v1 · padrão canônico

Lição 68 — Cinemática: posição, velocidade e aceleração

Derivadas sucessivas da posição dão velocidade, aceleração e jerk. MRU, MUV, MHS e resistência do ar com rigor de cálculo.

Used in: Math III — Japão (aplicações de derivadas: taxa de variação) · Leistungskurs Mathematik — Alemanha Klasse 12 (Differentialrechnung: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung) · H2 Mathematics — Singapura (applications of differentiation: rates of change) · AP Calculus AB/BC — EUA (FUN-4: using derivatives to analyze motion)

v(t) = s'(t), \quad a(t) = v'(t) = s''(t), \quad j(t) = a'(t) = s'''(t)

Em cinemática, a posição $s(t)$ determina tudo: sua primeira derivada é a velocidade $v(t)$ , a segunda é a aceleração $a(t)$ , e a terceira é o jerk $j(t)$ — a taxa de variação da aceleração, decisiva em conforto de veículos e controle de robôs.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Cinemática via cálculo diferencial

Definições fundamentais

Definition· Posição, velocidade, aceleração, jerk

Seja $s: I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função de posição em função do tempo $t$ , com $s$ diferenciável.

$v(t) = \frac{ds}{dt} = s'(t), \qquad a(t) = \frac{dv}{dt} = s''(t), \qquad j(t) = \frac{da}{dt} = s'''(t).$

Rapidez: $|v(t)|$ (escalar não-negativo; difere de velocidade quando $v < 0$ ).
Deslocamento em $[t_1, t_2]$ : $\Delta s = s(t_2) - s(t_1)$ (pode ser negativo).
Distância percorrida: $\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\, dt$ (sempre não-negativa).

"The instantaneous velocity of an object is the limit of the average velocities of the object over shorter and shorter time intervals." — Active Calculus §1.1

"The position function $s(t)$ gives the position of an object along a number line at time $t$ . The velocity function $v(t) = s'(t)$ gives the velocity of the object at time $t$ ." — OpenStax Calculus Vol.1 §3.4

Casos de movimento padrão

Movimento	$s(t)$	$v(t)$	$a(t)$	Observação
Repouso	$s_0$	$0$	$0$	ponto fixo
Uniforme (MRU)	$s_0 + v_0 t$	$v_0$	$0$	reta no gráfico $s \times t$
Uniformemente acelerado (MUV)	$s_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2}a_0 t^2$	$v_0 + a_0 t$	$a_0$	parábola
Harmônico simples (MHS)	$A\cos(\omega t + \phi)$	$-A\omega\sin(\omega t + \phi)$	$-A\omega^2\cos(\omega t + \phi)$	$a = -\omega^2 s$
Com resistência do ar	analítico via EDO	$v_\infty(1-e^{-kt/m})$	decai a 0	velocidade terminal

Teorema de Torricelli (derivação via cálculo)

Movimento harmônico simples (MHS)

$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ satisfaz a EDO $\ddot x + \omega^2 x = 0$ .

Período: $T = 2\pi/\omega$ .
Frequência: $f = 1/T$ .
Para mola: $\omega = \sqrt{k/m}$ ; para pêndulo (pequenas oscilações): $\omega = \sqrt{g/L}$ .

Figura: gráficos de $s$ , $v$ , $a$ para MHS

Cinemática em $\mathbb{R}^n$

Para $\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) \in \mathbb{R}^3$ :

$\vec{v}(t) = \dot{\vec{r}}(t), \qquad \vec{a}(t) = \ddot{\vec{r}}(t), \qquad |\vec{v}| = \text{rapidez}.$

Cada componente deriva-se independentemente. A aceleração centrípeta em trajetória curva: $a_c = v^2/\rho$ (onde $\rho$ é o raio de curvatura).

Exemplos resolvidos

Example· Posição cúbica: velocidade, paradas e distância percorrida

Problema. Um objeto tem posição $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ metros, $t \geq 0$ . (a) Encontre $v(t)$ e $a(t)$ . (b) Quando o objeto está parado? (c) Qual a distância percorrida em $[0, 4]$ ?

Estratégia. Derivar $s$ para obter $v$ e $a$ . Zeros de $v$ dão os instantes de parada. Para distância, integrar $|v|$ — com troca de sinal em cada zero.

Resolução.

(a) $v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3)$ . $a(t) = 6t - 12$ .

(b) $v = 0 \Rightarrow t = 1$ ou $t = 3$ .

$d = |s(1)-s(0)| + |s(3)-s(1)| + |s(4)-s(3)|$

$= |4 - 0| + |0 - 4| + |4 - 0| = 4 + 4 + 4 = 12$ m.

Deslocamento total: $s(4) - s(0) = 4$ m (bem menor que a distância!).

Verificação. $v(1) = 3(0)(-2) = 0$ ✓; $v(3) = 3(2)(0) = 0$ ✓; $a(1) = -6 < 0$ (freando em $t=1$ ) ✓.

Fonte. Active Calculus §1.1, Exercise 1.1.4 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example· Queda livre com velocidade inicial: tempo de queda e velocidade de impacto

Problema. Uma pedra é lançada de uma torre de $h = 80$ m com velocidade inicial $v_0 = 10$ m/s para baixo. Adotando $g = 10$ m/s² e tomando a origem no solo (positivo para cima), encontre: (a) $s(t)$ , (b) o instante de impacto $t^*$ , (c) a velocidade no impacto.

Estratégia. Montar $s(t)$ com condição inicial $s(0) = 80$ , $v(0) = -10$ (negativo = para baixo). Resolver $s(t^*) = 0$ .

Resolução.

$s(t) = 80 - 10t - 5t^2$ .

$s(t^*) = 0 \Rightarrow 5t^2 + 10t - 80 = 0 \Rightarrow t^2 + 2t - 16 = 0$ .

$t^* = \dfrac{-2 + \sqrt{4 + 64}}{2} = \dfrac{-2 + \sqrt{68}}{2} \approx \dfrac{-2 + 8{,}25}{2} \approx 3{,}12$ s.

$v(t^*) = -10 - 10(3{,}12) \approx -41{,}2$ m/s. Rapidez: $\approx 41{,}2$ m/s $\approx 148$ km/h.

Verificação. $s(3{,}12) = 80 - 31{,}2 - 48{,}7 \approx 0{,}1 \approx 0$ ✓. Torricelli: $v^2 = 100 + 2(10)(80) = 1700 \Rightarrow v \approx 41{,}2$ m/s ✓.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §3.4, Example 3.33 — CC-BY-NC-SA.

Example· Movimento harmônico simples: amplitude, período e energia

Problema. Uma massa de $m = 2$ kg está presa a uma mola com $k = 50$ N/m, deslocada $A = 0{,}2$ m e solta do repouso. (a) Escreva $x(t)$ . (b) Velocidade máxima. (c) Mostre que a energia mecânica $E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$ é constante.

Estratégia. $\omega = \sqrt{k/m}$ . Com $x(0) = A$ e $v(0) = 0$ : fase $\phi = 0$ . Energia: substituir $x$ e $v$ e simplificar com identidade trigonométrica.

Resolução.

$\omega = \sqrt{50/2} = 5$ rad/s. $T = 2\pi/5 \approx 1{,}26$ s.

$x(t) = 0{,}2\cos(5t)$ .

$v(t) = -0{,}2 \cdot 5 \sin(5t) = -\sin(5t)$ m/s.

Velocidade máxima: $|v|_{\max} = A\omega = 0{,}2 \cdot 5 = 1$ m/s (no ponto de equilíbrio).

Energia: $E = \tfrac{1}{2}(2)(-\sin 5t)^2 + \tfrac{1}{2}(50)(0{,}2\cos 5t)^2 = \sin^2(5t) + \cos^2(5t) = 1 \text{ J (constante). ✓}$

Verificação. Em $t = 0$ : $x = 0{,}2$ , $v = 0$ , $E = 0 + \frac{1}{2}(50)(0{,}04) = 1$ J ✓.

Fonte. Active Calculus §1.5, Exercise 1.5.3 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example· Resistência do ar: velocidade terminal e solução analítica

Problema. Uma partícula de $m = 1$ kg cai a partir do repouso sob gravidade $g = 10$ m/s² com arrasto linear $F_{\text{arr}} = bv$ , $b = 0{,}5$ kg/s. (a) Escreva e resolva a EDO de $v(t)$ . (b) Velocidade terminal. (c) Quão rápido (em segundos) $v$ atinge 90% de $v_\infty$ ?

Estratégia. EDO separável de 1ª ordem: $m\dot{v} = mg - bv$ . Variáveis separáveis.

Resolução.

$\dot{v} = 10 - 0{,}5v$ . Solução: $v(t) = v_\infty(1 - e^{-bt/m})$ com $v_\infty = mg/b = 10/0{,}5 = 20$ m/s.

$v(t) = 20(1 - e^{-0{,}5t})$ .

90% de $v_\infty$ : $20(1 - e^{-0{,}5 t_{90}}) = 18 \Rightarrow e^{-0{,}5 t_{90}} = 0{,}1 \Rightarrow t_{90} = 2\ln(10)/0{,}5 \approx 4{,}6$ s.

Verificação. $v(0) = 0$ ✓. $\lim_{t\to\infty} v(t) = 20$ m/s ✓. $v'(0) = 20 \cdot 0{,}5 = 10$ m/s² = $g$ ✓.

Fonte. APEX Calculus §2.4, Example 2.4.4 — Hartman et al. · CC-BY-NC.

Example· Movimento circular: aceleração centrípeta via derivadas

Problema. Um ponto percorre circunferência de raio $R = 3$ m com frequência angular constante $\omega = 2$ rad/s. A posição é $\vec{r}(t) = 3(\cos 2t, \sin 2t)$ . Calcule: (a) $\vec{v}(t)$ e $|\vec{v}|$ , (b) $\vec{a}(t)$ e mostre que $\vec{a} = -\omega^2\vec{r}$ .

Estratégia. Derivar cada componente independentemente. Identificar direção de $\vec{a}$ .

Resolução.

$\vec{v}(t) = 3(-2\sin 2t, 2\cos 2t) = (-6\sin 2t, 6\cos 2t)$ .

$|\vec{v}| = 6$ m/s (constante) = $R\omega = 3 \cdot 2$ ✓.

$\vec{a}(t) = (-12\cos 2t, -12\sin 2t) = -4(3\cos 2t, 3\sin 2t) = -4\vec{r}$ .

Como $\omega^2 = 4$ : $\vec{a} = -\omega^2\vec{r}$ . Magnitude: $|\vec{a}| = 12 = R\omega^2 = 3 \cdot 4$ ✓.

Verificação. $\vec{v} \cdot \vec{r} = 3 \cdot(-6\sin 2t\cos 2t + 6\cos 2t\sin 2t) = 0$ — velocidade perpendicular à posição em MCU ✓.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §3.4, Example 3.35 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 12Understanding 3Modeling 21Challenge 2Proof 2

Ex. 68.1Application
$s(t) = 2t^2 - 6t$ . Calcule $v(t)$ e $a(t)$ .
Solve online Active Calculus · §1.1 · p. Exercise 1.1.1
Ex. 68.2Application
$s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ . Quando $v = 0$ ? Em cada instante, o objeto está acelerando ou freando?
Solve online Active Calculus · §1.1 · p. Exercise 1.1.2
Show solution
$v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3)$ . $v = 0$ em $t = 1$ e $t = 3$ . Em $t=1$ : $a(1) = 6(1)-12 = -6 < 0$ (freando). Em $t=3$ : $a(3) = 6$ (acelerando).
Ex. 68.3ApplicationAnswer key
$s(t) = 100 - 5t^2$ (queda livre, $g = 10$ m/s²). Quando bate no chão? Velocidade nesse instante.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.4 · p. Exercise 3.4.1
Show solution
$v(t) = -10t$ , $a(t) = -10$ . Solo: $s = 0 \Rightarrow 100 - 5t^2 = 0 \Rightarrow t = \sqrt{20} \approx 4{,}47$ s. $v(\sqrt{20}) = -10\sqrt{20} \approx -44{,}7$ m/s (rapidez: 44,7 m/s).
Show step-by-step (with the why)
1. Derivar: $v(t) = s'(t) = -10t$ . Derivar de novo: $a(t) = -10$ (gravidade constante).
2. Solo quando $s(t) = 0$ : $100 - 5t^2 = 0 \Rightarrow t^2 = 20 \Rightarrow t = \sqrt{20}$ .
3. Velocidade: $v(\sqrt{20}) = -10\sqrt{20} \approx -44{,}7$ m/s.
4. Macete: Torricelli: $v^2 = 0 + 2(10)(100) = 2000 \Rightarrow |v| = \sqrt{2000} \approx 44{,}7$ ✓.
Ex. 68.4ApplicationAnswer key
$s(t) = 5t + \frac{3}{2}t^2 + \frac{1}{2}t^3$ . Velocidade e aceleração em $t = 2$ .
Solve online Active Calculus · §1.1 · p. Exercise 1.1.3
Ex. 68.5ApplicationAnswer key
$s(t) = e^{-t}\sin t$ . Calcule $v(t)$ e $a(t)$ . O que a amplitude decrescente revela?
Solve online Active Calculus · §1.5 · p. Exercise 1.5.1
Show solution
$v(t) = e^{-t}(\cos t - \sin t)$ . $a(t) = e^{-t}(-\sin t - \cos t) + e^{-t}(-\sin t - \cos t) \cdot(-1)$ . Mais simples: $a(t) = -2e^{-t}\sin t$ . Amplitude decrescente — oscilador amortecido.
Ex. 68.6ApplicationAnswer key
$s(t) = 10\sin(2t)$ . Identifique $A$ , $\omega$ e o período $T$ . Escreva $v(t)$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.4 · p. Exercise 3.4.3
Ex. 68.7Application
$s(t) = t^4 - 4t^3 + 6t^2$ . Velocidade máxima em $[0, 3]$ .
Solve online Active Calculus · §1.1 · p. Exercise 1.1.5
Show solution
$v(t) = 4t^3 - 12t^2 + 12t = 4t(t^2 - 3t + 3)$ . Discriminante de $t^2 - 3t + 3$ : $\Delta = 9 - 12 < 0$ — sem zeros reais. Então $v(t) \geq 0$ em $[0,3]$ com mínimo em $t = 0$ . Máximo em extremo: $v(3) = 4\cdot3\cdot(9-9+3) = 36$ m/s.
Ex. 68.8Application
$s(t) = \ln(1 + t^2)$ . Calcule $v(t)$ e avalie em $t = 1$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.4 · p. Exercise 3.4.5
Ex. 68.9Application
$s(t) = t^2 - 4t$ . Distância percorrida entre $t = 0$ e $t = 4$ (atenção: $v$ muda sinal).
Solve online Active Calculus · §1.1 · p. Exercise 1.1.6
Show solution
$v(t) = 2t - 4$ . Muda de sinal em $t = 2$ . Distância: $|s(2) - s(0)| + |s(4) - s(2)| = |{-4} - 0| + |0 - ({-4})| = 4 + 4 = 8$ m. Deslocamento: $s(4) - s(0) = 0$ m.
Show step-by-step (with the why)
1. $v(t) = 2t - 4$ . Zero em $t = 2$ .
2. $s(0) = 0$ , $s(2) = 4 - 8 = -4$ , $s(4) = 16 - 16 = 0$ .
3. Distância: $|{-4} - 0| + |0 - ({-4})| = 8$ m.
4. Macete: deslocamento é final menos inicial; distância soma trechos sem cancelamento.
Ex. 68.10ApplicationAnswer key
$s(t) = A\cos(\omega t)$ . Calcule o jerk $j(t) = s'''(t)$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.4 · p. Exercise 3.4.7
Ex. 68.11Application
$s(t) = 2t^3 - 6t + 1$ . Quando a velocidade é zero? Há reversão de sentido?
Solve online Active Calculus · §1.1 · p. Exercise 1.1.7
Show solution
$v(t) = 6t^2 - 6$ . Zero: $t = 1$ (em $t \geq 0$ ). $a(t) = 12t$ ; em $t = 0$ : $a = 0$ (inflexão); em $t = 1$ : $a = 12 > 0$ (mínimo de velocidade). Objeto reverte em $t = 1$ , posição $s(1) = 2 - 6 + 1 = -3$ .
Ex. 68.12Application
$s(t) = \sin(t^2)$ . Calcule $v(t)$ (regra da cadeia) e avalie em $t = \sqrt{\pi}$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.4 · p. Exercise 3.4.9
Ex. 68.13Modeling
Bola lançada para cima com $v_0 = 20$ m/s a partir do solo. Altura máxima ( $g = 10$ m/s²).
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.4 · p. Exercise 3.4.11
Show solution
Positivo para cima. $v(t) = 20 - 10t$ . Máximo em $t = 2$ s: $s(2) = 40 - 20 = 20$ m acima do ponto de lançamento.
Ex. 68.14Modeling
Carro a $v_0 = 30$ m/s freia uniformemente a $a = -5$ m/s². Distância de parada (Torricelli).
Solve online Active Calculus · §1.5 · p. Exercise 1.5.5
Ex. 68.15Modeling
Avião parte do repouso e decola a $v_f = 80$ m/s após pista de $1000$ m. Aceleração média e tempo de corrida.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.4 · p. Exercise 3.4.13
Show solution
Torricelli: $v^2 = v_0^2 + 2a\Delta s$ . $v_0 = 0$ , $v_f = 80$ m/s, $\Delta s = 1000$ m. $6400 = 0 + 2000a \Rightarrow a = 3{,}2$ m/s². Tempo: $v_f = at \Rightarrow t = 80/3{,}2 = 25$ s.
Ex. 68.16ModelingAnswer key
Pedra cai de $h = 80$ m. Tempo de queda e rapidez no impacto ( $g = 10$ m/s²).
Solve online Active Calculus · §1.5 · p. Exercise 1.5.7
Ex. 68.17Modeling
Carro acelera $0 \to 100$ km/h em $10{,}5$ s. Aceleração média e distância percorrida na arrancada.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.4 · p. Exercise 3.4.15
Show solution
$v_0 = 100/3{,}6 \approx 27{,}78$ m/s. $a_{\text{med}} = v_0/t = 27{,}78/10{,}5 \approx 2{,}6$ m/s². Distância: $\Delta s = v_0^2/(2a) \approx 771.8/5{,}2 \approx 148$ m; ou direto: $\Delta s = \frac{1}{2}(v_0 + 0) t = \frac{1}{2}(27{,}78)(10{,}5) \approx 146$ m.
Ex. 68.18Modeling
Lançamento oblíquo: $v_0 = 50$ m/s a $30°$ do horizontal. Alcance horizontal ( $g = 10$ m/s²).
Solve online Active Calculus · §1.5 · p. Exercise 1.5.9
Ex. 68.19Modeling
Foguete: $a(t) = 30 - 0{,}5t$ m/s² até $t = 60$ s (motor apaga). Velocidade e posição ao desligar.
Solve online APEX Calculus · §2.4 · p. Example 2.4.2
Show solution
$a(t) = 30 - 0{,}5t$ . $v(t) = \int_0^t a\, dt = 30t - 0{,}25t^2$ . Em $t = 60$ : $v(60) = 1800 - 900 = 900$ m/s. $s(60) = 15(60)^2 - \frac{0{,}25}{3}(60)^3 = 54000 - 18000 = 36000$ m = 36 km.
Show step-by-step (with the why)
1. Integrar $a(t) = 30 - 0{,}5t$ com $v(0) = 0$ : $v(t) = 30t - 0{,}25t^2$ .
2. Integrar $v(t)$ com $s(0) = 0$ : $s(t) = 15t^2 - t^3/12$ .
3. Em $t = 60$ : $v = 1800 - 900 = 900$ m/s; $s = 15(3600) - 216000/12 = 54000 - 18000 = 36000$ m.
4. Curiosidade: 900 m/s ≈ Mach 2,6 — velocidade de 2ª fase de foguetes de lançamento.
Ex. 68.20Modeling
Trem freia uniformemente, percorre $200$ m em $20$ s e para. Qual era $v_0$ ?
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.4 · p. Exercise 3.4.17
Ex. 68.21ModelingAnswer key
Bola atirada do alto de torre de $50$ m com $v_0 = 20$ m/s para cima. Tempo até bater no chão.
Solve online APEX Calculus · §2.4 · p. Exercise 2.4.3
Show solution
Bola lançada de $h = 50$ m com $v_0 = 20$ m/s para cima. $s(t) = 50 + 20t - 5t^2$ . $s(t^*) = 0 \Rightarrow 5t^2 - 20t - 50 = 0 \Rightarrow t^2 - 4t - 10 = 0$ . $t^* = (4 + \sqrt{16+40})/2 = (4+\sqrt{56})/2 \approx 5{,}74$ s.
Ex. 68.22Modeling
Objeto de $m = 1$ kg cai com arrasto $b = 0{,}2$ kg/s. Velocidade terminal ( $g = 10$ m/s²).
Solve online Active Calculus · §1.5 · p. Exercise 1.5.11
Ex. 68.23ModelingAnswer key
Massa-mola: $m = 1$ kg, $k = 100$ N/m. Frequência angular $\omega$ , período $T$ e frequência $f$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.4 · p. Exercise 3.4.19
Ex. 68.24ModelingAnswer key
$x(t) = 0{,}1\cos(2\pi t)$ . Amplitude, período, $v(t)$ e velocidade máxima.
Solve online Active Calculus · §1.5 · p. Exercise 1.5.13
Show solution
$\omega = 2\pi$ rad/s. $v(t) = -0{,}1 \cdot 2\pi \sin(2\pi t) = -0{,}2\pi\sin(2\pi t)$ . Velocidade máxima: $|v|_{\max} = 0{,}2\pi \approx 0{,}628$ m/s (no ponto de equilíbrio, $x = 0$ ).
Ex. 68.25Modeling
Pêndulo de comprimento $L = 1$ m. Frequência angular $\omega = \sqrt{g/L}$ e período ( $g = 10$ m/s²).
Solve online APEX Calculus · §2.4 · p. Exercise 2.4.7
Ex. 68.26Modeling
Verifique que $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ satisfaz a EDO $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.4 · p. Exercise 3.4.21
Show solution
$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ . $\dot x = -A\omega\sin(\omega t+\phi)$ . $\ddot x = -A\omega^2\cos(\omega t+\phi) = -\omega^2 x$ . Portanto $\ddot x + \omega^2 x = 0$ . QED.
Ex. 68.27Modeling
MHS: $E = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2$ . Mostre que $E$ é constante derivando em relação ao tempo.
Solve online Active Calculus · §1.5 · p. Exercise 1.5.15
Show solution
$E = \frac{1}{2}m\dot x^2 + \frac{1}{2}kx^2$ . Derivar: $\dot E = m\dot x \ddot x + kx\dot x = \dot x(m\ddot x + kx) = \dot x \cdot 0 = 0$ (pois $m\ddot x + kx = 0$ ). Logo $E$ é constante.
Show step-by-step (with the why)
1. Escreva $E(t) = \frac{1}{2}m v^2 + \frac{1}{2}k x^2$ .
2. Derive: $\dot E = mv\dot v + kx v = v(m\ddot x + kx)$ .
3. Pela EDO $m\ddot x = -kx$ : o parêntesis é zero.
4. Logo $\dot E = 0$ — energia constante. Curiosidade: este argumento vale para qualquer força conservativa.
Ex. 68.28Modeling
$x(t) = e^{-t}\cos(5t)$ (oscilador amortecido). Frequência aparente e comportamento da amplitude.
Solve online APEX Calculus · §2.4 · p. Exercise 2.4.9
Ex. 68.29Modeling
Defasagem entre $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ e $v(t)$ . Confirme $90°$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.4 · p. Exercise 3.4.23
Show solution
$v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \phi)$ , $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ . Defasagem: $v = -A\omega\sin(\omega t + \phi) = A\omega\cos(\omega t + \phi + \pi/2)$ . Então $v$ está defasado $90°$ (adiante) em relação a $x$ .
Ex. 68.30Modeling
Mostre que $a(t)$ e $x(t)$ estão $180°$ defasados em MHS — i.e., $a = -\omega^2 x$ .
Active Calculus · §1.5 · p. Exercise 1.5.17
Ex. 68.31Understanding
Bola lançada para cima. No ponto mais alto, a aceleração é:
Select the correct option
A aceleração é zero porque o objeto está momentaneamente parado.A aceleração é g para baixo, mesmo com velocidade zero.A aceleração é g para cima no ponto mais alto.A aceleração é zero e depois inverte para g para baixo.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.4 · p. Exercise 3.4.25 (conceitual)
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Em queda livre, $a = -g$ é constante o tempo todo — independentemente da velocidade. No ponto mais alto $v = 0$ , mas $a = -g$ ainda. A opção A confunde velocidade zero com aceleração zero — erro clássico.
Ex. 68.32Understanding
Explique por que velocidade média ( $\Delta s/\Delta t$ ) $\neq$ média das velocidades em geral. Dê um exemplo numérico.
Solve online Active Calculus · §1.1 · p. Exercise 1.1.8
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Velocidade média: $\bar v = \Delta s / \Delta t$ (razão dos totais). Média das velocidades: $\int v\, dt / \Delta t$ ou média de amostras. São iguais apenas para MRU ( $v$ constante). Exemplo: carro a 60 km/h por 1 h e 120 km/h por 1 h — velocidade média = 90 km/h; mas se fizer 60 km e 120 km, cada percurso com tempo diferente, média é diferente.
Ex. 68.33Understanding
Explique a diferença entre velocidade (grandeza vetorial 1D com sinal) e rapidez (escalar). Por que $v < 0$ é possível?
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.4 · p. Exercise 3.4.27 (conceitual)
Ex. 68.34Modeling
Movimento circular: $\vec{r} = R(\cos\omega t, \sin\omega t)$ . Mostre que $\vec{a} = -\omega^2\vec{r}$ e $|\vec{a}| = R\omega^2$ .
Solve online APEX Calculus · §2.4 · p. Exercise 2.4.11
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$\vec r(t) = R(\cos\omega t, \sin\omega t)$ . $\vec v = R\omega(-\sin\omega t, \cos\omega t)$ . $|\vec v| = R\omega$ . $\vec a = -R\omega^2(\cos\omega t, \sin\omega t) = -\omega^2\vec r$ . Logo $|\vec a| = R\omega^2$ , dirigido ao centro. ✓
Ex. 68.35Modeling
Projétil lançado com $v_0$ e ângulo $\theta$ . Derive a fórmula do alcance $R = v_0^2\sin(2\theta)/g$ e ângulo ótimo.
Solve online Active Calculus · §1.5 · p. Exercise 1.5.19
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Componentes: $x(t) = v_0\cos\theta\, t$ , $y(t) = v_0\sin\theta\, t - \frac{g}{2}t^2$ . Alcance: $y = 0 \Rightarrow t = 2v_0\sin\theta/g$ . $R = x(t^*) = v_0^2\sin(2\theta)/g$ . Máximo em $\theta = 45°$ .
Show step-by-step (with the why)
1. $v_x = v_0\cos\theta$ (constante), $v_y = v_0\sin\theta - gt$ .
2. $y = 0$ : $t = 2v_0\sin\theta/g$ .
3. Alcance: $R = v_0\cos\theta \cdot 2v_0\sin\theta/g = v_0^2\sin(2\theta)/g$ .
4. Macete: $\sin(2\theta)$ é máximo em $2\theta = 90° \Rightarrow \theta = 45°$ .
Ex. 68.36Modeling
Carro: 60 km/h por 1 h, depois 120 km/h por 1 h. Velocidade média por tempo? E por distância igual percorrida?
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.4 · p. Exercise 3.4.29
Ex. 68.37Challenge
Queda com resistência quadrática: $m\dot{v} = -mg - bv^2$ . Velocidade terminal e solução analítica de $v(t)$ (via separação de variáveis).
Solve online APEX Calculus · §2.4 · p. Exercise 2.4.13
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Resistência quadrática: $m\dot v = -g - (b/m)v^2$ . Separar variáveis: $\int dv/(g + bv^2/m) = -\int dt$ . Integral: $\frac{1}{\sqrt{gb/m}}\arctan(v\sqrt{b/(gm)}) = -t + C$ . Velocidade terminal: $v_\infty = -\sqrt{mg/b}$ . Sem forma fechada para $s(t)$ em geral — requer integração numérica.
Ex. 68.38Challenge
Hélice: $\vec{r}(t) = (R\cos\omega t, R\sin\omega t, vt)$ . Calcule $\vec{v}$ , $|\vec{v}|$ e $\vec{a}$ .
Solve online Active Calculus · §1.5 · p. Exercise 1.5.21
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$\vec r(t) = (R\cos\omega t, R\sin\omega t, vt)$ . $\vec v = (-R\omega\sin\omega t, R\omega\cos\omega t, v)$ . $|\vec v| = \sqrt{R^2\omega^2 + v^2}$ . $\vec a = -R\omega^2(\cos\omega t, \sin\omega t, 0)$ — aceleração centrípeta horizontal, magnitude $R\omega^2$ .
Ex. 68.39Proof
Demonstre a equação de Torricelli $v_f^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta s$ a partir das equações do MUV, eliminando o tempo $t$ .
OpenStax Calculus Vol. 1 · §3.4 · p. Exercise 3.4.31 (demonstração)
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MUV: $v(t) = v_0 + a_0 t$ , $s(t) = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2}a_0 t^2$ . De $v = v_0 + a_0 t$ : $t = (v - v_0)/a_0$ . Substituindo: $\Delta s = v_0\frac{v_f - v_0}{a_0} + \frac{1}{2}a_0\left(\frac{v_f - v_0}{a_0}\right)^2 = \frac{v_f^2 - v_0^2}{2a_0}$ . Reorganizando: $v_f^2 = v_0^2 + 2a_0\Delta s$ . QED.
Ex. 68.40ProofAnswer key
Mostre que em MHS a média temporal de energia cinética e potencial são iguais a $E/2$ cada — usando $\langle\sin^2\rangle = \langle\cos^2\rangle = 1/2$ .
Active Calculus · §1.5 · p. Exercise 1.5.23
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MHS: $x = A\cos(\omega t)$ , $v = -A\omega\sin(\omega t)$ . Energia cinética: $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mA^2\omega^2\sin^2(\omega t)$ . Energia potencial: $U = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t) = \frac{1}{2}mA^2\omega^2\cos^2(\omega t)$ (pois $k = m\omega^2$ ). Médias (sobre um período): $\langle\sin^2\rangle = \langle\cos^2\rangle = 1/2$ . Logo $\langle K\rangle = \langle U\rangle = E/2$ . QED.

Fontes

Active Calculus — Matt Boelkins et al. · 2024 · §1.1–§1.5 Como medir velocidade e interpretar derivadas · CC-BY-NC-SA. Fonte primária.
Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §3.4 Derivatives as Rates of Change · CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman, Heinold, Siemers, Chalishajar · 2023 · §2.4 Velocity and Position · CC-BY-NC.
Prêmio Nobel de Física 1921 (Einstein) — Relatividade e formulação do espaço-tempo como pano de fundo da cinemática moderna.