v1 · padrão canônico

Lição 70 — Consolidação Trim 7: máximos, L'Hôpital, Taylor, Newton

Workshop integrado de Cálculo Diferencial aplicado: otimização, esboço de gráficos, L'Hôpital, Taylor, concavidade, análise marginal, cinemática e Newton-Raphson. Todas as técnicas derivam da linearização local.

Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math II/III japonês cap. 6–7 · Equiv. Leistungskurs Differentialrechnung alemão

f(x) \approx \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

A série de Taylor é a espinha dorsal do Trimestre 7: ela unifica otimização ( $f'(a)=0$ ), L'Hôpital (razão de aproximações lineares), esboço (sinal de $f''$ ), Newton-Raphson (iteração da tangente) e análise marginal (derivada como taxa de variação instantânea). Toda ferramenta deste trimestre é um caso especial desta fórmula.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Teoria unificada: linearização e suas aplicações

O conceito-mãe: aproximação de Taylor

"The Taylor polynomial of degree $n$ centered at $x=a$ is the unique polynomial of degree $n$ that agrees with $f$ in value and in all its first $n$ derivatives at $x=a$ ." — Active Calculus §8.4

Otimização: pontos críticos e teste de segunda derivada

"Finding the maximum and minimum values of a function also has practical significance because we can use this method to solve optimization problems, such as increasing profit, minimizing cost, and maximizing area." — OpenStax Calculus Vol. 1 §4.3

Concavidade e pontos de inflexão

L'Hôpital: razão de linearizações

"L'Hôpital's Rule applies whenever both $f(x) \to 0$ and $g(x) \to 0$ as $x \to a$ , or whenever $f(x) \to \pm\infty$ and $g(x) \to \pm\infty$ ." — OpenStax Calculus Vol. 1 §4.8

Ideia via Taylor de ordem 1. Para $a = 0$ : $f(x) \approx f'(0) x$ e $g(x) \approx g'(0) x$ , logo $f(x)/g(x) \approx f'(0)/g'(0)$ . L'Hôpital formaliza exatamente essa ideia de razão de linearizações.

Newton-Raphson: iteração da tangente

Newton-Raphson: a tangente à curva no ponto x₀ cruza o eixo em x₁, convergindo para a raiz real.

Pipeline unificado de análise de função

Exemplos resolvidos

Example— 1· Otimização de caixa sem tampa (aplicação)

Problema: De uma folha de papelão de $24 \times 24$ cm, cortam-se quadrados de lado $x$ nos quatro cantos e dobram-se as abas para formar uma caixa sem tampa. Determine $x$ que maximiza o volume.

Estratégia: Expressar o volume em função de $x$ , encontrar o ponto crítico via $V'(x) = 0$ , confirmar máximo pelo teste da segunda derivada, e verificar que $x$ está no domínio físico $0 < x < 12$ .

Resolução:

Volume: $V(x) = x(24 - 2x)^2$ , domínio: $x \in (0, 12)$ .
Expandir: $V(x) = x(576 - 96x + 4x^2) = 4x^3 - 96x^2 + 576x$ .
Derivar: $V'(x) = 12x^2 - 192x + 576 = 12(x^2 - 16x + 48) = 12(x-4)(x-12)$ .
Pontos críticos em $(0,12)$ : $x = 4$ (o $x = 12$ está na borda, dá volume zero).
Teste: $V''(x) = 24x - 192$ ; $V''(4) = 96 - 192 = -96 < 0 \Rightarrow$ máximo local.
Volume máximo: $V(4) = 4(24 - 8)^2 = 4 \cdot 256 = 1024\ \text{cm}^3$ .

Verificação: $V(0) = 0$ , $V(12) = 0$ , $V(4) = 1024 > 0$ . O máximo é interior ao domínio. Checagem: $V(4) = 4 \cdot 16^2 = 4 \cdot 256 = 1024$ .

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §4.7, ex. 4.41 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Limite indeterminado por L'Hôpital (aplicação)

Problema: Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ .

Estratégia: A forma é $0/0$ em $x = 0$ . Aplicar L'Hôpital uma vez e verificar se a nova forma ainda é $0/0$ ; se sim, aplicar novamente. Alternativamente, usar Maclaurin de $e^x$ para derivar o resultado mais rapidamente.

Resolução:

Verificar forma: $e^0 - 1 - 0 = 0$ e $0^2 = 0$ — indeterminação $0/0$ .
1.ª aplicação de L'Hôpital: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x}$ Ainda $0/0$ (numerador $\to 0$ , denominador $\to 0$ ).
2.ª aplicação: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}.$
Verificação via Taylor: $e^x = 1 + x + x^2/2 + O(x^3)$ , logo $e^x - 1 - x = x^2/2 + O(x^3)$ . Então $\frac{e^x - 1 - x}{x^2} \to \frac{x^2/2}{x^2} = \frac{1}{2}$ . Consistente.

Verificação: Para $x = 0{,}1$ : numerador $= e^{0,1} - 1{,}1 \approx 1{,}10517 - 1{,}1 = 0{,}00517$ ; denominador $= 0{,}01$ ; razão $\approx 0{,}517 \approx 1/2$ .

Fonte. Active Calculus §2.6, exercício sobre formas indeterminadas — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Expansão de Maclaurin e limite (intermediário)

Problema: Use a série de Maclaurin de $\sin x$ para calcular $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x + x^3/6}{x^5}$ .

Estratégia: Expandir $\sin x$ em Maclaurin até ordem 5, substituir no numerador e simplificar — a técnica de Taylor é mais elegante do que aplicar L'Hôpital cinco vezes.

Resolução:

Maclaurin de $\sin x$ : $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + \cdots$
Numerador: $\sin x - x + \frac{x^3}{6} = \left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots\right) - x + \frac{x^3}{6} = \frac{x^5}{120} + O(x^7).$
Limite: $\lim_{x \to 0} \frac{x^5/120 + O(x^7)}{x^5} = \frac{1}{120}.$

Verificação: Para $x = 0{,}1$ : $\sin(0{,}1) \approx 0{,}099833417$ ; $\sin x - x + x^3/6 = 0{,}099833417 - 0{,}1 + 0{,}000166667 = 0{,}000000083$ ; $x^5 = 10^{-5}$ ; razão $\approx 0{,}0083 \approx 1/120 = 0{,}00833$ .

Fonte. Active Calculus §8.4 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Esboço completo de função racional (intermediário)

Problema: Esboce $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 1}$ , identificando domínio, assíntotas, extremos e concavidade.

Estratégia: Seguir o pipeline de análise de função em 7 passos. A função é racional com zeros do denominador facilmente identificáveis.

Resolução:

Domínio: $x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1$ . Domínio: $\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$ .
Interceptos/simetria: $f(0) = 0$ (intercepto). Zeros: $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$ . $f(-x) = f(x)$ : função par (simétrica em relação ao eixo $y$ ).
Assíntotas: verticais em $x = \pm 1$ ; horizontal: $\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = 1$ (assíntota $y = 1$ ).
$f'$ : $f'(x) = \dfrac{-2x}{(x^2-1)^2}$ . Crítico: $x = 0$ . Sinais: $f' > 0$ para $x < 0$ ; $f' < 0$ para $x > 0$ — máximo local em $x = 0$ .
$f''$ : $f''(x) = \dfrac{2(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}$ . Para $x \in (-1,1)$ : denominador $< 0$ , numerador $> 0$ , logo $f'' < 0$ (côncava). Para $|x| > 1$ : $f'' > 0$ (convexa). Sem pontos de inflexão no domínio (mudança de sinal de $f''$ ocorre nos pontos fora do domínio $x = \pm 1$ ).
Extremo: $f(0) = 0$ — máximo local (e absoluto) em $(-1,1)$ .

Verificação: $f(0) = 0 < 1 = \lim_{x\to\infty} f(x)$ faz sentido: no intervalo $(-1,1)$ a função varia de $0$ a $-\infty$ nas bordas e volta; máximo é $f(0)=0$ nesse intervalo.

Fonte. APEX Calculus §3.5, ex. 42 — licença CC-BY-NC.

Example— 5· Newton-Raphson para equação transcendental (modelagem real)

Problema: Um investimento de R$ 10.000 cresce a uma taxa mensal $r$ a ser determinada. Após 12 meses, o montante é R$ 11.268. Resolva $f(r) = (1+r)^{12} - 1{,}1268 = 0$ pelo método de Newton-Raphson, com $x_0 = 0{,}01$ (1% ao mês).

Estratégia: $f'(r) = 12(1+r)^{11}$ . Iterar $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$ até estabilizar.

Resolução:

Iteração 1: $f(0{,}01) = (1{,}01)^{12} - 1{,}1268 = 1{,}12683 - 1{,}1268 = 0{,}00003$ . $f'(0{,}01) = 12 \cdot (1{,}01)^{11} = 12 \cdot 1{,}11567 = 13{,}388$ . $x_1 = 0{,}01 - 0{,}00003/13{,}388 \approx 0{,}009998$ .

Após 2 iterações, $r^* \approx 1{,}00\%$ ao mês (taxa nominal anual $\approx 12{,}68\%$ a.a.).

Verificação: $(1{,}01)^{12} = 1{,}12683 \approx 1{,}1268$ . Consistente com o enunciado.

Fonte. APEX Calculus §6.1, aplicação de Newton-Raphson — licença CC-BY-NC.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 15Understanding 2Modeling 15Challenge 5Proof 3

Ex. 70.1Application
Encontre os pontos críticos, extremos locais e ponto de inflexão de $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ .
Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 3.1.3 · p. 185
Show solution
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$ . Críticos: $x=1, x=3$ . $f''(x)=6x-12$ : $f''(1)=-6<0$ (máximo local), $f''(3)=6>0$ (mínimo local). Inflexão em $x=2$ ( $f''=0$ muda de sinal).
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $f'$ e fatore. Por quê: pontos críticos são onde $f'=0$ .
2. Monte tabela de sinais de $f'$ : positivo em $(-\infty,1)$ , negativo em $(1,3)$ , positivo em $(3,+\infty)$ .
3. Calcule $f''$ e avalie nos críticos. Por quê: teste da segunda derivada confirma natureza do extremo.
4. Encontre inflexão: $f''(2)=0$ e $f''$ muda de sinal em $x=2$ .
Macete: função cúbica com coeficiente positivo sempre tem um máximo local à esquerda e um mínimo local à direita.
Ex. 70.2Application
Maximize $f(x) = xe^{-x}$ em $[0, +\infty)$ . Qual é o máximo absoluto?
Solve online Active Calculus · §3.1 · ex. 3.1.4 · p. 186
Show solution
$f'(x)=e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1-x)$ . Crítico: $x=1$ . $f''(1) = e^{-1}(1-1) + e^{-1}(-1) = -e^{-1} < 0$ : máximo. $f(1)=1/e$ . Em $x=0$ : $f(0)=0$ . Máximo absoluto em $x=1$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Derive com regra do produto: $f'(x) = 1\cdot e^{-x} + x\cdot(-e^{-x}) = e^{-x}(1-x)$ .
2. Como $e^{-x}>0$ sempre, o sinal de $f'$ é o sinal de $(1-x)$ . Crítico: $x=1$ .
3. Tabela de sinais: $f'>0$ em $(0,1)$ , $f'<0$ em $(1,\infty)$ — máximo em $x=1$ .
4. Compare com borda: $f(0)=0 < f(1)=1/e \approx 0{,}368$ e $f(x)\to 0$ quando $x\to\infty$ . Logo $x=1$ é máximo absoluto.
Curiosidade: a função $xe^{-x}$ modela distribuição de probabilidade Gama com parâmetro 2 — o modo da distribuição é exatamente $x=1$ .
Ex. 70.3ApplicationAnswer key
Esboce $f(x) = (x^2 - 4)/x$ . Identifique assíntotas, monotonia e concavidade.
Solve online APEX Calculus · §3.5 · ex. 14 · p. 178
Show solution
$f(x)=(x^2-4)/x = x - 4/x$ . Assíntota vertical: $x=0$ . Assíntota oblíqua: $y=x$ . $f'(x)=1+4/x^2>0$ sempre (sem extremos). $f''(x)=-8/x^3$ : côncava para cima em $x<0$ , para baixo em $x>0$ . Sem zero da função no domínio.
Ex. 70.4ApplicationAnswer key
Encontre o mínimo absoluto de $f(x) = x + 4/x$ em $(0, +\infty)$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.7 · ex. 4.7.1 · p. 454
Show solution
$f'(x)=1-4/x^2=0 \Rightarrow x=2$ (no domínio $(0,\infty)$ ). $f''(x)=8/x^3>0$ : mínimo. $f(2)=2+4/2=4$ .
Ex. 70.5Modeling
Uma lata cilíndrica de $V = 1000\ \text{cm}^3$ deve ser construída com material mínimo. Determine o raio e a altura ótimos.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.7 · ex. 4.7.4 · p. 456
Show solution
Lata cilíndrica: raio $r$ , altura $h$ , $V = \pi r^2 h = 1000$ cm³. Material $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + 2000/r$ . $S'(r)=4\pi r - 2000/r^2=0 \Rightarrow r^3=500/\pi \Rightarrow r\approx 5{,}42$ cm; $h=2r\approx 10{,}84$ cm (altura = diâmetro é o resultado clássico).
Show step-by-step (with the why)
1. Variáveis: $r$ (raio) e $h$ (altura). Objetivo: minimizar área total $S$ .
2. Restrição: $\pi r^2 h = 1000$ , então $h = 1000/(\pi r^2)$ .
3. Substituir em $S$ : $S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot 1000/(\pi r^2) = 2\pi r^2 + 2000/r$ .
4. Derivar e igualar a zero: $S'(r)=4\pi r - 2000/r^2=0 \Rightarrow 4\pi r^3=2000$ .
5. Confirmar mínimo: $S''(r)=4\pi + 4000/r^3 > 0$ sempre.
Observação: resultado universal — lata de volume fixo com menor material sempre tem $h = 2r$ (altura igual ao diâmetro). Latas de bebida real se desviam por restrições de fabricação.
Ex. 70.6Modeling
De um papelão $20 \times 30\ \text{cm}$ , cortam-se quadrados $x \times x$ nos cantos e dobram-se as abas. Qual $x$ maximiza o volume da caixa?
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.7 · ex. 4.7.6 · p. 457
Show solution
$V(x) = x(20-2x)(30-2x)$ , $x \in (0,10)$ . $V'(x) = 12x^2 - 200x + 600 = 4(3x^2-50x+150)=4(3x-20)(x-...)$ . Raízes: $x=(50\pm\sqrt{2500-1800})/6 = (50\pm \sqrt{700})/6$ . $\sqrt{700}\approx 26{,}46$ . Raízes: $x\approx 12{,}74$ (fora do domínio) e $x\approx 3{,}92$ . $V(3{,}92) = 3{,}92 \cdot 12{,}16 \cdot 22{,}16 \approx 1056$ cm³.
Ex. 70.7Modeling
Encontre o ponto da parábola $y = x^2$ mais próximo do ponto $(3, 0)$ .
Solve online Active Calculus · §3.4 · ex. 3.4.2 · p. 208
Show solution
Distância ao quadrado: $D(x) = (x-3)^2 + (x^2-0)^2 = (x-3)^2 + x^4$ . $D'(x)=2(x-3)+4x^3=0$ . Por inspeção/Newton: $x\approx 0{,}926$ . Mínima distância: $d = \sqrt{D(0{,}926)}$ .
Ex. 70.8Modeling
Uma cerca de $200\ \text{m}$ delimita um retângulo encostado num muro (o muro forma um lado). Maximize a área.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.7 · ex. 4.7.2 · p. 455
Show solution
Comprimento paralelo ao muro: $l$ ; largura perpendicular: $w$ . Cerca: $l + 2w = 200$ . Área: $A = lw = (200-2w)w$ . $A'(w)=200-4w=0 \Rightarrow w=50, l=100$ . $A=5000$ m².
Ex. 70.9Application
Determine as inflexões e a concavidade de $f(x) = e^{-x^2}$ .
Solve online APEX Calculus · §3.4 · ex. 16 · p. 162
Show solution
$f'(x)=-2xe^{-x^2}$ . $f''(x)=-2e^{-x^2}+4x^2e^{-x^2}=2e^{-x^2}(2x^2-1)$ . $f''=0 \Rightarrow x=\pm 1/\sqrt{2}$ . Inflexões em $x=\pm 1/\sqrt{2}\approx \pm 0{,}707$ . Convexa para $|x|>1/\sqrt{2}$ , côncava para $|x|<1/\sqrt{2}$ .
Ex. 70.10Application
Faça o esboço completo de $f(x) = \ln(1 + x^2)$ : domínio, simetria, extremos, inflexões, comportamento assintótico.
Solve online APEX Calculus · §3.5 · ex. 22 · p. 179
Show solution
Domínio: $\mathbb{R}$ . Par. $f(0)=0$ . $\lim_{|x|\to\infty}f=+\infty$ . $f'(x)=2x/(1+x^2)$ : negativo em $x<0$ , zero em $x=0$ (mínimo, $f(0)=0$ ), positivo em $x>0$ . $f''(x)=(2-2x^2)/(1+x^2)^2$ : inflexões em $x=\pm 1$ ( $f(\pm 1)=\ln 2$ ).
Ex. 70.11Understanding
L'Hôpital aplica-se diretamente a $\lim_{x \to 0} \sin x / x$ (forma $0/0$ ). Qual alternativa descreve um caso em que a regra não se aplica diretamente?
Select the correct option
Não aplicável — a indeterminação não é $0/0$ nem $\infty/\infty$ Aplicável, pois $\tan x \to \infty$ quando $x \to \pi/2$ Aplicável, pois ambos os limites são $0$ Aplicável, basta derivar o numerador apenas
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.8 · ex. 4.8.2 · p. 465
Show solution
$\lim_{x\to 0} \sin x / x$ é de fato $0/0$ e L'Hôpital se aplica. Mas L'Hôpital em $\lim_{x\to 0} x/\sin x$ produz $1/\cos x \to 1$ — mesma resposta. A opção "não aplicável" se referia ao caso $\lim_{x\to\pi/2}\tan x / x = \infty/c$ , que não é indeterminação — a opção A é a mais precisa para esse enunciado.
Ex. 70.12Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.8 · ex. 4.8.1 · p. 463
Show solution
Forma $0/0$ . L'Hôpital: $\lim_{x\to 0}\sin x / (2x) = \lim \cos x / 2 = 1/2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Verifique a forma: $1-\cos(0)=0$ e $0^2=0$ — é $0/0$ . Por quê: L'Hôpital só se aplica a $0/0$ ou $\infty/\infty$ .
2. 1.ª aplicação: derive numerador e denominador separadamente. $(1-\cos x)' = \sin x$ , $(x^2)' = 2x$ .
3. Novo limite: $\lim_{x\to 0}\sin x/(2x)$ — ainda $0/0$ . Aplique novamente: $\cos x / 2 \to 1/2$ .
Macete: $(1-\cos x)/x^2 \to 1/2$ é um limite fundamental — aparece toda vez que aproximamos $\cos$ por Taylor de ordem 2.
Ex. 70.13ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2}{e^x}$ .
Solve online Active Calculus · §2.6 · ex. 2.6.2 · p. 152
Show solution
Forma $\infty/\infty$ . L'Hôpital duas vezes: $\lim x^2/e^x = \lim 2x/e^x = \lim 2/e^x = 0$ . O exponencial supera qualquer potência.
Ex. 70.14Application
Calcule $\lim_{x \to 0^+} x^{\sin x}$ (forma indeterminada $0^0$ ).
Solve online Active Calculus · §2.6 · ex. 2.6.4 · p. 153
Show solution
Forma $0^0$ . Reescreva: $x^{\sin x} = e^{\sin x \ln x}$ . Calcule $\lim_{x\to 0^+}\sin x \ln x = \lim_{x\to 0^+}\ln x / (1/\sin x)$ — forma $-\infty/\infty$ . L'Hôpital: $(1/x)/(-\cos x/\sin^2 x) = -\sin^2 x/(x\cos x) \to 0$ . Portanto $x^{\sin x} \to e^0 = 1$ .
Ex. 70.15Application
Escreva o polinômio de Maclaurin de $\sin x$ de ordem 5 ( $P_5$ ).
Solve online Active Calculus · §8.4 · ex. 8.4.2 · p. 511
Show solution
$\sin x = x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + \cdots$ . Até ordem 5: $P_5(x) = x - x^3/3! + x^5/5! = x - x^3/6 + x^5/120$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule as derivadas de $\sin x$ em $a=0$ : $f(0)=0, f'(0)=1, f''(0)=0, f'''(0)=-1, f^{(4)}(0)=0, f^{(5)}(0)=1$ .
2. Monte o polinômio: $P_5(x) = 0 + x - 0 - x^3/6 + 0 + x^5/120$ .
3. Simplifique: $P_5(x) = x - x^3/6 + x^5/120$ .
Macete: derivadas de $\sin$ ciclam com período 4: $\sin, \cos, -\sin, -\cos, \sin, \ldots$ . Apenas os termos ímpares sobrevivem para $\sin$ , pois $\cos(0)=1$ e $\sin(0)=0$ .
Ex. 70.16ApplicationAnswer key
Use expansão de Taylor para calcular $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}$ .
Solve online Active Calculus · §8.4 · ex. 8.4.4 · p. 512
Show solution
$\tan x = x + x^3/3 + O(x^5)$ e $\sin x = x - x^3/6 + O(x^5)$ . Numerador: $\tan x - \sin x = x^3/3 + x^3/6 + O(x^5) = x^3/2 + O(x^5)$ . Limite: $x^3/(2x^3) = 1/2$ .
Ex. 70.17ModelingAnswer key
Aproxime $\sqrt{1{,}1}$ usando a série de Maclaurin de $(1+x)^{1/2}$ até ordem 3.
Solve online Active Calculus · §8.4 · ex. 8.4.6 · p. 513
Show solution
$(1+x)^{1/2} = 1 + x/2 - x^2/8 + x^3/16 - \cdots$ (série binomial). Para $x=0{,}1$ : $P_3(0{,}1) = 1 + 0{,}05 - 0{,}00125 + 0{,}0000625 = 1{,}0488$ . Valor exato: $\sqrt{1{,}1} \approx 1{,}04881$ . Erro: $< 10^{-5}$ .
Ex. 70.18ModelingAnswer key
Aproxime $e^{-0{,}1}$ com o polinômio de Maclaurin de $e^x$ de ordem 3. Calcule o erro.
Solve online APEX Calculus · §8.8 · ex. 5 · p. 480
Show solution
$e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + O(x^4)$ para $x=-0{,}1$ : $P_3(-0{,}1) = 1 - 0{,}1 + 0{,}005 - 0{,}000167 = 0{,}904833$ . Valor exato: $e^{-0{,}1}\approx 0{,}904837$ . Erro: $4\times 10^{-6}$ .
Ex. 70.19Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{x^3}$ usando Taylor.
Solve online Active Calculus · §8.4 · ex. 8.4.5 · p. 511
Show solution
$\sin x = x - x^3/6 + x^5/120 - \cdots$ , então $\sin x - x = -x^3/6 + O(x^5)$ . $(\sin x - x)/x^3 \to -1/6$ . Mas o enunciado pede $(x - \sin x)/x^3 \to 1/6$ .
Ex. 70.20Application
Escreva a série de Maclaurin de $\ln(1+x)$ até o termo em $x^5$ .
Solve online Active Calculus · §8.4 · ex. 8.4.8 · p. 513
Show solution
$\ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5 - \cdots$ . Série válida para $|x| \leq 1, x \neq -1$ .
Ex. 70.21Challenge
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - \cos x - x}{x^2}$ via Taylor.
Solve online Active Calculus · §8.4 · ex. 8.4.9 · p. 514
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$e^x = 1 + x + x^2/2 + \cdots$ e $\cos x = 1 - x^2/2 + x^4/24 + \cdots$ . Numerador: $e^x - \cos x - x = x^2/2 + x^2/2 + O(x^3) = x^2 + O(x^3)$ . Limite: $x^2/x^2 = 1$ .
Ex. 70.22Understanding
Qual é o intervalo de convergência da série de Maclaurin de $\ln(1 + x)$ ?
Select the correct option
A série converge para $f(x)$ em todo $\mathbb{R}$ A série é um polinômio e converge em todo $\mathbb{R}$ A série converge apenas em $|x| < 1$ A série converge em $(-1, 1]$ e diverge fora
Select an option first
Solve online Active Calculus · §8.5 · ex. 8.5.1 · p. 518
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A série de Maclaurin de $\ln(1+x)$ tem raio de convergência $R=1$ . Em $x=1$ converge (série alternada harmônica) e em $x=-1$ diverge (série harmônica). Logo converge em $(-1,1]$ .
Ex. 70.23ApplicationAnswer key
Escreva $P_6(x)$ de Maclaurin para $\cos x$ .
Solve online Active Calculus · §8.4 · ex. 8.4.12 · p. 514
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$\cos x = 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 + \cdots$ . Até ordem 6: $P_6(x) = 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720$ .
Ex. 70.24Application
Calcule $\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{2}{x}\right)^x$ (forma $1^\infty$ ).
Solve online Active Calculus · §8.4 · ex. 8.4.1 · p. 510
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Forma $1^\infty$ . Escreva $L = \lim (1+2/x)^x$ . $\ln L = \lim x \ln(1+2/x)$ . Faça $t=1/x\to 0^+$ : $= \lim \ln(1+2t)/t$ (forma $0/0$ ). L'Hôpital: $= \lim 2/(1+2t) = 2$ . Portanto $L=e^2$ .
Ex. 70.25Modeling
Custo $C(q) = q^2/4 + 5q + 100$ (reais), preço $p = 50$ reais/unidade. Encontre quantidade $q^*$ e lucro máximo $\pi^*$ .
Solve online APEX Calculus · §4.4 · ex. 4.4.3 · p. 220
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$\pi(q) = 50q - (q^2/4 + 5q + 100) = -q^2/4 + 45q - 100$ . $\pi'(q) = -q/2 + 45 = 0 \Rightarrow q^*=90$ . $\pi(90) = -2025 + 4050 - 100 = 1925$ reais.
Show step-by-step (with the why)
1. Escreva o lucro: $\pi(q) = Rq - C(q)$ com $R = 50$ (preço de venda). Por quê: lucro = receita menos custo.
2. Simplifique: $\pi(q) = -q^2/4 + 45q - 100$ .
3. Condição de primeira ordem: $\pi'(q^*)=0$ . Por quê: extremo exige derivada nula.
4. Confirme máximo: $\pi''(q)=-1/2 < 0$ .
5. Calcule $\pi(q^*)$ .
Macete: empresa competitiva maximiza lucro quando $p = MC$ : aqui $50 = q/2 + 5 \Rightarrow q=90$ .
Ex. 70.26Modeling
Monopolista tem demanda $q = 100 - 2p$ e custo $C(q) = 10q$ . Encontre $q^*$ , $p^*$ e lucro máximo.
Solve online APEX Calculus · §4.4 · ex. 4.4.5 · p. 221
Show solution
Demanda inversa: $p = (100-q)/2$ . Receita: $R(q) = pq = q(100-q)/2$ . Lucro: $\pi(q) = q(100-q)/2 - 10q = -q^2/2 + 40q$ . $\pi'(q)=-q+40=0 \Rightarrow q^*=40$ , $p^*=30$ , $\pi^*=800$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Inverta a demanda: $q=100-2p \Rightarrow p=(100-q)/2$ . Por quê: para escrever receita em função de $q$ .
2. Receita: $R(q)=pq=q(100-q)/2=-q^2/2+50q$ .
3. Lucro: $\pi(q)=R-C=-q^2/2+50q-10q=-q^2/2+40q$ .
4. Condição de máximo: $\pi'=-q+40=0 \Rightarrow q^*=40$ . Confirme: $\pi''=-1<0$ .
5. Preço ótimo: $p^*=(100-40)/2=30$ . Lucro: $\pi(40)=-800+1600=800$ .
Macete: condição monopolista é $MR=MC$ : $MR=R'(q)=-q+50$ e $MC=C'(q)=10$ , logo $-q+50=10 \Rightarrow q=40$ .
Ex. 70.27Modeling
Uma bola é lançada verticalmente com velocidade inicial $v_0 = 20\ \text{m/s}$ ( $g = 10\ \text{m/s}^2$ ). Calcule a altura máxima e o tempo de voo.
Solve online APEX Calculus · §2.2 · ex. 2.2.12 · p. 78
Show solution
$s(t)=20t-5t^2$ (com $g=10$ m/s²). $v(t)=20-10t=0 \Rightarrow t=2$ s. Altura máxima: $s(2)=40-20=20$ m. Chão: $s(t)=0 \Rightarrow t(20-5t)=0 \Rightarrow t=4$ s.
Ex. 70.28ModelingAnswer key
$s(t) = t^3 - 9t^2 + 24t$ . Quando $v(t) = 0$ ? Calcule a distância total percorrida em $0 \leq t \leq 5$ .
Solve online APEX Calculus · §2.2 · ex. 2.2.14 · p. 79
Show solution
$v(t) = 3t^2 - 18t + 24 = 3(t-2)(t-4)$ . $v=0$ em $t=2$ e $t=4$ . Distância total: $|s(2)-s(0)|+|s(4)-s(2)|+|s(5)-s(4)|$ . $s(0)=0, s(2)=8-36+48=20, s(4)=64-144+96=16, s(5)=125-225+120=20$ . Distância: $20+4+4=28$ m.
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $v(t)=s'(t)=3t^2-18t+24$ e ache zeros.
2. Avalie $s$ nos instantes críticos e bordas: $t=0,2,4,5$ .
3. Some as distâncias parciais (sempre positivas!). Por quê: distância total é integral de $|v|$ , não $s(5)-s(0)$ .
Atenção: não confundir deslocamento ( $s(5)-s(0)=20$ m) com distância percorrida ( $28$ m).
Ex. 70.29ModelingAnswer key
Sistema massa-mola: $m = 0{,}5\ \text{kg}$ , $k = 50\ \text{N/m}$ , amplitude $A = 0{,}1\ \text{m}$ . Calcule o período e a velocidade máxima.
Solve online APEX Calculus · §2.2 · ex. 2.2.16 · p. 80
Show solution
Período: $T = 2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{0{,}5/50} = 2\pi \cdot 0{,}1 = 0{,}628$ s. Velocidade máxima: $v_{\max} = A\omega = A\sqrt{k/m} = 0{,}1\sqrt{100} = 1$ m/s.
Ex. 70.30Modeling
Use Newton-Raphson em $f(x) = x^2 - 7$ com $x_0 = 3$ para calcular $\sqrt{7}$ com 5 casas decimais.
Solve online APEX Calculus · §6.1 · ex. 6.1.5 · p. 330
Show solution
$f(x)=x^2-7$ , $f'(x)=2x$ , $x_0=3$ . $x_1=3-2/6=2{,}667$ . $x_2=2{,}667-(2{,}667^2-7)/(2\cdot 2{,}667)=2{,}646$ . $x_3\approx 2{,}64575$ .
Ex. 70.31Modeling
Use Newton-Raphson em $f(x) = x^3 - 2$ com $x_0 = 1$ para aproximar $\sqrt[3]{2}$ . Faça 3 iterações.
Solve online APEX Calculus · §6.1 · ex. 6.1.7 · p. 331
Show solution
$f(x)=x^3-2$ , $f'(x)=3x^2$ , $x_0=1$ . $x_1=1-(1-2)/3=1+1/3=1{,}333$ . $x_2=1{,}333-(1{,}333^3-2)/(3\cdot 1{,}333^2)\approx 1{,}264$ . $x_3\approx 1{,}25993$ . Valor exato: $2^{1/3}\approx 1{,}25992$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique $f(x)=x^3-2$ e $f'(x)=3x^2$ .
2. Iteração: $x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)=x_n-(x_n^3-2)/(3x_n^2)$ .
3. Tabele: $x_0=1, x_1=4/3, x_2\approx 1{,}264, x_3\approx 1{,}25993$ .
Curiosidade: Newton usou exatamente esse algoritmo para calcular raízes cúbicas em 1669. A convergência quadrática significa que o erro na iteração 3 já é menor que $10^{-5}$ .
Ex. 70.32Modeling
Aplique Newton-Raphson em $f(x) = e^x - 3x$ para encontrar ambas as raízes reais. Use $x_0 = 0$ para uma e $x_0 = 1{,}5$ para a outra.
Solve online APEX Calculus · §6.1 · ex. 6.1.9 · p. 332
Show solution
$f(x)=e^x-3x$ , $f'(x)=e^x-3$ . Raízes em $e^x=3x$ : uma em $(0,1)$ (aprox. $x_1\approx 0{,}619$ ) e outra em $(1,2)$ (aprox. $x_2\approx 1{,}512$ ). Para cada raiz, use $x_0$ próximo e itere.
Ex. 70.33Modeling
Equação de Kepler: $E - 0{,}3\sin E = 1$ . Use Newton-Raphson com $E_0 = 1$ e faça 4 iterações.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.9 · ex. 4.9.2 · p. 474
Show solution
Equação de Kepler: $E - 0{,}3\sin E = 1$ . Reescreva: $f(E)=E-0{,}3\sin E - 1 = 0$ . $f'(E)=1-0{,}3\cos E$ . $E_0=1$ : $E_1=1-(1-0{,}3\sin 1-1)/(1-0{,}3\cos 1)=1-(-0{,}252)/(0{,}838)\approx 1{,}301$ . $E_2\approx 1{,}351$ . $E_3\approx 1{,}352$ . $E_4\approx 1{,}352$ (convergido).
Ex. 70.34Challenge
Mostre que uma função $C^2$ estritamente convexa ( $f'' > 0$ ) em $\mathbb{R}$ tem no máximo um ponto de mínimo.
Active Calculus · §3.3 · ex. 3.3.10 · p. 200
Show solution
$f''\geq 0$ em todo $\mathbb{R}$ implica $f$ convexa. Se $f$ tivesse dois mínimos locais $a$ e $b$ , pelo Teorema do Valor Médio existiria $c \in (a,b)$ com $f(c) < f(a)$ e $f(c) < f(b)$ . Mas convexidade exige $f(c) \leq f(a) + (f(b)-f(a))/(b-a)\cdot(c-a)$ . Para função estritamente convexa ( $f''>0$ ), apenas um mínimo global existe.
Ex. 70.35ChallengeAnswer key
Use a série de Maclaurin de $\sin x$ para demonstrar que $\sin x < x$ para todo $x > 0$ .
Solve online Active Calculus · §8.4 · ex. 8.4.10 · p. 514
Show solution
$\sin x = x - x^3/6 + \cdots$ . Para $x>0$ : $x - \sin x = x^3/6 - x^5/120 + \cdots > 0$ pois o primeiro termo positivo domina. Portanto $\sin x < x$ para todo $x>0$ .
Ex. 70.36Challenge
Esboce $f(x) = x^x$ em $(0, +\infty)$ . Encontre o mínimo e analise o comportamento nos extremos do domínio.
Solve online APEX Calculus · §3.5 · ex. 30 · p. 182
Show solution
$f(x)=x^x=e^{x\ln x}$ , domínio $(0,\infty)$ . $f'(x)=x^x(\ln x+1)=0 \Rightarrow \ln x=-1 \Rightarrow x=1/e$ . $f(1/e)=(1/e)^{1/e}=e^{-1/e}\approx 0{,}692$ . $f''$ confirma mínimo. $f(x)\to 1$ quando $x\to 0^+$ e $f(x)\to \infty$ quando $x\to\infty$ .
Ex. 70.37Challenge
Newton-Raphson aplicado a $f(x) = \arctan x$ com $x_0 = 2$ diverge. Explique geometricamente por quê e mostre numericamente.
Solve online Active Calculus · §3.3 · ex. 3.3.12 · p. 200
Show solution
$\arctan x$ tem $f'(x)=1/(1+x^2)$ e $f''(x)=-2x/(1+x^2)^2$ . Newton: $x_{n+1}=x_n-\arctan(x_n)(1+x_n^2)$ . Para $x_0=2$ : $x_1=2-\arctan(2)\cdot 5 = 2 - 5{,}534 = -3{,}534$ . A sequência oscila e diverge porque $|f/f'|=|\arctan x|(1+x^2)$ é crescente para $|x|$ grande — a tangente aponta para longe da raiz $x=0$ .
Ex. 70.38Proof
Demonstre via Taylor: se $f'(a) = 0$ e $f^{(k)}(a)$ é o primeiro derivada não-nula em $a$ , então $a$ é extremo se $k$ é par, e ponto de sela/inflexão se $k$ é ímpar.
Active Calculus · §3.1 · ex. 3.1.7 · p. 185
Show solution
Expansão de Taylor em torno de $a$ : $f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f^{(k)}(a)/k! \cdot (x-a)^k + O((x-a)^{k+1})$ com $f'(a)=\cdots=f^{(k-1)}(a)=0$ e $f^{(k)}(a)\neq 0$ . Para $x$ próximo de $a$ , o sinal de $f(x)-f(a)$ é determinado por $f^{(k)}(a)(x-a)^k/k!$ . Se $k$ par: $(x-a)^k > 0$ para $x \neq a$ , logo $f(x)-f(a)$ tem sinal constante — extremo. Se $k$ ímpar: $(x-a)^k$ muda de sinal — não é extremo (inflexão).
Ex. 70.39Proof
Mostre, via Taylor de ordem 1, que $\lim_{x\to a} f(x)/g(x) = f'(a)/g'(a)$ quando $f(a) = g(a) = 0$ e $g'(a) \neq 0$ .
Active Calculus · §2.6 · ex. 2.6.1 · p. 151
Show solution
Substitua $f(x)\approx f'(a)(x-a)$ e $g(x)\approx g'(a)(x-a)$ (Taylor de ordem 1, com $f(a)=g(a)=0$ ). Então $f(x)/g(x) \approx f'(a)(x-a)/(g'(a)(x-a)) = f'(a)/g'(a)$ (assumindo $g'(a)\neq 0$ ). Isso "demonstra" L'Hôpital como corolário de Taylor de ordem 1 — a versão rigorosa usa o TVM de Cauchy.
Ex. 70.40Proof
Derive formalmente a condição $MR = MC$ para lucro máximo. Explique por que monopolista produz menos que empresa competitiva.
Solve online Active Calculus · §3.4 · ex. 3.4.5 · p. 208
Show solution
Receita: $R(q) = p(q) \cdot q$ . Receita marginal: $MR = R'(q) = p(q) + p'(q) q$ . Custo marginal: $MC = C'(q)$ . Lucro: $\pi(q) = R(q) - C(q)$ ; condição $\pi'=0 \Rightarrow MR = MC$ . Para empresa competitiva $p'=0$ , logo $MR = p$ e a condição vira $p = MC$ . Para monopolista $p'<0$ , logo $MR < p$ — produz menos e cobra mais que empresa competitiva.

Fontes

Active Calculus — Matt Boelkins, David Austin, Steve Schlicker · Grand Valley State University · 2024 · CC-BY-NC-SA. Seções §2.6 (L'Hôpital), §3.1–3.4 (otimização), §8.4–8.5 (Taylor e séries).
APEX Calculus — Gregory Hartman et al. · Virginia Military Institute · 2024 · CC-BY-NC. Capítulos 3 (análise de funções), 4 (aplicações), 6 (Newton e aplicações), 8 (séries de Taylor).
Calculus Volume 1 — OpenStax (Strang, Herman et al.) · 2023 · CC-BY-NC-SA. Seções §4.3 (max-mín), §4.7 (otimização aplicada), §4.8 (L'Hôpital), §4.9 (Newton).