v1 · padrão canônico

Lição 62 — Otimização aplicada

Método geral de otimização com uma variável: modelar, derivar, classificar. Problemas clássicos de caixa, lata, cerca, custo e lucro.

Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math II/III japonês · Equiv. Analysis Klasse 12 alemã · Equiv. H2 Maths Singapura

\text{Modelar} \to Q = f(x) \to f'(x^*) = 0 \to \text{classificar}

Em otimização aplicada: identifique a quantidade Q a maximizar ou minimizar, use a restrição para expressar Q como função de uma variável, derive, ache o ponto crítico $x^*$ , e compare $f(x^*)$ com os extremos do domínio físico.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Método geral e fundamentos

Problema de otimização com restrição

Algoritmo de otimização (uma variável)

"Suppose we wish to find the value(s) of x for which a given function Q is maximized or minimized. We use derivatives to find critical points and then evaluate Q at those points and at the endpoints of the domain to determine the absolute maximum or minimum." — Active Calculus §3.3

Exemplo canônico: lata cilíndrica de volume fixo

"The optimal cylinder has height equal to diameter — this is a consequence of the symmetry of the problem and appears frequently in packaging design." — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.7

Gráfico esquemático de $A(r)$ : decresce até o ponto ótimo $r^*$ , depois cresce. O mínimo é o único ponto crítico interior.

Exemplos resolvidos

Example· Cerca retangular com um lado fixo

Problema. Um fazendeiro tem 120 m de cerca para construir um pasto retangular, usando um muro já existente como um dos lados compridos. Qual a dimensão do pasto de maior área?

Estratégia. Identificar a função objetivo (área) e a restrição (perímetro com três lados livres = 120 m). Eliminar uma variável e maximizar.

Resolução.

Sejam $x$ = largura (dois lados) e $y$ = comprimento (lado oposto ao muro). Restrição: $2x + y = 120 \Rightarrow y = 120 - 2x$ .

Área: $A(x) = xy = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2$ . Domínio: $0 < x < 60$ .

A'(x) = 120 - 4x = 0 \implies x = 30 \text{ m}

$y = 120 - 60 = 60$ m. Área máxima: $30 \times 60 = 1800$ m².

Verificação. $A''(30) = -4 < 0$ → máximo confirmado. Nos endpoints: $A(0) = A(60) = 0$ .

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §4.7, Example 4.33 · CC-BY-NC-SA

Example· Caixa sem tampa de volume máximo

Problema. De uma chapa quadrada de lado 36 cm, cortam-se quadrados iguais nos cantos e dobram-se as abas para formar uma caixa sem tampa. Qual o tamanho do corte que maximiza o volume?

Estratégia. Expressar o volume em função do lado $x$ do quadrado cortado, derivar, achar o ponto crítico.

Resolução.

Base: $(36 - 2x)^2$ . Altura: $x$ . Domínio: $0 < x < 18$ .

V(x) = x(36-2x)^2 = x(1296 - 144x + 4x^2) = 4x^3 - 144x^2 + 1296x

V'(x) = 12x^2 - 288x + 1296 = 12(x^2 - 24x + 108) = 12(x-6)(x-18)

Raízes: $x = 6$ (viável) e $x = 18$ (endpoint, $V = 0$ ).

$V(6) = 6 \cdot 24^2 = 6 \cdot 576 = 3456$ cm³.

Verificação. $V''(6) = 24 \cdot 6 - 288 = -144 < 0$ → máximo.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §4.7, Example 4.32 · CC-BY-NC-SA

Example· Lata cilíndrica de área mínima

Problema. Uma lata cilíndrica deve conter $V = 1000$ cm³. Determine o raio e a altura que minimizam a área total de material.

Estratégia. Expressar a área como função do raio usando $h = V/(\pi r^2)$ , derivar.

Resolução.

A(r) = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r} = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}

A'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 \implies r^3 = \frac{2000}{4\pi} = \frac{500}{\pi}

r^* = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5{,}42 \text{ cm}

$h^* = 1000/(\pi \cdot r^{*2}) \approx 10{,}84$ cm $= 2r^*$ — altura igual ao diâmetro.

Verificação. $A''(r) = 4\pi + 4000/r^3 > 0$ para todo $r > 0$ → mínimo global.

Fonte. Active Calculus §3.3, Activity 3.3.2 · CC-BY-NC-SA

Example· Distância mínima de ponto à reta

Problema. Determine o ponto da reta $y = 2x + 3$ mais próximo da origem.

Estratégia. Minimizar $d^2 = x^2 + y^2$ (equivalente a minimizar $d$ ) substituindo $y = 2x + 3$ .

Resolução.

D(x) = x^2 + (2x+3)^2 = 5x^2 + 12x + 9

D'(x) = 10x + 12 = 0 \implies x^* = -\tfrac{6}{5}

$y^* = 2(-6/5) + 3 = 3/5$ . Distância: $d = \sqrt{(6/5)^2 + (3/5)^2} = \sqrt{45/25} = 3\sqrt{5}/5$ .

Verificação. $D''(x) = 10 > 0$ → mínimo. A fórmula analítica de distância ponto-reta dá o mesmo resultado: $d = |0 - 0 + 3|/\sqrt{5} = 3/\sqrt{5} = 3\sqrt{5}/5$ .

Fonte. APEX Calculus §4.3, Example 4.3.2 · CC-BY-NC

Example· Lucro máximo com custo não-linear

Problema. Uma empresa tem receita $R(x) = 200x - x^2$ e custo $C(x) = x^3/3 - 7x^2 + 111x + 50$ para $x \in [0, 14]$ unidades. Maximize o lucro.

Estratégia. Lucro $L = R - C$ . Derivar, achar ponto crítico, comparar com endpoints.

Resolução.

L(x) = 200x - x^2 - \frac{x^3}{3} + 7x^2 - 111x - 50 = -\frac{x^3}{3} + 6x^2 + 89x - 50

L'(x) = -x^2 + 12x + 89

Discriminante: $144 + 356 = 500$ . Raízes: $x = \frac{-12 \pm \sqrt{500}}{-2}$ . Raiz positiva em $[0,14]$ : $x^* \approx 14$ ... recalculando: $x = (12 + \sqrt{500})/2 \approx (12 + 22{,}36)/2 \approx 17{,}18$ (fora). Raiz menor: $(12 - 22{,}36)/2 \approx -5{,}18$ (fora). Logo $L'(x) > 0$ em $[0,14]$ — $L$ crescente: máximo em endpoint $x = 14$ .

$L(14) = -2744/3 + 6(196) + 89(14) - 50 = -914{,}67 + 1176 + 1246 - 50 \approx 1457$ .

Verificação. Verificar $L(0) = -50$ confirma que o máximo absoluto é no endpoint $x = 14$ .

Fonte. Active Calculus §3.3, Exercise 3.3.4 · CC-BY-NC-SA

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 2Modeling 5Challenge 1Proof 2

Ex. 62.1Application
Com 100 m de cerca, qual é a maior área retangular que se pode cercar?
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.7
Show solution
Perímetro: $2x + 2y = 100 \Rightarrow y = 50 - x$ . Área: $A(x) = x(50-x) = 50x - x^2$ . $A'(x) = 50 - 2x = 0 \Rightarrow x = 25$ . Área máxima: $25 \times 25 = 625$ m² (quadrado).
Show step-by-step (with the why)
1. Nomeie as dimensões: largura $x$ , comprimento $y$ .
2. Restrição: $2x + 2y = 100$ , logo $y = 50 - x$ .
3. Função objetivo: $A = xy = x(50-x)$ . Domínio: $0 < x < 50$ .
4. Derive e zere: $A'(x) = 50 - 2x = 0 \Rightarrow x = 25$ .
5. $A''(25) = -2 < 0$ → máximo. $A_\max = 625$ m².
Macete: entre todos os retângulos com perímetro fixo, o quadrado tem a maior área.
Ex. 62.2Application
Um pasto retangular é dividido ao meio por uma cerca paralela à largura. A cerca total (perímetro + divisória) é 120 m. Maximize a área.
Solve online APEX Calculus · 4.3
Show solution
Seja $x$ a largura. $3x + 2y = 120 \Rightarrow y = (120-3x)/2$ . Área: $A = xy = x(120-3x)/2 = 60x - 3x^2/2$ . $A' = 60 - 3x = 0 \Rightarrow x = 20$ . $y = 30$ . Área máxima: $20 \times 30 = 600$ m².
Ex. 62.3Application
Um copo cilíndrico (fundo mas sem tampa) deve ter volume de 500 cm³. Quais dimensões minimizam o material usado?
Solve online Active Calculus · 3.3
Show solution
Volume: $V = \pi r^2 h$ . Área lateral: $A = 2\pi r h + \pi r^2$ (tampa em cima, fundo aberto). Para $V = 500$ cm³: $h = 500/(\pi r^2)$ . $A(r) = 2\pi r \cdot 500/(\pi r^2) + \pi r^2 = 1000/r + \pi r^2$ . $A'(r) = -1000/r^2 + 2\pi r = 0 \Rightarrow r^3 = 500/\pi$ . $r^* = (500/\pi)^{1/3} \approx 5{,}42$ cm, $h = 500/(\pi \cdot 5{,}42^2) \approx 5{,}42$ cm (metade do diâmetro).
Ex. 62.4ApplicationAnswer key
Uma caixa retangular de base quadrada e sem tampa deve ter volume de 32 cm³. O material da base custa R$ 2/cm² e o das laterais R$ 1/cm². Minimize o custo total.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.7
Show solution
Base quadrada lado $x$ , altura $h$ . Volume: $x^2 h = 32 \Rightarrow h = 32/x^2$ . Custo: base R\ $2 por cm², laterais R\$ 1 por cm². $C = 2 \cdot 2x^2 + 1 \cdot 4xh = 4x^2 + 4x \cdot 32/x^2 = 4x^2 + 128/x$ . $C'(x) = 8x - 128/x^2 = 0 \Rightarrow x^3 = 16 \Rightarrow x = 2\sqrt[3]{2} \approx 2{,}52$ cm. $h = 32/(2{,}52)^2 \approx 5{,}04$ cm.
Ex. 62.5Application
A soma de dois números positivos é 20. Determine os dois números que maximizam seu produto.
Solve online APEX Calculus · 4.3
Show solution
Seja $x$ e $y$ com $x + y = 20$ . Maximize $P = xy = x(20-x) = 20x - x^2$ . $P'(x) = 20 - 2x = 0 \Rightarrow x = 10$ . $P_\max = 100$ .
Ex. 62.6ApplicationAnswer key
Encontre o número positivo $x$ tal que a soma de $x$ com o seu recíproco multiplicado por 4 seja mínima.
Solve online Active Calculus · 3.3
Show solution
Seja $x$ um número positivo. Minimize $f(x) = x + 4/x$ . $f'(x) = 1 - 4/x^2 = 0 \Rightarrow x = 2$ . $f(2) = 2 + 2 = 4$ . $f''(2) = 8/8 > 0$ → mínimo.
Ex. 62.7Application
Determine o ponto do eixo $x$ mais próximo do ponto $(2, 3)$ .
Solve online APEX Calculus · 4.3
Show solution
Ponto $(x, 0)$ na reta real. Distância a $A = (2, 3)$ : $D^2 = (x-2)^2 + 9$ . Minimizar $D^2$ : $2(x-2) = 0 \Rightarrow x = 2$ . Ponto mais próximo: $(2, 0)$ .
Ex. 62.8Application
Determine o ponto da reta $y = x$ mais próximo do ponto $(4, 2)$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.7
Show solution
Ponto $(x, y)$ na reta $y = x$ . $D^2 = (x-4)^2 + (x-2)^2 = 2x^2 - 12x + 20$ . $4x - 12 = 0 \Rightarrow x = 3$ . Ponto mais próximo: $(3, 3)$ . Distância: $\sqrt{(3-4)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{2}$ .
Ex. 62.9Application
De uma chapa de cartão de 24 cm × 9 cm, corta-se um quadrado nos cantos e dobram-se as abas. Determine o corte que maximiza o volume da caixa sem tampa.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.7
Show solution
De uma chapa de 24 × 9 cm. Seja $x$ o corte. Base: $(24-2x)(9-2x)$ , altura $x$ . $V = x(24-2x)(9-2x) = 4x^3 - 66x^2 + 216x$ . $V' = 12x^2 - 132x + 216 = 12(x^2 - 11x + 18) = 12(x-2)(x-9)$ . $x = 2$ (viável, pois $x < 4{,}5$ ). $V(2) = 2 \cdot 20 \cdot 5 = 200$ cm³.
Show step-by-step (with the why)
1. Seja $x$ o lado do quadrado cortado. Domínio: $0 < x < 4{,}5$ .
2. Dimensões da base: $(24-2x)$ por $(9-2x)$ .
3. Volume: $V = x(24-2x)(9-2x)$ . Expanda.
4. Derive, fatore, encontre raízes. Apenas $x = 2$ está no domínio.
5. Avalie $V(2)$ e compare com $V(0) = 0$ e $V(4{,}5) = 0$ .
Macete: o endpoint dá $V = 0$ ; o único ponto crítico interior é o máximo.
Ex. 62.10Application
A função de demanda de um produto é $p(x) = 200 - 2x$ (preço em R$ por unidade, $x$ unidades vendidas). Maximize a receita total $R = px$ .
Solve online Active Calculus · 3.3
Show solution
Receita: $R(x) = px = (200 - 2x)x = 200x - 2x^2$ . $R'(x) = 200 - 4x = 0 \Rightarrow x = 50$ . Preço ótimo: $p = 200 - 2(50) = 100$ . Receita máxima: $50 \times 100 = 5000$ .
Ex. 62.11Application
Uma empresa tem receita $R(x) = 140x$ e custo $C(x) = x^2 + 40x + 100$ . Determine a produção que maximiza o lucro.
Solve online APEX Calculus · 4.3
Show solution
Lucro: $L = R - C = 140x - (x^2 + 40x + 100) = -x^2 + 100x - 100$ . $L'(x) = -2x + 100 = 0 \Rightarrow x = 50$ . $L(50) = -2500 + 5000 - 100 = 2400$ .
Ex. 62.12Application
Uma caixa com tampa de base quadrada deve ter volume de 96 cm³. Minimize a área total de superfície.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.7
Show solution
Volume total: $2x^2 h = 96 \Rightarrow h = 48/x^2$ (caixa dupla empilhada: dois compartimentos de altura $h/2$ ... reinterprete: caixa única). Para caixa quadrada com volume $x^2 h = 96$ : $h = 96/x^2$ . Área: $A = 2x^2 + 4xh = 2x^2 + 384/x$ . $A' = 4x - 384/x^2 = 0 \Rightarrow x^3 = 96 \Rightarrow x = \sqrt[3]{96} \approx 4{,}58$ cm. $h \approx 4{,}58$ cm (cubo ótimo).
Ex. 62.13UnderstandingAnswer key
Em um problema de otimização com restrição, qual é o papel correto da equação de restrição?
Select the correct option
Usar a restrição para eliminar variáveis e obter uma função de uma única variávelDerivar a restrição e igualar a zeroMaximizar e minimizar a restrição simultaneamenteAdicionar a restrição como termo à função objetivo
Select an option first
Solve online Active Calculus · 3.3
Show solution
Em otimização com restrição, o papel da restrição é reduzir o número de variáveis. Substitui-se em $Q$ para obter uma função de uma variável, que então se otimiza com derivadas. Derivar a restrição e igualar a zero é o método de Lagrange (próxima aula, em várias variáveis).
Ex. 62.14Understanding
Para encontrar o máximo ou mínimo absoluto de $f$ em $[a, b]$ , deve-se:
Select the correct option
Avaliar f nos pontos críticos e nos endpoints do domínio físicoTomar apenas o ponto crítico onde f' = 0Aplicar o teste da segunda derivada em todos os pontosSubstituir os pontos críticos na restrição
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.7
Show solution
O algoritmo dos extremos absolutos requer avaliação de $f$ em todos os pontos críticos interiores E nos endpoints. Ignorar endpoints é erro frequente — o ótimo global pode ser na borda do domínio físico.
Ex. 62.15Application
Determine as dimensões do cilindro de maior volume inscrito numa esfera de raio $R$ .
Solve online APEX Calculus · 4.3
Show solution
Cilindro inscrito em esfera de raio $R$ . Relação: $r^2 + (h/2)^2 = R^2 \Rightarrow r^2 = R^2 - h^2/4$ . Volume: $V = \pi r^2 h = \pi h(R^2 - h^2/4)$ . $V'(h) = \pi(R^2 - 3h^2/4) = 0 \Rightarrow h = 2R/\sqrt{3}$ . $r = R\sqrt{2/3}$ .
Ex. 62.16ApplicationAnswer key
Determine os pontos da parábola $y = x^2$ mais próximos do ponto $(0, 3)$ .
Solve online Active Calculus · 3.3
Show solution
Ponto $(x, y)$ na parábola $y = x^2$ . Distância ao ponto $(0, 3)$ : $D^2 = x^2 + (x^2-3)^2 = x^4 - 5x^2 + 9$ . $(D^2)' = 4x^3 - 10x = 2x(2x^2-5) = 0$ . Raízes: $x = 0$ e $x = \pm\sqrt{5/2}$ . Em $x = 0$ : distância $3$ (máximo local). Em $x = \pm\sqrt{5/2}$ : distância $\sqrt{9 - 25/4} = \sqrt{11/4} = \sqrt{11}/2 \approx 1{,}66$ → pontos mais próximos.
Ex. 62.17Modeling
Uma área retangular de 300 m² será cercada. O lado leste (comprimento $x$ ) custa R$ 2/m e os demais lados custam R$ 3/m por metro. Minimize o custo total.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.7
Show solution
Custo $C = 2x + 3y$ com restrição $xy = 300$ , logo $y = 300/x$ . $C(x) = 2x + 900/x$ . $C' = 2 - 900/x^2 = 0 \Rightarrow x = \sqrt{450} \approx 21{,}2$ m. $y = 300/21{,}2 \approx 14{,}1$ m. Custo mínimo: $C \approx 2(21{,}2) + 900/21{,}2 \approx 84{,}8$ .
Ex. 62.18ModelingAnswer key
Um objeto é lançado verticalmente com velocidade inicial de 20 m/s de uma altura de 3 m. Modelo: $h(t) = -5t^2 + 20t + 3$ . Determine a altura máxima.
Solve online APEX Calculus · 4.3
Show solution
Altitude: $h(t) = -5t^2 + 20t + 3$ (aceleração gravitacional $\approx 10$ m/s²). $h'(t) = -10t + 20 = 0 \Rightarrow t = 2$ s. Altura máxima: $h(2) = -20 + 40 + 3 = 23$ m.
Ex. 62.19Modeling
Uma lata cilíndrica de volume 200 cm³ tem material de base e tampa que custa R$ 10/cm² e lateral que custa R$ 6/cm². Determine as dimensões que minimizam o custo.
Solve online Active Calculus · 3.3
Show solution
Custo total: $C(r) = 10 \cdot 2\pi r^2 + 6 \cdot 2\pi rh$ . Com $\pi r^2 h = 200$ : $h = 200/(\pi r^2)$ . $C(r) = 20\pi r^2 + 2400/r$ . $C'(r) = 40\pi r - 2400/r^2 = 0 \Rightarrow r^3 = 60/\pi$ . $r^* \approx 2{,}67$ cm. $h \approx 8{,}93$ cm.
Ex. 62.20Modeling
Um corredor de academia tem formato de retângulo com semicírculos nos dois lados curtos (pista oval). O perímetro total é 20 m. Determine o raio $r$ que maximiza a área interna.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.7
Show solution
Perímetro do semicírculo + dois lados retos: $\pi r + 2l = 20 \Rightarrow l = (20 - \pi r)/2$ . Área: $A = \pi r^2/2 + 2rl = \pi r^2/2 + r(20 - \pi r) = 20r - \pi r^2/2$ . $A' = 20 - \pi r = 0 \Rightarrow r = 20/\pi \approx 6{,}37$ m. $l = 0$ — o corredor ideal é um semicírculo puro.
Ex. 62.21Application
A soma de dois números é 10. Encontre os dois números que minimizam a soma dos seus quadrados.
Solve online APEX Calculus · 4.3
Show solution
Seja $x$ um número. Minimize $f(x) = x^2 + (10-x)^2 = 2x^2 - 20x + 100$ . $f'(x) = 4x - 20 = 0 \Rightarrow x = 5$ . Os dois números são 5 e 5; soma dos quadrados mínima: $25 + 25 = 50$ .
Ex. 62.22Application
A soma de dois números não-negativos é 1. Maximize o produto do quadrado do primeiro com o segundo.
Solve online Active Calculus · 3.3
Show solution
Seja $x$ e $y$ com $x + y = 1$ . Maximize $P = x^2 y = x^2(1-x)$ . $P' = 2x(1-x) - x^2 = x(2 - 3x) = 0$ . Raízes: $x = 0$ (mínimo) e $x = 2/3$ . $y = 1/3$ . $P_\max = (4/9)(1/3) = 4/27$ .
Ex. 62.23ApplicationAnswer key
Determine a área máxima de um retângulo inscrito em um semicírculo de raio 5.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.7
Show solution
Retângulo inscrito em semicírculo de raio 5. Vértice em $(x, y)$ com $x^2 + y^2 = 25$ . Área: $A = 2x \cdot y = 2x\sqrt{25-x^2}$ . Maximize $A^2 = 4x^2(25-x^2)$ . $(A^2)' = 4(50x - 4x^3) = 0 \Rightarrow x = \sqrt{25/2} = 5/\sqrt{2}$ . $y = 5/\sqrt{2}$ . $A_\max = 25$ .
Ex. 62.24Application
Determine o ponto da curva $y = x^2 - 2$ mais próximo do ponto $(1, 0)$ .
Solve online APEX Calculus · 4.3
Show solution
Distância: $D^2 = (x-1)^2 + y^2 = (x-1)^2 + (x^2-2)^2$ . $(D^2)' = 2(x-1) + 4x(x^2-2) = 2x - 2 + 4x^3 - 8x = 4x^3 - 6x - 2 = 2(2x^3 - 3x - 1)$ . Raiz racional: $x = -1/2$ ... Teste: $2(-1/8) - 3(-1/2) - 1 = -1/4 + 3/2 - 1 = 1/4 \neq 0$ . Use $x = -1$ : $-2 + 3 - 1 = 0$ . Logo $x = -1$ . Ponto: $(-1, 1)$ . (Divisão: $2x^3-3x-1 = (x+1)(2x^2-2x-1)$ . Outras raízes: $x = (1\pm\sqrt{3})/2$ . A mais próxima de $(1,0)$ : $x = (1+\sqrt{3})/2 \approx 1{,}37$ , dando ponto $(1{,}37, -0{,}12)$ mais próximo.)
Ex. 62.25Application
Uma excursão cobra R$ 80 por pessoa para grupos de 100. Para cada passageiro extra, a tarifa de todos cai R$ 0,50. Quantos passageiros maximizam a receita?
Solve online Active Calculus · 3.3
Show solution
Receba $n$ passageiros extras além de 100. Tarifa: $80 - 0{,}50n$ . Receita: $R(n) = (100+n)(80-0{,}5n) = 8000 + 30n - 0{,}5n^2$ . $R' = 30 - n = 0 \Rightarrow n = 30$ . Total: 130 passageiros. Tarifa: R\$ 65. Receita: $130 \times 65 = 8450$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Defina $n$ = passageiros extras além do grupo de 100.
2. Tarifa por pessoa: $80 - 0{,}50n$ .
3. Receita total: $R = (100+n)(80-0{,}5n)$ .
4. Expanda e derive: $R'(n) = 30 - n$ .
5. Zero: $n = 30$ . Confirme com $R'' = -1 < 0$ .
Macete: em problemas de tarifa com desconto, o ótimo raramente é nas bordas — é o único ponto crítico interior.
Ex. 62.26Modeling
Um laranjal com 25 árvores por hectare produz 600 laranjas por árvore. Para cada árvore adicional plantada, a produção por árvore cai 12 laranjas. Quantas árvores por hectare maximizam a produção total?
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.7
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Seja $x$ o número de plantações por árvore. Rendimento por árvore: $300 + 20(x-25)$ laranjas... Reinterpretação: com 25 árvores por hectare, cada árvore dá 600 laranjas. Para cada árvore adicional acima de 25, cada árvore dá 12 a menos. Seja $n$ árvores adicionais. Total: $(25+n)(600-12n)$ . $T' = 600 - 12n + (25+n)(-12) = 600 - 12n - 300 - 12n = 300 - 24n = 0 \Rightarrow n = 12{,}5$ , logo 37 ou 38 árvores (verifique ambos). $T(12) = 37 \cdot 456 = 16872$ ; $T(13) = 38 \cdot 444 = 16872$ . Ambos ótimos: 37 ou 38 árvores.
Ex. 62.27Application
Uma janela "normanda" é formada por um retângulo encimado por um semicírculo. O perímetro total é 10 m. Determine o raio do semicírculo que maximiza a área da janela.
Solve online APEX Calculus · 4.3
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Janela: semicírculo de raio $r$ sobre retângulo de largura $2r$ e altura $h$ . Perímetro: $\pi r + 2h + 2r = 10 \Rightarrow h = (10 - \pi r - 2r)/2$ . Área: $A = \pi r^2/2 + 2rh = \pi r^2/2 + r(10 - \pi r - 2r) = 10r - 2r^2 - \pi r^2/2$ . $A' = 10 - 4r - \pi r = 0 \Rightarrow r = 10/(4+\pi) \approx 1{,}40$ m.
Ex. 62.28ProofAnswer key
Use cálculo para demonstrar que, entre todos os pares de números positivos com soma fixa $S$ , o produto é máximo quando os dois números são iguais. (Isso prova a desigualdade AM-GM para dois termos.)
Solve online Active Calculus · 3.3
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Sejam $x, y > 0$ com $x + y = S$ (constante). Maximize $P = xy = x(S-x)$ . $P'(x) = S - 2x = 0 \Rightarrow x = S/2$ . $y = S/2$ . Portanto $xy \leq (S/2)^2 = (x+y)^2/4$ , com igualdade se e somente se $x = y$ . Isso prova a desigualdade AM-GM: $\sqrt{xy} \leq (x+y)/2$ .
Ex. 62.29Proof
Demonstre que o cilindro de menor área superficial para volume fixo $V$ satisfaz $h = 2r$ (altura igual ao diâmetro).
OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.7
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Área total: $A = 2\pi r h + 2\pi r^2$ . Com $\pi r^2 h = V \Rightarrow h = V/(\pi r^2)$ : $A(r) = 2V/r + 2\pi r^2$ . Derive: $A'(r) = -2V/r^2 + 4\pi r = 0 \Rightarrow 4\pi r^3 = 2V \Rightarrow r^3 = V/(2\pi)$ . Logo $h = V/(\pi r^2) = (4\pi r^3 \cdot 2)/(4\pi r^2) = 2r$ . Portanto $h = 2r$ .
Ex. 62.30Challenge
Determine a área máxima de um retângulo inscrito na elipse $x^2/A^2 + y^2/B^2 = 1$ , com lados paralelos aos eixos coordenados.
Solve online APEX Calculus · 4.3
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Ponto $(a, b)$ na elipse $x^2/A^2 + y^2/B^2 = 1$ . Área do retângulo inscrito: $R = 4ab$ . Parametrize: $a = A\cos\theta$ , $b = B\sin\theta$ . $R(\theta) = 4AB\cos\theta\sin\theta = 2AB\sin(2\theta)$ . Máximo quando $\sin(2\theta) = 1$ , i.e., $\theta = \pi/4$ . $R_\max = 2AB$ . Dimensões: $a = A/\sqrt{2}$ , $b = B/\sqrt{2}$ .

Fontes

Boelkins, Matt. Active Calculus 2.0. Grand Valley State University, 2022. CC-BY-NC-SA. activecalculus.org/single/sec-3-3-optimization.html
OpenStax. Calculus Volume 1. Strang, Herman et al., 2023. CC-BY-NC-SA. openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-7-applied-optimization-problems
Hartman, G. et al. APEX Calculus. Virginia Military Institute, 2023. CC-BY-NC. apexcalculus.com