade o topo desce?

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §4.1 · 4.1.5 · p. 340
    Show solution
    Pitágoras: x2+y2=64x^2 + y^2 = 64. Deriva: 2x(dx/dt)+2y(dy/dt)=02x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0. Com x=5x=5, y=39y = \sqrt{39}, dx/dt=1dx/dt = 1: 10+239(dy/dt)=010 + 2\sqrt{39}(dy/dt) = 0. Logo dy/dt=−5/39≈−0,80dy/dt = -5/\sqrt{39} \approx -0{,}80 m/s. O sinal negativo indica que o topo desce.
  46. Ex. 60.46Modeling

    Dois carros partem de uma cruzamento: um vai para norte a 4040 km/h, outro para leste a 3030 km/h. Qual é a taxa de variação da distância entre eles quando o primeiro percorreu 44 km e o segundo 33 km?

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 1 · §4.1 · 4.1.1 · p. 338
    Show solution
    Distância entre os carros: z=x2+y2z = \sqrt{x^2+y^2}. Deriva: dz/dt=(x dx/dt+y dy/dt)/zdz/dt = (x\,dx/dt + y\,dy/dt)/z. Com x=3x=3, y=4y=4, z=5z=5, dx/dt=30dx/dt = 30, dy/dt=40dy/dt = 40: dz/dt=(90+160)/5=50dz/dt = (90 + 160)/5 = 50 km/h.
  47. Ex. 60.47Proof

    Mostre que, se o raio de uma circunferência cresce a taxa constante cc cm/s, então a taxa de variação da área é proporcional ao raio rr.

    Active Calculus · §3.5 · 3.5.1 · p. 170
    Show solution
    Seja A=πr2A = \pi r^2. Então dA/dt=2πr (dr/dt)dA/dt = 2\pi r\,(dr/dt). Dado dr/dt=cdr/dt = c (constante), conclui-se que dA/dt=2πrcdA/dt = 2\pi r c — a taxa de variação da área é proporcional ao raio. A área não cresce linearmente no tempo; ela cresce cada vez mais rápido conforme rr aumenta.
  48. Ex. 60.48ChallengeAnswer key

    O raio de uma circunferência cresce a 11 cm/s. Calcule a taxa de variação da área quando r=3r = 3 cm.

    Solve onlineActive Calculus · §3.5 · 3.5.2 · p. 170
    Show solution
    A=πr2A = \pi r^2, dA/dt=2πr (dr/dt)dA/dt = 2\pi r\,(dr/dt). Com r=3r=3 e dr/dt=1dr/dt = 1: dA/dt=6π≈18,85dA/dt = 6\pi \approx 18{,}85 cm²/s.
  49. Ex. 60.49Understanding

    Analise a diferenciabilidade de f(x)=∣x∣f(x) = |x| em x=0x = 0.

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    Solve onlineActive Calculus · §1.7 · 1.7.7 · p. 65
    Show solution
    f(x)=∣x∣f(x) = |x| é contínua em 0 (os limites laterais coincidem com f(0)=0f(0)=0). Mas os limites laterais do quociente de diferença são: esquerda →−1\to -1, direita →+1\to +1. Como −1≠+1-1 \neq +1, o limite bilateral não existe: ff não é diferenciável em 0.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Limite à esquerda: lim⁡h→0−∣h∣h=−hh=−1\lim_{h\to0^-}\frac{|h|}{h} = \frac{-h}{h} = -1.
    2. Limite à direita: lim⁡h→0+∣h∣h=hh=+1\lim_{h\to0^+}\frac{|h|}{h} = \frac{h}{h} = +1.
    3. Como −1≠+1-1 \neq +1, o limite bilateral não existe.
    4. Portanto f′(0)f'(0) não existe — ff é contínua mas não diferenciável em 0.
    5. Observação: o gráfico de ∣x∣|x| tem um "canto" (corner) em x=0x=0 — sinal visual de não diferenciabilidade.
  50. Ex. 60.50ChallengeAnswer key

    Determine aa e bb para que f(x)={x2,x<1ax+b,x≥1f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 1 \\ ax + b, & x \geq 1 \end{cases} seja de classe C1C^1 em x=1x = 1.

    Solve onlineActive Calculus · §1.7 · 1.7.11 · p. 67
    Show solution
    Continuidade em x=1x=1: 1=a+b1 = a + b. Igualdade de derivadas: esquerda =2x∣x=1=2= 2x|_{x=1} = 2; direita =a= a. Logo a=2a = 2 e b=−1b = -1.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Continuidade — limites laterais coincidem: lim⁡x→1−x2=1=a(1)+b\lim_{x\to1^-}x^2 = 1 = a(1)+b, logo a+b=1a+b=1.
    2. Diferenciabilidade — derivadas laterais coincidem: f′(1−)=2x∣1=2f'(1^-) = 2x|_1 = 2 e f′(1+)=af'(1^+) = a. Logo a=2a = 2.
    3. Do sistema: b=1−2=−1b = 1 - 2 = -1.
    4. Verificação: f(1−)=1f(1^-) = 1, f(1+)=2(1)−1=1f(1^+) = 2(1)-1 = 1. Contínua. f′(1−)=f′(1+)=2f'(1^-) = f'(1^+) = 2. Diferenciável.
    5. Macete: para C1C^1 em um ponto de "emenda", imponha duas condições: continuidade (valores iguais) e igualdade de derivadas laterais.

Fontes

  • Active Calculus — Boelkins · 2024 · cap. 1–3. Fonte primária. CC-BY-NC-SA.
  • Calculus, Volume 1 — OpenStax · 2016 · §3.1–3.9, §4.1–4.2. CC-BY-NC-SA.
  • APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5 · cap. 2. CC-BY-NC.

Updated on 2026-05-05 · Author(s): Clube da Matemática

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