v1 · padrão canônico

Lição 65 — Polinômio de Taylor

Aproximação local de funções suaves por polinômios: série de Taylor/Maclaurin, resíduo de Lagrange e séries clássicas de e^x, sin x, cos x.

Used in: 2.º ano EM avançado · Equiv. Math III japonês · Equiv. Leistungskurs Analysis alemão · Cálculo I universitário

P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k

O polinômio de Taylor de ordem $n$ centrado em $a$ é a melhor aproximação polinomial local de grau $n$ para $f$ . Cada coeficiente $f^{(k)}(a)/k!$ garante que o polinômio e a função têm mesmo valor, mesma inclinação, mesma curvatura — até a $k$ -ésima derivada — no ponto $a$ . Quando $a = 0$ , chama-se série de Maclaurin.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa e propriedades

Polinômio de Taylor

"If $f$ has $n$ derivatives at $x = a$ , then the $n$ th-order Taylor polynomial of $f$ centered at $a$ is $p_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ ." — APEX Calculus §8.6

Resíduo de Lagrange

"Let $f$ have $n + 1$ derivatives on an open interval $I$ and let $a \in I$ . For each $x \in I$ there exists a value $c$ between $a$ and $x$ such that $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ ." — OpenStax Calculus Vol. 2 §6.3

Séries de Maclaurin clássicas

Função	Série de Maclaurin	Raio
$e^x$	$1 + x + \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^3}{3!} + \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty \tfrac{x^k}{k!}$	$\infty$
$\sin x$	$x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty \tfrac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$	$\infty$
$\cos x$	$1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty \tfrac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$	$\infty$
$\ln(1+x)$	$x - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{3} - \cdots = \displaystyle\sum_{k=1}^\infty \tfrac{(-1)^{k+1} x^k}{k}$	$(-1,1]$
$\dfrac{1}{1-x}$	$1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty x^k$	$(-1,1)$
$\arctan x$	$x - \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{x^5}{5} - \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty \tfrac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1}$	$[-1,1]$

Exemplos resolvidos

Example— 1· Maclaurin de e^x até ordem 4 (aplicação direta)

Problema. Encontre o polinômio de Maclaurin de $f(x) = e^x$ de ordem 4 e estime o erro em $x = 0{,}5$ .

Estratégia. Como $\frac{d^k}{dx^k}e^x = e^x$ , todas as derivadas em $a = 0$ valem $1$ . Montar $P_4$ diretamente. Usar resíduo de Lagrange com $f^{(5)} = e^x$ .

Resolução.

Derivadas em $0$ : $f^{(k)}(0) = e^0 = 1$ para todo $k$ .
Polinômio: $P_4(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{24}$ .
Erro em $x = 0{,}5$ : $|R_4(0{,}5)| \leq \dfrac{e^\xi}{5!}(0{,}5)^5 \leq \dfrac{e^{0{,}5}}{120}\cdot\dfrac{1}{32} \approx \dfrac{1{,}649}{120 \cdot 32} \approx 0{,}000430$ .
Valor aproximado: $P_4(0{,}5) = 1 + 0{,}5 + 0{,}125 + 0{,}02083 + 0{,}002604 \approx 1{,}6484$ . Valor exato: $e^{0{,}5} \approx 1{,}6487$ — erro menor que $3 \times 10^{-4}$ . ✓

Verificação. O erro estimado $4{,}3 \times 10^{-4}$ é maior que o erro real $3 \times 10^{-4}$ : o resíduo de Lagrange é um majorante. ✓

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §6.3, Example 6.17 — CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Taylor de ln x em torno de a = 1 (intermediário)

Problema. Obtenha o polinômio de Taylor de ordem 3 de $f(x) = \ln x$ centrado em $a = 1$ .

Estratégia. Calcular $f, f', f'', f'''$ em $x = 1$ . Montar $P_3$ com $(x - 1)$ como variável.

Resolução.

Derivadas: $f(x) = \ln x$ , $f'(x) = 1/x$ , $f''(x) = -1/x^2$ , $f'''(x) = 2/x^3$ .
Em $a = 1$ : $f(1) = 0$ , $f'(1) = 1$ , $f''(1) = -1$ , $f'''(1) = 2$ .
Polinômio: $P_3(x) = 0 + 1\cdot(x-1) + \frac{-1}{2!}(x-1)^2 + \frac{2}{3!}(x-1)^3 = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3}.$
Teste em $x = 1{,}1$ : $P_3(1{,}1) = 0{,}1 - 0{,}005 + 0{,}000333 \approx 0{,}09533$ . Valor exato: $\ln(1{,}1) \approx 0{,}09531$ . ✓

Verificação. A série de $\ln(1+u) = u - u^2/2 + u^3/3 - \cdots$ com $u = x - 1$ coincide com $P_3$ . ✓

Fonte. Active Calculus §8.5, Activity 8.5.3 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Limite via Taylor: lim (sin x - x)/x^3 (intermediário)

Problema. Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$ .

Estratégia. Substituir a série de Maclaurin de $\sin x$ no numerador e simplificar. Evita regras de L'Hôpital iteradas.

Resolução.

Série: $\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots$
Numerador: $\sin x - x = -\dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots$
Divisão por $x^3$ : $\dfrac{\sin x - x}{x^3} = -\dfrac{1}{6} + \dfrac{x^2}{120} - \cdots$
Limite: ao tomar $x \to 0$ , todos os termos com $x$ vão a zero. O limite é $\mathbf{-1/6}$ .

Verificação. Aplicando L'Hôpital três vezes também daria $-1/6$ , mas o método de Taylor é mais rápido. ✓

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §6.3, Example 6.20 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Erro de aproximacao sin x ≈ x para pendulo (modelagem)

Problema. Um pêndulo usa a aproximação $\sin\theta \approx \theta$ . Para $\theta = 15° = \pi/12$ rad, qual é o erro relativo percentual?

Estratégia. Calcular $\sin(\pi/12)$ exatamente e comparar com $\pi/12$ . Estimar o erro via o próximo termo da série: $-\theta^3/6$ .

Resolução.

Ângulo em radianos: $\theta = \pi/12 \approx 0{,}2618$ rad.
Valor exato: $\sin(\pi/12) = \sin(15°) = (\sqrt{6} - \sqrt{2})/4 \approx 0{,}2588$ .
Aproximação: $\theta = 0{,}2618$ .
Erro absoluto: $|0{,}2618 - 0{,}2588| = 0{,}0030$ .
Erro relativo: $0{,}0030 / 0{,}2588 \approx 1{,}16\%$ .
Via Taylor: erro $\approx \theta^3/6 = (0{,}2618)^3/6 \approx 0{,}00298$ — muito próximo do erro calculado. ✓

Verificação. Para $\theta < 0{,}1$ rad ( $\approx 5{,}7°$ ), o erro cai abaixo de $0{,}017\%$ — justificando o uso em engenharia. ✓

Fonte. APEX Calculus §8.6, Exercise 8.6.13 — CC-BY-NC.

Example— 5· Maclaurin por composicao: e^(sin x) ate ordem 3 (avancado)

Problema. Obtenha o polinômio de Maclaurin de $f(x) = e^{\sin x}$ até ordem 3.

Estratégia. Substituir a série de $\sin x$ na série de $e^u$ , agrupando termos até $x^3$ .

Resolução.

Série de sin: $\sin x = x - x^3/6 + O(x^5)$ .
$u = \sin x$ : então $e^u = 1 + u + u^2/2 + u^3/6 + O(u^4)$ .
Substituindo: $u = x - x^3/6 + \cdots$ $u = x - x^{3} /6 + \dots$ , logo:
- $u = x - x^3/6$
- $u^2 = x^2 - 2x\cdot x^3/6 + \cdots = x^2 + O(x^4)$
- $u^3 = x^3 + O(x^5)$
Montagem: $e^{\sin x} = 1 + \left(x - \tfrac{x^3}{6}\right) + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + 0 \cdot x^3 + O(x^4).$
Resultado: $P_3(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$ .

Verificação. Em $x = 0$ : $f(0) = e^0 = 1$ ✓. $f'(0) = e^{\sin 0}\cos 0 = 1$ ✓. $f''(0) = e^{\sin 0}(\cos^2 0 - \sin 0) = 1$ ✓.

Fonte. APEX Calculus §8.6, Exercises 8.6.17–8.6.20 — CC-BY-NC.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 4Modeling 8Challenge 2Proof 4

Ex. 65.1Application
Escreva o polinômio de Maclaurin de $f(x) = e^x$ até $x^4$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §6.3 · p. Example 6.17
Show solution
Todas as derivadas de $e^x$ em $x=0$ valem $1$ . Portanto $P_4(x) = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + x^4/24$ .
Ex. 65.2Application
Escreva o polinômio de Maclaurin de $f(x) = \sin x$ até $x^7$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §6.3 · p. Example 6.16
Show solution
Usando derivadas alternadas de $\sin$ e $\cos$ em 0: $P_7(x) = x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040$ .
Ex. 65.3Application
Escreva o polinômio de Maclaurin de $f(x) = \cos x$ até $x^6$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §6.3 · p. Table 6.2
Show solution
$P_6(x) = 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720$ . As derivadas ímpares de $\cos$ em 0 são nulas.
Ex. 65.4Application
Escreva o polinômio de Maclaurin de $f(x) = \ln(1+x)$ até $x^4$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §6.3 · p. Table 6.2
Show solution
$f^{(k)}(0)/k! = (-1)^{k+1}/k$ para $k \geq 1$ . Logo $P_4(x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Derivadas: $f = \ln(1+x)$ , $f' = 1/(1+x)$ , $f'' = -1/(1+x)^2$ , $f''' = 2/(1+x)^3$ , $f'''' = -6/(1+x)^4$ .
2. Em $x=0$ : $f(0)=0$ , $f'(0)=1$ , $f''(0)=-1$ , $f'''(0)=2$ , $f''''(0)=-6$ .
3. Divida por $k!$ : coeficientes $0, 1, -1/2, 1/3, -1/4$ .
4. Monte: $P_4(x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4$ .
5. Macete: os coeficientes seguem o padrão $(-1)^{k+1}/k$ — reconhecer isso evita calcular derivadas altas.
Ex. 65.5ApplicationAnswer key
Maclaurin de $f(x) = 1/(1-x)$ até $x^5$ — é simplesmente a série geométrica.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §6.3 · p. Table 6.2
Ex. 65.6Application
Maclaurin de $f(x) = (1+x)^{1/2}$ até $x^3$ . Calcule $f'$ , $f''$ , $f'''$ em $x = 0$ .
Solve online Active Calculus · §8.5 · p. Activity 8.5.2
Show solution
Usando binomial com $\alpha = 1/2$ : $P_3(x) = 1 + x/2 - x^2/8 + x^3/16$ .
Ex. 65.7Application
Maclaurin de $\arctan x$ até $x^5$ (via integração de $1/(1+x^2)$ ).
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §6.3 · p. Table 6.2
Ex. 65.8Application
Maclaurin de $\sinh x$ e $\cosh x$ até $x^5$ .
Solve online APEX Calculus · §8.6 · p. Exercise 8.6.9
Show solution
$\sinh x = x + x^3/6 + x^5/120$ e $\cosh x = 1 + x^2/2 + x^4/24$ . São as séries de $\sin$ e $\cos$ sem os sinais alternados.
Ex. 65.9Application
Maclaurin de $e^{-x}$ até $x^4$ (substituição direta em $e^x$ ).
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §6.3 · p. Exercise 6.3.4
Ex. 65.10ApplicationAnswer key
Maclaurin de $\tan x$ até $x^5$ usando $\sin/\cos$ .
Solve online Active Calculus · §8.5 · p. Exercise 8.5.5
Show solution
Escreva $\tan x = \sin x / \cos x$ e divida as séries: $P_5(x) = x + x^3/3 + 2x^5/15$ .
Ex. 65.11ApplicationAnswer key
Maclaurin de $\cos(2x)$ até $x^4$ via substituição.
Solve online APEX Calculus · §8.6 · p. Exercise 8.6.11
Ex. 65.12Application
Maclaurin de $e^{x^2}$ até $x^6$ .
Solve online APEX Calculus · §8.6 · p. Exercise 8.6.13
Show solution
Substitua $x \to x^2$ na série de $e^x$ : $P_6(x) = 1 + x^2 + x^4/2 + x^6/6$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Série de $e^u = 1 + u + u^2/2 + u^3/6 + \cdots$ .
2. Substitua $u = x^2$ : $e^{x^2} = 1 + x^2 + x^4/2 + x^6/6 + \cdots$ .
3. Até ordem 6: $P_6(x) = 1 + x^2 + x^4/2 + x^6/6$ .
4. Macete: composição por substituição direta evita derivar $e^{x^2}$ explicitamente — muito mais rápido.
Ex. 65.13ApplicationAnswer key
Maclaurin de $\cos(x^2)$ até $x^8$ .
Solve online APEX Calculus · §8.6 · p. Exercise 8.6.14
Ex. 65.14Application
Maclaurin de $\ln(1 - x^2)$ até $x^6$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §6.3 · p. Exercise 6.3.12
Show solution
$\ln(1 - x^2) = \ln(1 + (-x^2))$ . Substitua $u = -x^2$ na série de $\ln(1+u)$ : $P_6(x) = -x^2 - x^4/2 - x^6/3$ .
Ex. 65.15ApplicationAnswer key
Maclaurin de $1/(1+x^2)$ até $x^6$ (série geométrica com $u = -x^2$ ).
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §6.3 · p. Exercise 6.3.9
Ex. 65.16ApplicationAnswer key
Maclaurin de $e^x \sin x$ até $x^4$ .
Solve online APEX Calculus · §8.6 · p. Exercise 8.6.19
Show solution
Produto: $(1 + x + x^2/2 + \cdots)(x - x^3/6 + \cdots)$ . Coletando até $x^4$ : $P_4(x) = x + x^2 + x^3/3 - x^4/6$ .
Ex. 65.17Application
Maclaurin de $\sin x \cos x$ até $x^5$ (ou use $\sin(2x)/2$ ).
Solve online APEX Calculus · §8.6 · p. Exercise 8.6.18
Ex. 65.18Application
Maclaurin de $x e^{-x}$ até $x^4$ .
Solve online Active Calculus · §8.5 · p. Exercise 8.5.6
Show solution
$x e^{-x} = x(1 - x + x^2/2 - x^3/6 + \cdots)$ . Multiplicando: $P_4(x) = x - x^2 + x^3/2 - x^4/6$ .
Ex. 65.19Application
Taylor de $\ln x$ em torno de $a = 1$ , ordem 4.
Solve online Active Calculus · §8.5 · p. Activity 8.5.3
Show solution
$f(x) = \ln x$ . Derivadas em $a=1$ : $f(1)=0$ , $f'(1)=1$ , $f''(1)=-1$ , $f'''(1)=2$ , $f''''(1)=-6$ . Logo $P_4(x) = (x-1) - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 - (x-1)^4/4$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule derivadas: $f'=1/x, f''=-1/x^2, f'''=2/x^3, f''''=-6/x^4$ .
2. Avalie em $a=1$ : $0, 1, -1, 2, -6$ .
3. Divida por $k!$ : coeficientes $0, 1, -1/2, 1/3, -1/4$ .
4. Monte com $(x-1)^k$ .
5. Curiosidade: este é exatamente o desenvolvimento de $\ln(1+u)$ com $u = x-1$ — verifique por substituição.
Ex. 65.20Application
Taylor de $\sqrt{x}$ em torno de $a = 1$ , ordem 3.
Solve online APEX Calculus · §8.6 · p. Exercise 8.6.22
Ex. 65.21Application
Taylor de $1/x$ em torno de $a = 1$ , ordem 3.
Solve online APEX Calculus · §8.6 · p. Exercise 8.6.21
Show solution
Taylor de $1/x$ em $a=1$ : $f^{(k)}(1) = (-1)^k k!$ , logo $P_3(x) = 1 - (x-1) + (x-1)^2 - (x-1)^3$ .
Ex. 65.22Application
Taylor de $\cos x$ em torno de $a = \pi/4$ , ordem 4.
Solve online APEX Calculus · §8.6 · p. Exercise 8.6.24
Ex. 65.23Modeling
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ usando Taylor.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §6.3 · p. Example 6.20
Ex. 65.24Modeling
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$ usando Taylor.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §6.3 · p. Exercise 6.3.20
Ex. 65.25Modeling
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1 + x^2/2}{x^4}$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §6.3 · p. Exercise 6.3.21
Show solution
Série de $\cos x = 1 - x^2/2 + x^4/24 - \cdots$ . Numerador: $\cos x - 1 + x^2/2 = x^4/24 - \cdots$ . Dividido por $x^4$ : limite é $1/24$ .
Ex. 65.26Modeling
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3}$ .
Solve online APEX Calculus · §8.6 · p. Exercise 8.6.29
Show solution
$\sin x = x - x^3/6 + \cdots$ , $\tan x = x + x^3/3 + \cdots$ . Numerador: $\sin x - \tan x = -x^3/2 + \cdots$ . Dividido por $x^3$ : limite é $-1/2$ .
Ex. 65.27Modeling
Estime $\ln(1{,}1)$ com erro menor que $10^{-4}$ usando a série de Maclaurin. Diga qual ordem usar.
Solve online Active Calculus · §8.5 · p. Exercise 8.5.9
Ex. 65.28ModelingAnswer key
Aproxime $\sin(0{,}1)$ com erro menor que $10^{-6}$ . Diga a ordem usada.
Solve online Active Calculus · §8.5 · p. Activity 8.5.4
Show solution
$P_5(0.1) = 0.1 - 0.1^3/6 + 0.1^5/120 \approx 0.099833$ . Erro estimado via Lagrange: $|R_5| \leq (0.1)^7/5040 \approx 2 \times 10^{-10}$ . Precisão de 6 casas com ordem 5.
Show step-by-step (with the why)
1. Série: $\sin x = x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + \cdots$ .
2. Em $x = 0{,}1$ : $0.1 - 0.000167 + 0.0000000833 \approx 0.099833$ .
3. Erro via Leibniz (série alternada): próximo termo $|{-x^7/5040}| \approx 2 \times 10^{-11}$ .
4. Ordem 5 garante 6 casas decimais. ✓
5. Macete: para série alternada decrescente, o erro é menor que o primeiro termo omitido em valor absoluto.
Ex. 65.29Modeling
Aproxime $\sqrt{1{,}1}$ usando Taylor de $\sqrt{1+x}$ em $a = 0$ até ordem 2.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §6.3 · p. Exercise 6.3.16
Ex. 65.30Modeling
Energia relativística: $E = mc^2/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ . Expanda em potências de $v/c$ e identifique os termos $E_0 = mc^2$ e $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §6.3 · p. Exercise 6.3.40
Show solution
Em física: $E = mc^2(1 - v^2/c^2)^{-1/2}$ . Série binomial com $u = v^2/c^2$ : $(1-u)^{-1/2} = 1 + u/2 + 3u^2/8 + \cdots$ . Logo $E \approx mc^2 + \frac{1}{2}mv^2 + \cdots$ . O primeiro termo é energia de repouso, o segundo é cinética clássica.
Ex. 65.31Understanding
O que torna $P_n$ a "melhor aproximação polinomial de grau $n$ " em $a$ ?
Select the correct option
Tem o mesmo valor, mesma derivada e mesmas derivadas até ordem $n$ que $f$ em $a$ .É o único polinômio de grau $n$ que passa pelo ponto $(a, f(a))$ .Minimiza o erro máximo em todo $\mathbb{R}$ .Coincide com $f$ em $n+1$ pontos distintos.
Select an option first
Solve online Active Calculus · §8.5 · p. Preview Activity 8.5.1
Show solution
A propriedade característica é que $P_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)$ para $k = 0, 1, \ldots, n$ . Nenhum outro polinômio de grau $n$ satisfaz todas essas igualdades simultaneamente.
Ex. 65.32UnderstandingAnswer key
Mostre que se $f$ é polinômio de grau $\leq n$ , então $P_n = f$ exatamente (não apenas aproximação).
APEX Calculus · §8.6 · p. Exercise 8.6.7
Show solution
Se $f$ é polinômio de grau $\leq n$ , então $f^{(k)}$ é idêntico para $k \leq n$ . Logo $P_n$ e $f$ têm mesmos coeficientes — são iguais.
Ex. 65.33Understanding
Justifique que $e^x$ tem raio de convergência infinito usando estimativa de Lagrange.
Solve online Active Calculus · §8.5 · p. Exercise 8.5.10
Show solution
Para $e^x$ : $|R_n(x)| \leq e^{|x|}|x|^{n+1}/(n+1)!$ . Como $|x|^{n+1}/(n+1)! \to 0$ para todo $x$ fixo (fatorial cresce mais que potência), o resíduo vai a zero. Raio infinito.
Ex. 65.34UnderstandingAnswer key
Em finanças, $(1 + r/n)^n \to e^r$ quando $n \to \infty$ (juros contínuos). Use Taylor de $e^r$ para estimar o fator de crescimento anual com $r = 12\%$ e compare com juros simples.
Solve online Active Calculus · §8.5 · p. Exercise 8.5.12
Show solution
Taxa de câmbio: $e^r \approx 1 + r + r^2/2$ . Para $r = 0{,}12$ (12% a.a.): $e^{0{,}12} \approx 1{,}1275$ . Para juros simples: $1{,}12$ . Diferença de $\approx 0{,}7\%$ — relevante em cálculos de longo prazo.
Ex. 65.35Challenge
Derive a fórmula de Euler $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ separando termos pares e ímpares da série de $e^z$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §6.3 · p. Exercise 6.3.38
Show solution
$e^{ix} = \sum (ix)^k/k!$ . Termos com $k$ par: $(-1)^{k/2} x^k/(k!)$ , que é a série de $\cos x$ . Termos ímpares: $i(-1)^{(k-1)/2} x^k/(k!)$ , que é $i \sin x$ . Logo $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ .
Ex. 65.36Challenge
Mostre que $f(x) = e^{-1/x^2}$ (com $f(0) = 0$ ) tem todas as derivadas nulas em $0$ — logo $P_n = 0$ para todo $n$ , mas $f \neq P_n$ .
Active Calculus · §8.5 · p. Exercise 8.5.13
Show solution
$f(x) = e^{-1/x^2}$ com $f(0) = 0$ . Para qualquer $n$ , $f^{(n)}(0) = \lim_{x\to 0} p(1/x)e^{-1/x^2} = 0$ (polinômio em $1/x$ multiplicado por $e^{-1/x^2}$ vai a zero por crescimento de $e$ dominar qualquer polinômio). Logo $P_n = 0$ para todo $n$ , mas $f \neq 0$ .
Ex. 65.37Proof
Demonstre que a série de Maclaurin de $e^x$ converge a $e^x$ para todo $x \in \mathbb{R}$ (use estimativa do resíduo de Lagrange).
APEX Calculus · §8.6 · p. Exercise 8.6.31
Show solution
Resíduo de Lagrange: $|R_n(x)| \leq M|x|^{n+1}/(n+1)!$ onde $M = \max|f^{(n+1)}|$ no intervalo. Para $e^x$ , $M = e^{|x|}$ (fixo). Como $|x|^{n+1}/(n+1)! \to 0$ , o resíduo vai a zero. Portanto $P_n \to f$ para todo $x$ .
Ex. 65.38ProofAnswer key
Demonstre Taylor multivariado de ordem 2 (com hessiana) reduzindo a Taylor 1D ao longo de uma reta paramétrica.
Active Calculus · §8.5 · p. Exercise 8.5.14
Show solution
Aplique Taylor 1D a $g(t) = f(\vec a + t\vec h)$ para $t \in [0,1]$ . Então $g'(t) = \nabla f \cdot \vec h$ e $g''(t) = \vec h^T H \vec h$ . Taylor de $g$ em $t=0$ até ordem 2, avaliado em $t=1$ , dá o resultado multivariado.
Ex. 65.39Proof
Demonstre a forma de Lagrange do resíduo via o Teorema do Valor Médio generalizado.
APEX Calculus · §8.6 · p. Exercise 8.6.32
Show solution
Pelo resíduo de Lagrange: existe $\xi$ entre $a$ e $x$ com $R_n(x) = f^{(n+1)}(\xi)(x-a)^{n+1}/(n+1)!$ . Isso é o Teorema do Valor Médio generalizado — provar via aplicação do TVM ao resíduo $R_n$ como função de $a$ .
Ex. 65.40Proof
Integre a série $1/(1+t^2) = \sum (-1)^k t^{2k}$ para obter $\arctan x$ como série. Use isso para derivar a fórmula de Leibniz: $\pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + \cdots$
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §6.3 · p. Exercise 6.3.37
Show solution
Integre a série de $1/(1+t^2) = \sum (-1)^k t^{2k}$ de $0$ a $x$ : $\arctan x = \sum (-1)^k x^{2k+1}/(2k+1)$ . Em $x=1$ : $\pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + \cdots$ (série de Leibniz). Logo $\pi = 4(1 - 1/3 + 1/5 - \cdots)$ .

Fontes

Active Calculus — Boelkins · 2024 · §8.5 Taylor Polynomials and Taylor Series · CC-BY-NC-SA. Fonte primária.
Calculus Volume 2 — OpenStax · 2016 · §6.3 Taylor and Maclaurin Series · CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5.0 · §8.6 Taylor Polynomials · CC-BY-NC.