v1 · padrão canônico

Lição 63 — Esboço de gráficos

Pipeline completo de análise gráfica via cálculo: domínio, interceptos, simetrias, assíntotas, monotonicidade (f'), concavidade (f''), pontos de inflexão e esboço final.

Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math II/III japonês (Kurvendiskussion) · Equiv. Analysis Klasse 12 alemã

\text{Dom} \to \text{Assínt.} \to f' \to f'' \to \text{Esboço}

O esboço de gráficos via cálculo é um pipeline sistemático: determinar domínio e interceptos, identificar assíntotas, estudar o sinal de $f'$ (crescimento/extremos) e de $f''$ (concavidade/inflexões), e só então desenhar — respeitando todas as informações coletadas.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Pipeline de análise gráfica

Os oito passos formais

Definition· Pipeline de esboço via cálculo

Domínio $D \subseteq \mathbb{R}$ : onde $f$ está definida. Identifique zeros do denominador, radicandos negativos, logaritmos de não-positivos.
Interceptos: $f(0)$ (intercepto vertical); raízes de $f(x) = 0$ (interceptos horizontais, quando acessíveis).
Simetrias: $f(-x) = f(x)$ → par (gráfico simétrico em relação ao eixo $y$ ); $f(-x) = -f(x)$ → ímpar (simétrico em relação à origem); periodicidade.
Assíntotas:
- Vertical em $x = a$ : $\lim_{x \to a^\pm} f(x) = \pm\infty$ .
- Horizontal $y = L$ : $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ .
- Oblíqua $y = mx + b$ : $m = \lim_{x \to \infty} f(x)/x$ e $b = \lim_{x \to \infty}(f(x) - mx)$ .
Primeira derivada $f'$ : encontre pontos críticos. Tabela de sinais → intervalos de crescimento ( $f' > 0$ ) e decrescimento ( $f' < 0$ ), extremos locais.
Segunda derivada $f''$ : encontre pontos candidatos a inflexão ( $f'' = 0$ ou inexistente). Tabela de sinais → concavidade para cima ( $f'' > 0$ ) ou para baixo ( $f'' < 0$ ).
Ponto de inflexão: ponto $c$ onde $f''$ muda de sinal (a concavidade troca).
Esboço: marque interceptos, assíntotas (linhas tracejadas), extremos e inflexões; desenhe a curva respeitando crescimento e concavidade em cada intervalo.

"If f'(x) > 0 on an interval, then f is increasing on that interval. If f''(x) > 0, then f is concave up. These two pieces of information, combined with critical and inflection points, give a complete picture of the graph." — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.5

Tabela de comportamento combinado

$f'$	$f''$	Comportamento
$> 0$	$> 0$	crescente, côncava para cima
$> 0$	$< 0$	crescente, côncava para baixo
$< 0$	$> 0$	decrescente, côncava para cima
$< 0$	$< 0$	decrescente, côncava para baixo

Definição de concavidade e inflexão

Curva típica: máximo local, dois pontos de inflexão (mudança de concavidade), mínimo local. Pontos de inflexão ocorrem onde a curvatura troca de direção.

Exemplos resolvidos

Example· Esboço completo de polinômio cúbico

Problema. Faça o esboço completo de $f(x) = x^3 - 3x$ .

Estratégia. Aplicar os 8 passos do pipeline.

Resolução.

Domínio: $\mathbb{R}$ .
Interceptos: $f(0) = 0$ . Raízes: $x(x^2-3) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm\sqrt{3}$ .
Simetria: $f(-x) = -x^3 + 3x = -f(x)$ → ímpar.
Assíntotas: nenhuma (polinômio).
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ . Pontos críticos: $x = \pm 1$ . Crescente em $(-\infty,-1)$ e $(1,\infty)$ ; decrescente em $(-1,1)$ . Máx local $f(-1) = 2$ ; mín local $f(1) = -2$ .
$f''(x) = 6x$ . Zero em $x = 0$ . Côncava para baixo em $x < 0$ ; para cima em $x > 0$ .
Inflexão: $x = 0$ (mudança de sinal de $f''$ ). Ponto: $(0, 0)$ .
Esboço: curva em "S" passando pela origem, máximo em $(-1, 2)$ , mínimo em $(1, -2)$ .

Verificação. Pela simetria ímpar, o gráfico é simétrico em relação à origem — os valores conferem.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §4.5, Example 4.20 · CC-BY-NC-SA

Example· Função racional com assíntota horizontal

Problema. Esboce $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 + 1}$ .

Estratégia. Identificar assíntotas, usar $f'$ e $f''$ .

Resolução.

Domínio: $\mathbb{R}$ (denominador nunca nulo).
Intercepto: $f(0) = 0$ . Única raiz: $x = 0$ .
Simetria: $f(-x) = f(x)$ → par.
Assíntota horizontal: $\lim_{x \to \pm\infty} x^2/(x^2+1) = 1$ . Reta $y = 1$ .
$f'(x) = 2x/(x^2+1)^2$ . Positivo para $x > 0$ , negativo para $x < 0$ . Mínimo local em $x = 0$ (por sinal: $f'$ muda de $-$ para $+$ ).
$f''(x) = (2(x^2+1)^2 - 2x \cdot 2(x^2+1)\cdot 2x)/(x^2+1)^4 = 2(1-3x^2)/(x^2+1)^3$ . Zero: $x = \pm 1/\sqrt{3}$ .
Inflexões em $x = \pm 1/\sqrt{3}$ . $f'' > 0$ em $|x| < 1/\sqrt{3}$ ; $f'' < 0$ em $|x| > 1/\sqrt{3}$ .
Curva simétrica, parte de 0, cresce assintoticamente para 1.

Verificação. $0 \leq f(x) < 1$ para todo $x$ — consistente com assíntota horizontal em 1.

Fonte. APEX Calculus §3.5, Example 3.5.2 · CC-BY-NC

Example· Função com assíntota vertical e horizontal

Problema. Esboce $f(x) = \dfrac{2x}{x - 1}$ .

Estratégia. Identificar assíntota vertical ( $x = 1$ ) e horizontal, depois analisar $f'$ .

Resolução.

Domínio: $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ .
Interceptos: $f(0) = 0$ ; raiz: $x = 0$ .
Assíntota vertical: $x = 1$ ( $f \to \pm\infty$ ).
Assíntota horizontal: $\lim_{x \to \pm\infty} 2x/(x-1) = 2$ . Reta $y = 2$ .
$f'(x) = (2(x-1) - 2x)/(x-1)^2 = -2/(x-1)^2 < 0$ para todo $x \neq 1$ . Função estritamente decrescente em cada ramo.
$f''(x) = 4/(x-1)^3$ . Positivo para $x > 1$ (côncava para cima); negativo para $x < 1$ (côncava para baixo).
Sem inflexões (denominador nunca nulo fora de $x = 1$ ).
Dois ramos: $x < 1$ (decrescente, côncava para baixo) e $x > 1$ (decrescente, côncava para cima).

Verificação. $f$ nunca cruza a assíntota $y = 2$ (verificar: $2x/(x-1) = 2 \Rightarrow 2x = 2x - 2$ , impossível).

Fonte. Active Calculus §3.2, Activity 3.2.3 · CC-BY-NC-SA

Example· Ponto de inflexão e concavidade

Problema. Determine os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade de $f(x) = x^4 - 6x^2$ .

Estratégia. Calcular $f''$ , encontrar zeros, verificar mudança de sinal.

Resolução.

f'(x) = 4x^3 - 12x, quad f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x-1)(x+1)

Zeros de $f''$ : $x = \pm 1$ .

$x < -1$ : $f'' > 0$ → côncava para cima.
$-1 < x < 1$ : $f'' < 0$ → côncava para baixo.
$x > 1$ : $f'' > 0$ → côncava para cima.

Inflexões em $x = -1$ e $x = 1$ : $f(-1) = 1 - 6 = -5$ , $f(1) = -5$ .

Verificação. Teste de mudança de sinal de $f''$ confirmado. Nota: $f(x) = x^4 - 6x^2$ tem $f''(0) = -12 < 0$ e $f''(2) = 36 > 0$ , consistente.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §4.5, Example 4.22 · CC-BY-NC-SA

Example· Função racional com assíntota oblíqua

Problema. Esboce $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}$ .

Estratégia. Divisão polinomial para obter assíntota oblíqua; analisar $f'$ e $f''$ .

Resolução.

Domínio: $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ .
Interceptos: $f(x) = 0 \Rightarrow x^2 + 1 = 0$ — sem raízes reais. Sem intercepto em $x = 0$ (fora do domínio).
Simetria: $f(-x) = (-x^2 - 1)/(-x) = (x^2+1)/x = f(x)$ ... aguarde: $f(-x) = (x^2+1)/(-x) = -f(x)$ → ímpar.
Assíntota vertical: $x = 0$ . Divisão: $f(x) = x + 1/x$ → assíntota oblíqua $y = x$ .
$f'(x) = 1 - 1/x^2$ . Zero: $x = \pm 1$ . Mínimo local em $x = 1$ (valor 2); máximo local em $x = -1$ (valor −2).
$f''(x) = 2/x^3$ . Positivo para $x > 0$ , negativo para $x < 0$ . Sem inflexões (descontinuidade em 0).
Esboço: dois ramos hiperbólicos, cada um aproximando-se de $y = x$ e de $x = 0$ .

Verificação. $f(x) - x = 1/x \to 0$ quando $x \to \pm\infty$ — assíntota oblíqua confirmada.

Fonte. APEX Calculus §3.5, Example 3.5.4 · CC-BY-NC

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 25Understanding 2Challenge 2Proof 1

Ex. 63.1Application
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento e concavidade de $f(x) = x^2 - 2x$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.5
Show solution
$f'(x) = 2x - 2$ . Zero: $x = 1$ . $f' < 0$ para $x < 1$ (decrescente); $f' > 0$ para $x > 1$ (crescente). $f''(x) = 2 > 0$ — côncava para cima em todo domínio. Mínimo em $(1, -1)$ . Sem inflexões.
Ex. 63.2Application
Para $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ , determine: intervalos de crescimento/decrescimento, extremos locais, concavidade e pontos de inflexão.
Solve online Active Calculus · 3.2
Show solution
$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$ . Cresce em $(-\infty, 0)$ e $(2, \infty)$ ; decresce em $(0,2)$ . Máx local $f(0) = 1$ ; mín local $f(2) = -3$ . $f''(x) = 6x - 6$ . Inflexão em $x = 1$ : $f(1) = -1$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Derive: $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$ .
2. Zeros de $f'$ : $x = 0$ e $x = 2$ .
3. Tabela de sinais de $f'$ : $(+, -, +)$ nos três intervalos.
4. Segunda derivada: $f''(x) = 6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1$ .
5. Inflexão em $x = 1$ : $f''$ muda de $-$ para $+$ .
Macete: o ponto de inflexão está entre os dois extremos — isso é típico em cúbicas.
Ex. 63.3Application
Analise completamente $f(x) = x + \dfrac{4}{x}$ : domínio, assíntotas, extremos, concavidade.
Solve online APEX Calculus · 3.5
Show solution
Domínio: $x \neq 0$ . $f'(x) = 1 - 4/x^2$ . Zero: $x = \pm 2$ . Cresce em $(-\infty,-2)$ e $(2,\infty)$ ; decresce em $(-2,0)$ e $(0,2)$ . Máx local $f(-2) = -4$ ; mín local $f(2) = 4$ . $f''(x) = 8/x^3$ : côncava para cima em $x > 0$ , para baixo em $x < 0$ . Assíntota vertical: $x = 0$ . Assíntota oblíqua: $y = x$ .
Ex. 63.4Application
Esboce $f(x) = e^{-x^2}$ (curva de Gauss): domínio, extremos, inflexões, assíntota.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.5
Show solution
$f(x) = e^{-x^2}$ . $f'(x) = -2xe^{-x^2}$ . Máximo em $x = 0$ , $f(0) = 1$ . $f''(x) = e^{-x^2}(4x^2 - 2)$ . Inflexões em $x = \pm 1/\sqrt{2}$ . Côncava para baixo em $(-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ ; para cima fora desse intervalo. Assíntota horizontal: $y = 0$ .
Ex. 63.5ApplicationAnswer key
Analise $f(x) = x - \ln x$ para $x > 0$ : domínio, extremos, concavidade.
Solve online Active Calculus · 3.2
Show solution
Domínio: $x > 0$ . $f'(x) = 1 - 1/x$ . Zero: $x = 1$ . Mínimo local em $(1, 1)$ . $f''(x) = 1/x^2 > 0$ — côncava para cima em todo domínio. Sem inflexões. $f(x) \to -\infty$ quando $x \to 0^+$ ; $f(x) \to +\infty$ quando $x \to \infty$ .
Ex. 63.6Application
Esboce $f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 1}$ : domínio, assíntotas verticais e horizontais, extremos.
Solve online APEX Calculus · 3.5
Show solution
Domínio: $x \neq \pm 1$ . Assíntotas verticais: $x = \pm 1$ . Assíntota horizontal: $y = 0$ . $f'(x) = -2x/(x^2-1)^2$ . Positivo para $x < 0$ , negativo para $x > 0$ (nos ramos onde definida). Máximo local em $x = 0$ : $f(0) = -1$ . (O sinal de $x^2-1$ depende do intervalo.) Função par.
Ex. 63.7ApplicationAnswer key
Determine os pontos de inflexão e intervalos de concavidade de $f(x) = x^4 - 6x^2 + 2$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.5
Show solution
$f''(x) = 12x^2 - 12$ . Zero: $x = \pm 1$ . $f''(-1)$ e $f''(1)$ mudam de sinal — ambos são inflexões. Côncava para cima em $(-\infty,-1) \cup (1,\infty)$ ; para baixo em $(-1,1)$ . Pontos de inflexão: $(\pm 1, f(\pm 1))$ .
Ex. 63.8ApplicationAnswer key
Analise completamente $f(x) = xe^x$ : extremos, inflexão, assíntota.
Solve online Active Calculus · 3.2
Show solution
$f'(x) = e^x(x+1)$ . Zero: $x = -1$ . Mínimo local em $(-1, -1/e)$ . $f''(x) = e^x(x+2)$ . Zero: $x = -2$ . Inflexão em $(-2, -2e^{-2})$ . Côncava para cima em $x > -2$ ; para baixo em $x < -2$ . Assíntota: $y = 0$ quando $x \to -\infty$ .
Ex. 63.9Application
Analise $f(x) = x \ln x$ : domínio, mínimo, concavidade.
Solve online APEX Calculus · 3.5
Show solution
Domínio: $x > 0$ . $f'(x) = 1 + \ln x$ . Zero: $x = 1/e$ . Decresce em $(0, 1/e)$ ; cresce em $(1/e, \infty)$ . Mínimo em $(1/e, -1/e)$ . $f''(x) = 1/x > 0$ — côncava para cima sempre. Sem inflexões. Assíntota: $f \to -\infty$ quando $x \to 0^+$ .
Ex. 63.10Application
Determine a assíntota oblíqua e esboce $f(x) = \dfrac{x^2 - x}{x - 2}$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.5
Show solution
Domínio: $x \neq 2$ . Divisão: $(x^2-x)/(x-2) = x + 1 + 2/(x-2)$ → assíntota oblíqua $y = x + 1$ . Assíntota vertical $x = 2$ . $f'(x) = 1 - 2/(x-2)^2$ . Zero: $(x-2)^2 = 2 \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt{2}$ . Extremos em $x = 2 - \sqrt{2}$ (máx) e $x = 2 + \sqrt{2}$ (mín).
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique a assíntota oblíqua por divisão polinomial: $x^2 - x = (x-2)(x+1) + 2$ , logo $f(x) = x+1 + 2/(x-2)$ .
2. Assíntota oblíqua: $y = x + 1$ . Assíntota vertical: $x = 2$ .
3. Derive: $f'(x) = 1 - 2/(x-2)^2$ . Zero quando $(x-2)^2 = 2$ .
4. Classifique com $f''(x) = 4/(x-2)^3$ .
Macete: assíntota oblíqua ocorre quando grau do numerador = grau do denominador + 1. Sempre faça a divisão primeiro.
Ex. 63.11Application
Determine intervalos de crescimento, extremos locais e concavidade de $f(x) = \sin x$ em $[0, 2\pi]$ .
Solve online Active Calculus · 3.2
Show solution
$f'(x) = \cos x$ . Zeros em $[0, 2\pi]$ : $x = \pi/2$ e $3\pi/2$ . Máx local em $\pi/2$ ; mín local em $3\pi/2$ . $f''(x) = -\sin x$ . Zero em $x = 0, \pi, 2\pi$ . Inflexões em $x = \pi$ (nos interiores). Côncava para baixo em $(0, \pi)$ ; para cima em $(\pi, 2\pi)$ .
Ex. 63.12Understanding
A definição correta de ponto de inflexão é:
Select the correct option
f''(c) = 0 e f'' muda de sinal em cf'(c) = 0f''(c) = 0, independente do sinal ao redorf(c) = 0
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.5
Show solution
Ponto de inflexão é definido como ponto onde $f''$ muda de sinal (concavidade troca). A condição $f''(c) = 0$ é necessária mas não suficiente — em $f(x) = x^4$ , $f''(0) = 0$ mas não há mudança de sinal. Opção B descreve ponto crítico, não inflexão.
Ex. 63.13Understanding
"Côncava para cima em um intervalo" significa que:
Select the correct option
A curva está acima de qualquer reta tangente no intervaloA curva está abaixo de qualquer reta tangentef'(x) é crescente no intervaloNenhuma das outras — A e C descrevem coisas distintas
Select an option first
Solve online Active Calculus · 3.2
Show solution
Côncava para cima ( $f'' > 0$ ) equivale a: a curva está acima de qualquer de suas tangentes (definição geométrica). Isso implica que $f'$ é crescente — opção C também é verdadeira, mas a pergunta pede "a definição correta", que é geométrica (A). Na prática, C é a consequência analítica de $f'' > 0$ .
Ex. 63.14Application
Analise completamente $f(x) = x - \dfrac{1}{x}$ .
Solve online APEX Calculus · 3.5
Show solution
Domínio: $x \neq 0$ . $f(x) = x - 1/x$ . $f'(x) = 1 + 1/x^2 > 0$ sempre — estritamente crescente. Sem extremos locais. $f''(x) = -2/x^3$ : côncava para cima em $x < 0$ ; para baixo em $x > 0$ . Sem inflexões. Assíntota vertical $x = 0$ ; assíntota oblíqua $y = x$ . Função ímpar.
Ex. 63.15Application
Analise $f(x) = e^{x^2}$ : extremos, concavidade, comportamento no infinito.
Solve online Active Calculus · 3.2
Show solution
$f'(x) = 2xe^{x^2}$ . Zero: $x = 0$ . Mínimo local $f(0) = 1$ . $f''(x) = 2e^{x^2}(1 + 2x^2) > 0$ sempre — côncava para cima em todo domínio. Sem inflexões. $f \to +\infty$ quando $x \to \pm\infty$ . Função par.
Ex. 63.16Application
Para $f(x) = \cos x + \sin x$ em $[0, 2\pi]$ , determine extremos locais, inflexões e esboce.
Solve online APEX Calculus · 3.5
Show solution
$f'(x) = -\sin x + \cos x$ . Zero em $[0,2\pi]$ : $\tan x = 1 \Rightarrow x = \pi/4, 5\pi/4$ . Máx local $f(\pi/4) = \sqrt{2}$ ; mín local $f(5\pi/4) = -\sqrt{2}$ . $f''(x) = -\cos x - \sin x$ . Zeros: $x = 3\pi/4$ e $7\pi/4$ . Inflexões nesses pontos.
Ex. 63.17Application
Esboce $f(x) = \dfrac{x}{x+3}$ : domínio, assíntotas, crescimento, concavidade.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.5
Show solution
Domínio: $x \neq -3$ . Assíntotas: vertical $x = -3$ ; horizontal $y = 1$ . $f'(x) = (x+3 - x)/(x+3)^2 = 3/(x+3)^2 > 0$ sempre. Crescente em cada ramo. $f''(x) = -6/(x+3)^3$ . Côncava para cima em $x < -3$ ; para baixo em $x > -3$ . Sem inflexões (descontinuidade em $-3$ ).
Ex. 63.18Application
Analise completamente $f(x) = x^4 - 2x^2$ : extremos, inflexões, concavidade.
Solve online Active Calculus · 3.2
Show solution
$f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x-1)(x+1)$ . Crescente em $(-1,0)$ e $(1,\infty)$ ; decrescente nos demais. Mínimos locais em $x = \pm 1$ : $f(\pm 1) = 1 - 2 = -1$ . Máximo local em $x = 0$ : $f(0) = 0$ ... aguarde: $f(0) = 0$ . $f''(x) = 12x^2 - 4$ . Inflexões em $x = \pm 1/\sqrt{3}$ .
Ex. 63.19ApplicationAnswer key
Determine domínio, assíntotas e extremos de $f(x) = \dfrac{x}{x^2 - 4}$ ... (corrija: $f(x) = \dfrac{1}{x^2-4}$ — função par com assíntotas em $x = \pm 2$ ).
Solve online APEX Calculus · 3.5
Show solution
Domínio: $x \neq \pm 2$ . Assíntotas verticais: $x = \pm 2$ . Assíntota horizontal: $y = 0$ . $f'(x) = -2x/(x^2-4)^2$ . Máximo local em $x = 0$ : $f(0) = -1/4$ . Função par.
Ex. 63.20Application
Faça o esboço completo de $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 7$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.5
Show solution
$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x+1)(x-3)$ . Máx local em $x = -1$ : $f(-1) = 5$ . Mín local em $x = 3$ : $f(3) = -27$ . $f''(x) = 6x - 6$ . Inflexão em $x = 1$ : $f(1) = -11$ . Sem assíntotas. Intercepto: $f(0) = 7$ .
Ex. 63.21ApplicationAnswer key
Analise $f(x) = \sqrt{x} - x$ para $x \geq 0$ : extremos, concavidade, interceptos.
Solve online Active Calculus · 3.2
Show solution
Domínio: $x \geq 0$ . $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1$ . Zero: $\sqrt{x} = 1/2 \Rightarrow x = 1/4$ . Máximo local em $x = 1/4$ : $f(1/4) = 1/2 - 1/4 = 1/4$ . $f''(x) = -1/(4x^{3/2}) < 0$ — côncava para baixo em todo domínio. Sem inflexões. $f(0) = 0$ ; raiz em $x = 1$ .
Ex. 63.22Application
Determine a assíntota oblíqua e os extremos de $f(x) = \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x}$ .
Solve online APEX Calculus · 3.5
Show solution
Domínio: $x \neq 0$ . $f(x) = x + 2 + 1/x$ (divisão). Assíntota oblíqua: $y = x + 2$ . Assíntota vertical: $x = 0$ . $f'(x) = 1 - 1/x^2$ . Zeros: $x = \pm 1$ . Mín local em $x = 1$ : $f(1) = 4$ . Máx local em $x = -1$ : $f(-1) = 0$ .
Ex. 63.23Proof
Demonstre que se $f''(x) > 0$ em $(a,b)$ , então o gráfico de $f$ está acima de qualquer reta tangente em $(a,b)$ (função côncava para cima fica acima de suas tangentes).
OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.5
Show solution
Suponha $f'' > 0$ em $(a,b)$ . Seja $c \in (a,b)$ e a tangente $T(x) = f(c) + f'(c)(x-c)$ . Defina $g(x) = f(x) - T(x)$ . Então $g(c) = 0$ , $g'(c) = 0$ , e $g''(x) = f''(x) > 0$ . Pelo teste da 2ª derivada, $c$ é mínimo local de $g$ . Mas $g(c) = 0$ é o menor valor local, logo $g(x) \geq 0$ perto de $c$ , i.e., $f(x) \geq T(x)$ . Como o argumento vale para qualquer $c$ , a curva está acima de toda tangente em $(a,b)$ .
Ex. 63.24ChallengeAnswer key
Mostre que toda função cúbica $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ com $a \neq 0$ tem exatamente um ponto de inflexão, e que o gráfico é simétrico em relação a esse ponto.
Active Calculus · 3.2
Show solution
Para $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ com $a \neq 0$ : $f''(x) = 6ax + 2b = 0 \Rightarrow x_0 = -b/(3a)$ . O gráfico é simétrico em relação ao ponto $(x_0, f(x_0))$ — isso pode ser verificado mostrando que $f(x_0 + t) + f(x_0 - t) = 2f(x_0)$ para todo $t$ . Logo toda cúbica com $a \neq 0$ tem exatamente um ponto de inflexão, que é o centro de simetria da curva.
Ex. 63.25Application
Esboce completamente $f(x) = x \ln x$ para $x > 0$ , incluindo o limite quando $x \to 0^+$ .
Solve online APEX Calculus · 3.5
Show solution
Domínio: $x > 0$ . $f'(x) = \ln x + 1$ . Zero: $x = 1/e$ . Mín local em $(1/e, -1/e)$ . $f''(x) = 1/x > 0$ — côncava para cima. $f(1) = 0$ . $f \to -\infty$ ... Na verdade $f(x) = x\ln x \to 0$ quando $x \to 0^+$ (por L'Hôpital). Raiz: $x\ln x = 0 \Rightarrow x = 1$ (único no domínio).
Ex. 63.26Application
Analise completamente $f(x) = x^4 - 4x^2$ : extremos, inflexões, concavidade, simetria.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.5
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$f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2)$ . Zeros: $x = 0, \pm\sqrt{2}$ . Máx local em $x = 0$ : $f(0) = 0$ . Mínimos locais em $x = \pm\sqrt{2}$ : $f(\pm\sqrt{2}) = 4 - 8 = -4$ . $f''(x) = 12x^2 - 8$ . Inflexões em $x = \pm\sqrt{2/3}$ . Função par.
Ex. 63.27Application
Analise $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ : domínio, máximo, inflexão, assíntota.
Solve online Active Calculus · 3.2
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Domínio: $x > 0$ . $f'(x) = (1 - \ln x)/x^2$ . Zero: $x = e$ . Máx local em $(e, 1/e)$ . $f''(x) = (2\ln x - 3)/x^3$ . Zero: $x = e^{3/2}$ . Inflexão em $x = e^{3/2}$ . $f \to 0$ quando $x \to \infty$ e quando $x \to 0^+$ . Assíntota horizontal $y = 0$ em ambos.
Ex. 63.28Application
Analise os extremos e a simetria de $f(x) = x^2 e^{-x^2}$ .
Solve online APEX Calculus · 3.5
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Domínio: $\mathbb{R}$ . $f'(x) = -2xe^{-x^2}(x^2 - 1) + ..$ — use regra do produto. Máximos locais em $x = \pm 1$ : $f(\pm 1) = e^{-1}$ . Mínimo em $x = 0$ : $f(0) = 0$ . Inflexões em vários pontos. Assíntota $y = 0$ . (Função par.)
Ex. 63.29ApplicationAnswer key
Esboce $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ : assíntotas, extremos, paridade.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.5
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Domínio: $x \neq \pm 1$ . Divisão: grau numerador = grau denominador → assíntota horizontal $y = 1$ . Assíntotas verticais: $x = \pm 1$ . $f'(x) = -4x/(x^2-1)^2$ . Máximo local em $x = 0$ : $f(0) = -1$ . (Função par.)
Ex. 63.30Challenge
Analise a família de curvas $f(x) = ax^2 e^{-bx^2}$ com $a, b > 0$ : determine os extremos e inflexões em função dos parâmetros. Como $a$ e $b$ controlam a forma da curva?
Solve online Active Calculus · 3.2
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Parâmetros $a, b$ determinam a forma. $f'(x) = ax e^{-bx^2} + a\frac{1}{2}x^2(-2bx)e^{-bx^2} = ax(1-bx^2)e^{-bx^2}$ . Máximos em $x = \pm 1/\sqrt{b}$ : $f = (a/b) e^{-1/2}$ . Inflexões determinadas por $f'' = 0$ . O parâmetro $a$ escala a amplitude; $b$ controla a largura (menor $b$ = curva mais larga). Esta família modela o potencial de Morse em química quântica.

Fontes

Boelkins, Matt. Active Calculus 2.0. Grand Valley State University, 2022. CC-BY-NC-SA. activecalculus.org/single/sec-3-2-families.html
OpenStax. Calculus Volume 1. Strang, Herman et al., 2023. CC-BY-NC-SA. openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph
Hartman, G. et al. APEX Calculus. Virginia Military Institute, 2023. CC-BY-NC. apexcalculus.com