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Lição 74 — Variável aleatória discreta

PMF, esperança, variância e LOTUS. O conceito que unifica probabilidade e estatística e abre caminho para todas as distribuições nomeadas.

Used in: Stochastik — Leistungskurs alemão · H2 Math — Singapura · AP Statistics — EUA · Math B — Japão

E[X] = \sum_x x \cdot P(X = x), \quad \text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2

Uma variável aleatória discreta $X$ mapeia resultados do espaço amostral em valores numéricos contáveis. A esperança é a média ponderada de longo prazo de $X$ ; a variância mede sua dispersão. Toda distribuição nomeada — binomial, Poisson, geométrica — é um caso particular desta estrutura.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Variável aleatória discreta

"A random variable is a numerical measure of the outcome of a probability experiment... a discrete random variable has a countable number of values." — OpenStax Statistics §4.1

"The expected value of a random variable is denoted by the Greek letter mu ( $\mu$ ). The expected value is often called the long-term average or mean." — OpenStax Statistics §4.2

Exemplos resolvidos

Example— 74.1· PMF, esperança e variância de v.a. com 3 valores

Problema. $X$ assume valores 1, 2, 3 com probabilidades 0,2; 0,5; 0,3. Calcule $E[X]$ e $\text{Var}(X)$ .

Estratégia. Aplicar definições diretamente. Calcular $E[X^2]$ via LOTUS e usar a fórmula da variância.

Resolução.

$E[X] = 1 \cdot 0{,}2 + 2 \cdot 0{,}5 + 3 \cdot 0{,}3 = 0{,}2 + 1{,}0 + 0{,}9 = 2{,}1$

$E[X^2] = 1^2 \cdot 0{,}2 + 2^2 \cdot 0{,}5 + 3^2 \cdot 0{,}3 = 0{,}2 + 2{,}0 + 2{,}7 = 4{,}9$

$\text{Var}(X) = 4{,}9 - (2{,}1)^2 = 4{,}9 - 4{,}41 = 0{,}49$

Verificação. $\sigma = \sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ . Intervalo $[E[X] \pm \sigma] = [1{,}4;\; 2{,}8]$ — contém os valores 2 e parte de 1 e 3. Faz sentido com distribuição centrada em 2,1 com dispersão moderada.

Fonte. OpenStax Statistics §4.2 — CC-BY.

Example— 74.2· Dado honesto — PMF completa e momentos

Problema. $X$ é o resultado de um dado honesto. Calcule $E[X]$ , $E[X^2]$ e $\text{Var}(X)$ .

Estratégia. PMF uniforme: $p_X(x) = 1/6$ para $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Usar somas de progressões aritméticas.

Resolução.

$E[X] = \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{21}{6} = 3{,}5$

$E[X^2] = \frac{1}{6}(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = \frac{91}{6}$

$\text{Var}(X) = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2{,}917$

Verificação. $\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1{,}71$ . Valores extremos (1 e 6) estão a $\approx 1{,}5\sigma$ da média — coerente com distribuição uniforme discreta simétrica.

Fonte. OpenIntro Statistics §3.1 — CC-BY-SA.

Example— 74.3· Linearidade da esperança — soma de dois dados

Problema. Lance dois dados honestos. Calcule a esperança e a variância da soma $S = X_1 + X_2$ .

Estratégia. Usar linearidade da esperança e, para variância, independência dos dados.

Resolução.

Por linearidade: $E[S] = E[X_1] + E[X_2] = 3{,}5 + 3{,}5 = 7$ .

Como $X_1$ e $X_2$ são independentes: $\text{Var}(S) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \approx 5{,}83$ .

Verificação. $E[S] = 7$ é o valor mais provável (6 combinações somam 7 em 36 possíveis). $\sigma_S = \sqrt{35/6} \approx 2{,}42$ . Intervalo $[4{,}58;\; 9{,}42]$ contém os resultados mais comuns — plausível.

Fonte. OpenIntro Statistics §3.2 — CC-BY-SA.

Example— 74.4· Aposta justa — seguro e loteria

Problema. Uma seguradora cobra prêmio de R $800 por ano por um seguro que paga R$ 50.000 em caso de sinistro (prob. 1%). Qual é o lucro esperado da seguradora por apólice?

Estratégia. Modelar o lucro como variável aleatória e calcular esperança.

Resolução. Seja $L$ o lucro da seguradora por apólice.

Com prob. 0,99 (sem sinistro): $L = 800$ (recebe prêmio, não paga nada).
Com prob. 0,01 (sinistro): $L = 800 - 50.000 = -49.200$ .

$E[L] = 800 \cdot 0{,}99 + (-49.200) \cdot 0{,}01 = 792 - 492 = 300$

Verificação. Prêmio atuarialmente justo seria $E[\text{indenização}] = 50.000 \times 0{,}01 = R\$ 500 $. A seguradora cobra R$ 800, então o lucro esperado de R$ 300 cobre despesas administrativas e margem. Faz sentido comercialmente.

Fonte. OpenStax Statistics §4.2 — CC-BY.

Example— 74.5· LOTUS e variância de função não-linear

Problema. $X$ assume valores 0, 1, 2 com probabilidades 0,3; 0,5; 0,2. Calcule $E[(X - E[X])^2]$ diretamente via LOTUS e verifique com $E[X^2] - (E[X])^2$ .

Estratégia. Calcular $E[X]$ e $\text{Var}(X)$ pelos dois caminhos.

Resolução. $E[X] = 0 \cdot 0{,}3 + 1 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}9$ .

Via LOTUS com $g(x) = (x - 0{,}9)^2$ :

$E[(X-0{,}9)^2] = (0-0{,}9)^2 \cdot 0{,}3 + (1-0{,}9)^2 \cdot 0{,}5 + (2-0{,}9)^2 \cdot 0{,}2$ $= 0{,}81 \cdot 0{,}3 + 0{,}01 \cdot 0{,}5 + 1{,}21 \cdot 0{,}2 = 0{,}243 + 0{,}005 + 0{,}242 = 0{,}49$

Via fórmula alternativa:

$E[X^2] = 0 \cdot 0{,}3 + 1 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}2 = 1{,}3$ $\text{Var}(X) = 1{,}3 - 0{,}81 = 0{,}49 \checkmark$

Verificação. Os dois métodos coincidem. A fórmula $E[X^2] - (E[X])^2$ é computacionalmente preferível (uma passagem pelos dados); LOTUS na definição é conceitualmente mais transparente.

Fonte. Introduction to Probability — Grinstead, Snell §5.1 — GNU FDL.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 24Understanding 2Modeling 10Challenge 1Proof 3

Ex. 74.1Application
$X$ assume valores 1, 2, 3 com probabilidades 0,2; 0,5; 0,3. Calcule $E[X]$ .
Solve online OpenStax Statistics · §4.2 · 4.2.1 · p. 224
Show solution
$E[X] = 1 \cdot 0{,}2 + 2 \cdot 0{,}5 + 3 \cdot 0{,}3 = 0{,}2 + 1{,}0 + 0{,}9 = 2{,}1$ .
Ex. 74.2ApplicationAnswer key
Mesma $X$ do exercício anterior. Calcule $E[X^2]$ .
Solve online OpenStax Statistics · §4.2 · 4.2.3 · p. 224
Show solution
Via LOTUS: $E[X^2] = 1 \cdot 0{,}2 + 4 \cdot 0{,}5 + 9 \cdot 0{,}3 = 0{,}2 + 2{,}0 + 2{,}7 = 4{,}9$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Aplique LOTUS com $g(x) = x^2$ : $E[X^2] = \sum_x x^2 p(x)$ .
2. Calcule: $1^2 \times 0{,}2 + 2^2 \times 0{,}5 + 3^2 \times 0{,}3 = 0{,}2 + 2{,}0 + 2{,}7$ .
Macete: LOTUS = mesma PMF de $X$ , só troca $x$ por $g(x)$ na soma. Não precisa derivar distribuição de $X^2$ .
Ex. 74.3Application
Mesma $X$ . Calcule $\text{Var}(X)$ .
Solve online OpenStax Statistics · §4.2 · 4.2.5 · p. 225
Show solution
$\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 4{,}9 - (2{,}1)^2 = 4{,}9 - 4{,}41 = 0{,}49$ .
Ex. 74.4Application
Dado honesto ( $X \in \{1,2,3,4,5,6\}$ , $p = 1/6$ ). Calcule $E[X]$ e $\text{Var}(X)$ .
Solve online OpenIntro Statistics · §3.1 · 3.1 · p. 96
Show solution
Dado honesto: $E[X] = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3{,}5$ . $E[X^2] = (1+4+9+16+25+36)/6 = 91/6$ . $\text{Var}(X) = 91/6 - 49/4 = (182-147)/12 = 35/12 \approx 2{,}917$ .
Show step-by-step (with the why)
1. PMF: $p(x) = 1/6$ para $x \in \{1,2,3,4,5,6\}$ .
2. $E[X] = \frac{1}{6}\sum_{k=1}^6 k = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$ .
3. $E[X^2] = \frac{1}{6}\sum_{k=1}^6 k^2 = \frac{91}{6}$ (use fórmula $\sum k^2 = n(n+1)(2n+1)/6$ com $n=6$ ).
4. $\text{Var}(X) = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}$ .
Atalho mental: para uniforme em $\{1,\ldots,n\}$ : $E = (n+1)/2$ , $\text{Var} = (n^2-1)/12$ . Para $n=6$ : $35/12$ . ✓
Ex. 74.5Application
Moeda honesta: $X = 1$ se cara, $X = 0$ se coroa. Calcule $E[X]$ e $\text{Var}(X)$ .
Solve online OpenStax Statistics · §4.2 · 4.2.7 · p. 226
Show solution
Moeda honesta: $X=1$ (cara) com prob. 0,5; $X=0$ com prob. 0,5. $E[X] = 1 \cdot 0{,}5 + 0 \cdot 0{,}5 = 0{,}5$ . $E[X^2] = 1 \cdot 0{,}5 + 0 \cdot 0{,}5 = 0{,}5$ . $\text{Var}(X) = 0{,}5 - 0{,}25 = 0{,}25 = p(1-p)$ .
Ex. 74.6Application
Soma $S = X_1 + X_2$ de dois dados honestos. Calcule $E[S]$ .
Solve online OpenIntro Statistics · §3.1 · 3.3 · p. 97
Show solution
Por linearidade: $E[X_1 + X_2] = E[X_1] + E[X_2] = 3{,}5 + 3{,}5 = 7$ .
Ex. 74.7Application
Soma $S = X_1 + X_2$ de dois dados independentes. Calcule $\text{Var}(S)$ .
Solve online OpenIntro Statistics · §3.2 · 3.9 · p. 104
Show solution
Por independência: $\text{Var}(S) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2) = 35/12 + 35/12 = 35/6 \approx 5{,}83$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Dados independentes: $\text{Var}(X_1 + X_2) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2)$ .
2. Cada dado: $\text{Var}(X_i) = 35/12$ .
3. Soma: $35/12 + 35/12 = 70/12 = 35/6$ .
Atenção: variâncias se somam apenas com independência. Se houver dependência, é necessário calcular via covariância.
Ex. 74.8Application
$X$ uniforme em $\{1, 2, \ldots, n\}$ . Calcule $E[X]$ em função de $n$ .
Solve online OpenStax Statistics · §4.2 · 4.2.9 · p. 227
Show solution
Uniforme discreta em $\{1, 2, \ldots, n\}$ : $E[X] = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)/2}{n} = \frac{n+1}{2}$ .
Ex. 74.9Application
$P(X = k) = c \cdot k$ para $k \in \{1, 2, 3, 4\}$ . Encontre $c$ e calcule $E[X]$ .
Solve online OpenIntro Statistics · §3.1 · 3.5 · p. 98
Show solution
Para somar 1: $c(1+2+3+4) = 10c = 1 \Rightarrow c = 1/10$ . $E[X] = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4)/10 = 30/10 = 3$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Condição $\sum p(x) = 1$ : $c(1+2+3+4) = 1 \Rightarrow c = 1/10$ .
2. PMF: $p(k) = k/10$ para $k=1,2,3,4$ .
3. $E[X] = \sum k \cdot (k/10) = (1+4+9+16)/10 = 30/10 = 3$ .
Macete: sempre normalize antes de calcular esperança: $\sum p(x) = 1$ determina a constante.
Ex. 74.10ApplicationAnswer key
$P(X = k) = (1/2)^k$ para $k = 1, 2, \ldots$ Verifique que é PMF válida e calcule $E[X]$ .
Solve online Introduction to Probability — Grinstead, Snell · §5.1 · 5.1.1 · p. 191
Show solution
Soma geométrica: $\sum_{k=1}^\infty (1/2)^k = \frac{1/2}{1-1/2} = 1$ ✓. $E[X] = \sum_{k=1}^\infty k(1/2)^k$ . Usando $\sum k r^k = r/(1-r)^2$ com $r = 1/2$ : $E[X] = (1/2)/(1/2)^2 = 2$ .
Ex. 74.11ApplicationAnswer key
Loteria: ganha R $1 milhão com prob.$ 10^-7 $, cada bilhete custa R$ 5. Calcule $E[\text{lucro}]$ por bilhete. Vale a pena comprar?
Solve online OpenStax Statistics · §4.2 · 4.2.11 · p. 228
Show solution
Lucro por bilhete: ganha $1.000.000$ reais com probabilidade $10^{-7}$ , custa 5 reais. $E[\text{lucro}] = 10^6 \cdot 10^{-7} - 5 = 0{,}10 - 5{,}00 = -4{,}90$ . Em média, perde 4,90 reais por bilhete. Não vale a pena do ponto de vista de valor esperado.
Ex. 74.12Application
Aposta: ganha R $100 com prob. 0,4 e perde R$ 60 com prob. 0,6. Calcule $E[X]$ .
Solve online OpenIntro Statistics · §3.1 · 3.7 · p. 99
Show solution
$E[X] = 100 \cdot 0{,}4 + (-60) \cdot 0{,}6 = 40 - 36 = 4$ . Aposta levemente favorável (lucro esperado positivo).
Ex. 74.13ApplicationAnswer key
$E[X] = 5$ , $E[Y] = 3$ . Calcule $E[2X + 3Y - 1]$ .
Solve online OpenStax Statistics · §4.2 · 4.2.13 · p. 229
Show solution
Por linearidade: $E[2X + 3Y - 1] = 2E[X] + 3E[Y] - 1 = 10 + 9 - 1 = 18$ .
Ex. 74.14Application
$X$ tem $E[X] = 4$ e $\text{Var}(X) = 9$ . Calcule $E[X^2 + 1]$ .
Solve online OpenIntro Statistics · §3.2 · 3.11 · p. 105
Show solution
Da fórmula da variância: $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 \Rightarrow E[X^2] = \text{Var}(X) + (E[X])^2 = 9 + 16 = 25$ . Então $E[X^2 + 1] = E[X^2] + 1 = 26$ .
Ex. 74.15Application
100 dados independentes. Esperança da soma total.
Solve online OpenStax Statistics · §4.2 · 4.2.15 · p. 230
Show solution
100 dados independentes: $E[\sum_{i=1}^{100} X_i] = 100 \cdot E[X] = 100 \cdot 3{,}5 = 350$ .
Ex. 74.16Application
100 dados independentes. Variância da soma total.
Solve online OpenIntro Statistics · §3.2 · 3.13 · p. 106
Show solution
Por independência: $\text{Var}(\sum X_i) = 100 \cdot \text{Var}(X) = 100 \cdot 35/12 = 3500/12 \approx 291{,}7$ .
Ex. 74.17Application
$X \in \{0, 1, 2\}$ com probabilidades 0,3; 0,5; 0,2. Calcule $E[X^2]$ .
Solve online OpenStax Statistics · §4.2 · 4.2.17 · p. 231
Show solution
$E[X^2] = 0 \cdot 0{,}3 + 1 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}2 = 0 + 0{,}5 + 0{,}8 = 1{,}3$ .
Ex. 74.18Application
Mesma $X$ . Calcule $E[3X + 2]$ via linearidade.
Solve online OpenIntro Statistics · §3.2 · 3.15 · p. 107
Show solution
$E[X] = 0{,}9$ . Por linearidade: $E[3X + 2] = 3 \cdot 0{,}9 + 2 = 2{,}7 + 2 = 4{,}7$ .
Ex. 74.19ApplicationAnswer key
Mesma $X$ . Calcule $E[(X-1)^2]$ via LOTUS.
Solve online Introduction to Probability — Grinstead, Snell · §5.1 · 5.1.3 · p. 192
Show solution
Via LOTUS com $g(x) = (x-1)^2$ : $E[(X-1)^2] = (0-1)^2 \cdot 0{,}3 + (1-1)^2 \cdot 0{,}5 + (2-1)^2 \cdot 0{,}2 = 0{,}3 + 0 + 0{,}2 = 0{,}5$ . Nota: $\text{Var}(X) = E[(X-E[X])^2] = E[(X-0{,}9)^2] = 0{,}49 \neq 0{,}5$ — atenção: $E[(X-1)^2]$ não é variância pois 1 não é a média.
Ex. 74.20ApplicationAnswer key
Você tira 5 cartas de um baralho sem reposição. Use indicadores e linearidade para calcular a esperança do número de ases.
Solve online OpenIntro Statistics · §3.2 · 3.17 · p. 108
Show solution
Seja $I_k = 1$ se a carta $k$ é ás, 0 caso contrário. $P(I_k = 1) = 4/52$ para cada uma das 5 cartas tiradas. Por linearidade: $E[\text{ases}] = \sum_{k=1}^5 E[I_k] = 5 \cdot 4/52 = 20/52 \approx 0{,}385$ . A linearidade funciona mesmo sem independência (sorteio sem reposição).
Show step-by-step (with the why)
1. Defina indicador $I_k = 1$ se a $k$ -ésima carta é ás.
2. $P(I_k = 1) = 4/52$ por simetria (cada posição tem mesma prob. de ser ás).
3. Linearidade: $E[I_1 + \ldots + I_5] = 5 \times 4/52 = 5/13$ .
Curiosidade: este truque de indicadores (Waring, 1792; Boole) é universalmente útil para calcular esperança de contagens.
Ex. 74.21Application
Entre $n$ pessoas, esperança do número de pares que compartilham o mesmo aniversário. Use indicadores.
Solve online Introduction to Probability — Grinstead, Snell · §5.1 · 5.1.5 · p. 193
Show solution
Pares de aniversário: $\binom{n}{2}$ pares possíveis. Cada par compartilha aniversário com prob. $1/365$ . Por linearidade: $E[\text{pares}] = \binom{n}{2}/365 = n(n-1)/730$ . Para $n=30$ : $E = 30 \cdot 29/730 \approx 1{,}19$ par esperado.
Ex. 74.22Application
Urna com 5 bolas vermelhas e 15 azuis. Você sorteia 10 sem reposição. Esperança do número de vermelhas.
Solve online OpenStax Statistics · §4.2 · 4.2.19 · p. 232
Show solution
10 bolas de urna com 5 vermelhas e 15 azuis (sem reposição). Indicador $I_k = 1$ se a $k$ -ésima bola sorteada é vermelha. $P(I_k = 1) = 5/20 = 1/4$ por simetria. $E[\text{vermelhas}] = 10 \cdot 1/4 = 2{,}5$ .
Ex. 74.23Application
Seguro: 1% de chance de pagar R$ 100 mil. Qual é o prêmio atuarialmente justo?
Solve online OpenStax Statistics · §4.2 · 4.2.21 · p. 233
Show solution
Seguro: paga 100 mil reais com probabilidade 1% = 0,01. $E[\text{indenização}] = 100.000 \times 0{,}01 = 1.000$ . Prêmio atuarialmente justo = 1.000 reais. Na prática, a seguradora cobra mais (1.200 a 1.500 reais) para cobrir custos e lucro.
Ex. 74.24Application
Roleta europeia (37 casas): aposta R $1 em um número, paga 35:1. Calcule$ E[X]$ por rodada.
Solve online OpenIntro Statistics · §3.1 · 3.8 · p. 100
Show solution
Roleta europeia: 37 casas (0 a 36). Apostando R$ 1 num número: ganha R$ 35 com prob. 1/37, perde R$ 1 com prob. 36/37. $E[X] = 35 \cdot (1/37) - 1 \cdot (36/37) = (35-36)/37 = -1/37 \approx -0{,}027$ . Casa retém 2,7% em média.
Ex. 74.25Modeling
E-commerce: 10% dos visitantes compram; ticket médio R$ 200. Calcule a receita esperada por 1.000 visitantes.
Solve online OpenStax Statistics · §4.2 · 4.2.23 · p. 234
Show solution
Receita por visitante: R$ 200 com prob. 10% = 0,10; R$ 0 com prob. 0,90. $E[\text{receita/visitante}] = 200 \cdot 0{,}1 + 0 \cdot 0{,}9 = 20$ . Para 1.000 visitantes: receita total = R$ 20.000.
Ex. 74.26Modeling
Modelo de ML com 95% de acurácia. Cada erro custa R$ 50. Esperança de custo total em 1.000 classificações.
Solve online OpenIntro Statistics · §3.1 · 3.9 · p. 101
Show solution
Custo por classificação: R$ 50 com prob. 5% (erro), R$ 0 com prob. 95%. $E[\text{custo/classificação}] = 50 \times 0{,}05 = 2{,}50$ . Em 1.000 classificações: custo total = R$ 2.500.
Ex. 74.27Modeling
Linha de produção: 2% das peças são defeituosas. Lote de 50 peças. Esperança e variância do número de defeituosas.
Solve online OpenStax Statistics · §4.3 · 4.3.1 · p. 244
Show solution
Linha de produção: 2% defeituosas, lote de 50. $X \sim \text{Bin}(50, 0{,}02)$ (antecipando a próxima aula). $E[X] = 50 \times 0{,}02 = 1$ . $\text{Var}(X) = 50 \times 0{,}02 \times 0{,}98 = 0{,}98$ . Esperado: 1 peça defeituosa por lote, variância perto de 1.
Ex. 74.28Modeling
Call center: operador atende 1, 2 ou 3 clientes/min com probabilidades 0,2; 0,5; 0,3. Esperança de atendimentos por hora.
Solve online OpenIntro Statistics · §3.1 · 3.11 · p. 102
Show solution
Por operador por minuto: $E[X] = 1 \times 0{,}2 + 2 \times 0{,}5 + 3 \times 0{,}3 = 0{,}2 + 1{,}0 + 0{,}9 = 2{,}1$ clientes/min. Por hora (60 min): $E[\text{clientes/hora}] = 60 \times 2{,}1 = 126$ atendimentos.
Ex. 74.29ModelingAnswer key
Você joga uma moeda honesta até sair cara. Esperança do número de lançamentos.
Solve online OpenStax Statistics · §4.2 · 4.2.25 · p. 235
Show solution
Jogar até a primeira cara: $X \sim \text{Geométrica}(p = 0{,}5)$ . $E[X] = 1/p = 2$ . Em média, 2 lançamentos para a primeira cara. A distribuição geométrica modela "tentativas até o primeiro sucesso".
Show step-by-step (with the why)
1. $P(X = k) = (1/2)^{k-1} \cdot (1/2) = (1/2)^k$ para $k = 1, 2, \ldots$
2. $E[X] = \sum_{k=1}^\infty k (1/2)^k$ . Usando $\sum kr^k = r/(1-r)^2$ com $r = 1/2$ : $E[X] = (1/2)/(1/2)^2 = 2$ .
Atalho mental: geométrica com prob. de sucesso $p$ tem $E[X] = 1/p$ — decore este resultado.
Ex. 74.30Modeling
Servidor recebe 5 requisições/s em média (Poisson). Esperança de requisições em 1 minuto.
Solve online OpenStax Statistics · §4.2 · 4.2.27 · p. 236
Show solution
Poisson com $\lambda = 5$ /s. Em 1 min = 60 s, esperança = $60 \times 5 = 300$ requisições. Por linearidade: soma de 60 v.a. Poisson(5) iid tem esperança $60 \times 5 = 300$ e variância 300 (Poisson é auto-escalante).
Ex. 74.31Modeling
Trabalhador autônomo: recebe R $1.500 (30% do tempo) ou R$ 1.000 (70% do tempo). Alíquota INSS simplificada: 7,5% sobre o salário mensal. Calcule a contribuição esperada mensal.
Solve online OpenIntro Statistics · §3.1 · 3.12 · p. 103
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INSS: alíquota 7,5% para salários até 1.320 reais. Trabalhador com salário variável: 1.500 reais (30% das vezes) ou 1.000 reais (70% das vezes). Contribuição: 127,50 ou 75,00 reais. $E[\text{contribuição}] = 127{,}50 \times 0{,}3 + 75 \times 0{,}7 = 38{,}25 + 52{,}50 = 90{,}75$ , ou seja, 90,75 reais.
Ex. 74.32Modeling
Fundo de investimento: retorno mensal de +2% com prob. 0,6 ou -1% com prob. 0,4. Calcule retorno esperado e variância mensal.
Solve online OpenStax Statistics · §4.2 · 4.2.29 · p. 237
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Fundo com retorno mensal: $X$ assume +2% (prob. 0,6), -1% (prob. 0,4). $E[X] = 0{,}02 \times 0{,}6 + (-0{,}01) \times 0{,}4 = 0{,}012 - 0{,}004 = 0{,}008$ ou 0,8% ao mês. $E[X^2] = 0{,}0004 \times 0{,}6 + 0{,}0001 \times 0{,}4 = 0{,}00028$ . $\text{Var}(X) = 0{,}00028 - 0{,}000064 = 0{,}000216$ . $\sigma \approx 1{,}47\%$ .
Ex. 74.33ModelingAnswer key
Loja com 3 fornecedores: A (40% dos pedidos, 3 dias), B (35%, 5 dias), C (25%, 7 dias). Calcule tempo médio de entrega e variância.
Solve online OpenIntro Statistics · §3.2 · 3.14 · p. 109
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Loja com 3 fornecedores: A (40% pedidos, entrega em 3 dias), B (35%, entrega em 5 dias), C (25%, entrega em 7 dias). $E[\text{entrega}] = 3 \times 0{,}4 + 5 \times 0{,}35 + 7 \times 0{,}25 = 1{,}2 + 1{,}75 + 1{,}75 = 4{,}7$ dias. $E[\text{entrega}^2] = 9 \times 0{,}4 + 25 \times 0{,}35 + 49 \times 0{,}25 = 3{,}6 + 8{,}75 + 12{,}25 = 24{,}6$ . $\text{Var} = 24{,}6 - 22{,}09 = 2{,}51$ .
Ex. 74.34ModelingAnswer key
Cartão com cashback aleatório: R $5 em 20% das compras, R$ 0 caso contrário. Com 50 compras/mês, calcule cashback esperado mensal e desvio padrão.
Solve online OpenStax Statistics · §4.2 · 4.2.31 · p. 238
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Cashback: 5 reais em 20% das compras, 0 reais em 80%. $E[\text{cashback/compra}] = 5 \times 0{,}2 = 1{,}00$ . Em 50 compras/mês: cashback mensal = 50 reais. Variância por compra: $E[X^2] - (E[X])^2 = 25 \times 0{,}2 - 1 = 4$ . Variância mensal (independente): $50 \times 4 = 200$ . $\sigma \approx 14{,}14$ reais.
Ex. 74.35Understanding
Por que o LOTUS funciona? Explique em 2–3 linhas sem usar fórmulas.
Solve online Introduction to Probability — Grinstead, Snell · §5.1 · 5.1.7 · p. 194
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LOTUS funciona porque a esperança de uma função de $X$ é calculada sobre a distribuição de $X$ — não precisa derivar a distribuição de $g(X)$ . Formalmente: $E[g(X)] = \sum_x g(x) p_X(x)$ . A PMF de $X$ já codifica toda informação necessária — basta substituir $x$ por $g(x)$ na soma.
Ex. 74.36Understanding
Por que a linearidade da esperança $E[X+Y] = E[X] + E[Y]$ vale mesmo quando $X$ e $Y$ são dependentes?
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A linearidade da esperança vale por definição de integral/soma — não requer independênciaA linearidade vale apenas para variáveis independentesA linearidade vale apenas para variáveis com a mesma distribuiçãoA linearidade da esperança não vale em geral, só para casos especiais
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Solve online OpenIntro Statistics · §3.2 · 3.16 · p. 110
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A linearidade da esperança decorre da linearidade da soma: $E[X+Y] = \sum_{x,y}(x+y)p(x,y) = \sum_x x p_X(x) + \sum_y y p_Y(y) = E[X]+E[Y]$ . Esta álgebra de somas não requer qualquer hipótese sobre a relação entre $X$ e $Y$ .
Ex. 74.37Challenge
Construa uma v.a. discreta com apenas 2 valores que satisfaça $E[X] = 0$ e $\text{Var}(X) = 1$ .
Solve online Introduction to Probability — Grinstead, Snell · §5.2 · 5.2.1 · p. 198
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Queremos $X$ com 2 valores $a, b$ , $E[X] = 0$ , $\text{Var}(X) = 1$ . Seja $P(X=a) = p$ . Condições: $ap + b(1-p) = 0$ e $a^2p + b^2(1-p) - 0 = 1$ . Solução simples: $a = 1$ , $b = -1$ , $p = 1/2$ . Verificação: $E[X] = 0$ , $E[X^2] = 1$ , $\text{Var} = 1$ . Outra: $a = \sqrt{2}$ , $b = -\sqrt{2}$ , $p = 1/2$ também funciona se $b = -\sqrt{2}$ .
Ex. 74.38Proof
Demonstre a identidade $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ a partir da definição $\text{Var}(X) = E[(X - \mu)^2]$ .
OpenIntro Statistics · §3.2 · 3.18 · p. 111
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Prova: $\text{Var}(X) = E[(X - \mu)^2]$ por definição, com $\mu = E[X]$ . Expanda: $E[X^2 - 2\mu X + \mu^2] = E[X^2] - 2\mu E[X] + \mu^2$ (linearidade). Substitua $E[X] = \mu$ : $= E[X^2] - 2\mu^2 + \mu^2 = E[X^2] - \mu^2 = E[X^2] - (E[X])^2$ . $\blacksquare$
Ex. 74.39ProofAnswer key
Demonstre que se $X, Y$ são discretas e independentes, então $E[XY] = E[X]\,E[Y]$ .
Introduction to Probability — Grinstead, Snell · §5.2 · 5.2.3 · p. 199
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Para discretas independentes: $E[XY] = \sum_x \sum_y xy \cdot P(X=x, Y=y) = \sum_x \sum_y xy \cdot P(X=x)P(Y=y)$ (por independência) $= \left(\sum_x x P(X=x)\right)\left(\sum_y y P(Y=y)\right) = E[X] E[Y]$ . $\blacksquare$
Ex. 74.40Proof
Demonstre as desigualdades de Markov ( $P(X \geq a) \leq E[X]/a$ para $X \geq 0$ ) e Chebyshev ( $P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq 1/k^2$ ).
Introduction to Probability — Grinstead, Snell · §5.2 · 5.2.5 · p. 200
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Desigualdade de Markov: seja $X \geq 0$ e $a > 0$ . $E[X] = \sum_x x p(x) \geq \sum_{x \geq a} x p(x) \geq a \sum_{x \geq a} p(x) = a P(X \geq a)$ . Logo $P(X \geq a) \leq E[X]/a$ . Para Chebyshev: aplique Markov a $Y = (X - \mu)^2$ com threshold $k^2 \sigma^2$ : $P(Y \geq k^2\sigma^2) \leq E[Y]/(k^2\sigma^2) = \sigma^2/(k^2\sigma^2) = 1/k^2$ . Como $Y \geq k^2\sigma^2 \iff |X-\mu| \geq k\sigma$ , conclui-se Chebyshev. $\blacksquare$

Fontes

OpenIntro Statistics (4ª ed) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · 2019 · EN · CC-BY-SA. Fonte primária — §3.1 (PMF, esperança) e §3.2 (variância, linearidade, independência).
Statistics (OpenStax) — Illowsky, Dean · 2022 · EN · CC-BY. §4.1–4.3 — v.a. discreta, PMF, CDF, esperança, variância; exercícios AP-level.
Introduction to Probability (Grinstead-Snell) — Grinstead, Snell · 1997 · EN · GNU FDL. §5.1–5.2 — esperança, variância, LOTUS, desigualdades de Markov e Chebyshev; exercícios demonstrativos.