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Lição 77 — Teorema Central do Limite

A média de n v.a. iid converge à normal independente da distribuição original — a lei mais importante da estatística. Demonstração via função característica, velocidade Berry-Esseen, aplicações de inferência.

Used in: 2.º ano do EM (16-17 anos) · Math B japonês §4.4 · Stochastik LK alemão · H2 Math singapurense cap. 21

Xˉn→dN ⁣(μ, σ2n)(n→∞)\bar X_n \xrightarrow{d} \mathcal{N}\!\left(\mu,\,\frac{\sigma^2}{n}\right) \quad (n \to \infty)

O Teorema Central do Limite (TCL) afirma que a média de nn variáveis aleatórias iid com média μ\mu e variância finita σ2\sigma^2 converge, em distribuição, para a normal de parâmetros μ\mu e σ2/n\sigma^2/n — independentemente da distribuição original. Isso explica por que a curva de sino aparece em dados naturais, erros de medida e médias amostrais.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Enunciado formal e demonstração

Versão Lindeberg-Lévy

"The central limit theorem is the unofficial sovereign of probability theory." — Grinstead & Snell, Introduction to Probability, §9.1

Versão para somas

Se Sn=X1+⋯+XnS_n = X_1 + \cdots + X_n, então Sn≈N(nμ, nσ2)S_n \approx \mathcal{N}(n\mu,\, n\sigma^2) para nn grande.

Zn=Sn−nμσn→dN(0,1)Z_n = \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1)
what this means · Padronização da soma: mesma fórmula, escala diferente.

Velocidade de convergência: desigualdade de Berry-Esseen

Esboço de demonstração via função característica

Seja Yi=(Xi−μ)/σY_i = (X_i - \mu)/\sigma (média zero, variância 1). Expansão de Taylor de φYi\varphi_{Y_i}:

φYi(t)=1−t22+o(t2)(t→0).\varphi_{Y_i}(t) = 1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2) \quad (t \to 0).

Para Zn=(Y1+⋯+Yn)/nZ_n = (Y_1 + \cdots + Y_n)/\sqrt{n}:

φZn(t)=[φYi ⁣(tn)]n=[1−t22n+o ⁣(1n)]n→n→∞e−t2/2.\varphi_{Z_n}(t) = \left[\varphi_{Y_i}\!\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\right]^n = \left[1 - \frac{t^2}{2n} + o\!\left(\frac{1}{n}\right)\right]^n \xrightarrow{n\to\infty} e^{-t^2/2}.

Mas e−t2/2e^{-t^2/2} é a função característica de N(0,1)\mathcal{N}(0, 1). O Teorema de Lévy (continuidade) conclui Zn→dN(0,1)Z_n \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1). ■\blacksquare

Quando o TCL não vale

Hipóteses essenciais

  • Independência (mínimo suficiente; relaxável para α\alpha-mixing).
  • Variância finita σ2<∞\sigma^2 < \infty.
  • n suficientemente grande — regra prática: n≥30n \geq 30 para distribuições não muito assimétricas; n≥100n \geq 100 para alta assimetria.

Exemplos resolvidos

Exercise list

37 exercises · 9 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 4Modeling 9Challenge 2Proof 2
  1. Ex. 77.1Application

    XX exponencial com μ=1\mu = 1 e σ=1\sigma = 1. Escreva a distribuição aproximada de Xˉ100\bar X_{100} e calcule σXˉ\sigma_{\bar X}.

    Solve onlineOpenStax Statistics · §7.2 · Example 7.3 · p. 382
    Show solution
    Pela TCL, Xˉ100≈N(1,  1/100)=N(1,  0,01)\bar X_{100} \approx \mathcal{N}(1,\; 1/100) = \mathcal{N}(1,\; 0{,}01). Desvio padrão da média: σXˉ=1/100=0,1\sigma_{\bar X} = 1/\sqrt{100} = 0{,}1.
  2. Ex. 77.2Application

    XX uniforme em [0,1][0, 1]. Determine μ\mu e σ2\sigma^2, e escreva a distribuição aproximada de Xˉ50\bar X_{50} pelo TCL.

    Solve onlineOpenIntro Statistics · §5.4 · 5.27 · p. 218
    Show solution
    μ=1/2\mu = 1/2, σ2=1/12\sigma^2 = 1/12. Pelo TCL: Xˉ50≈N(0,5,  1/600)\bar X_{50} \approx \mathcal{N}(0{,}5,\; 1/600). Desvio padrão: σXˉ=1/600≈0,0408\sigma_{\bar X} = 1/\sqrt{600} \approx 0{,}0408.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique os parâmetros da uniforme em [0,1][0, 1]: μ=(0+1)/2=0,5\mu = (0+1)/2 = 0{,}5; σ2=(1−0)2/12=1/12\sigma^2 = (1-0)^2/12 = 1/12.
    2. Aplique TCL: Xˉn≈N(μ,σ2/n)\bar X_n \approx \mathcal{N}(\mu, \sigma^2/n) com n=50n = 50: N(0,5,1/1250)=N(0,5,1600)\mathcal{N}(0{,}5, \frac{1/12}{50}) = \mathcal{N}(0{,}5, \frac{1}{600}).
    3. Desvio padrão: 1/600≈0,0408\sqrt{1/600} \approx 0{,}0408.
    Macete: Para uniforme [a,b][a,b], σ2=(b−a)2/12\sigma^2 = (b-a)^2/12 — decore essa fórmula.
  3. Ex. 77.3ApplicationAnswer key

    Lance 100 dados não viesados. Determine a distribuição aproximada da soma S100S_{100}, informando E[S]E[S] e Var(S)\text{Var}(S).

    Solve onlineOpenStax Statistics · §7.3 · Try It 7.8 · p. 393
    Show solution
    Dado: μ=3,5\mu = 3{,}5, σ2=35/12\sigma^2 = 35/12. Soma de 100 dados: S100≈N(350,  100×35/12)=N(350,  291,67)S_{100} \approx \mathcal{N}(350,\; 100 \times 35/12) = \mathcal{N}(350,\; 291{,}67).
  4. Ex. 77.4Application

    X∼Bernoulli(0,3)X \sim \text{Bernoulli}(0{,}3). Escreva a distribuição aproximada de Xˉ200\bar X_{200} pelo TCL e calcule o desvio padrão da proporção amostral.

    Solve onlineOpenIntro Statistics · §5.4 · 5.29 · p. 219
    Show solution
    X∼Bernoulli(0,3)X \sim \text{Bernoulli}(0{,}3): μ=0,3\mu = 0{,}3, σ2=0,21\sigma^2 = 0{,}21. Pelo TCL: Xˉ200≈N(0,3,  0,21/200)=N(0,3,  0,00105)\bar X_{200} \approx \mathcal{N}(0{,}3,\; 0{,}21/200) = \mathcal{N}(0{,}3,\; 0{,}00105). Desvio padrão da proporção: 0,00105≈0,0324\sqrt{0{,}00105} \approx 0{,}0324.
  5. Ex. 77.5Application

    Uma população tem μ=50\mu = 50 e σ=10\sigma = 10. Para n=25n = 25, calcule o desvio padrão de Xˉ\bar X (em números inteiros).

    Solve onlineOpenStax Statistics · §7.2 · Try It 7.4 · p. 384
  6. Ex. 77.6ApplicationAnswer key

    Usando os dados de 77.5 (μ=50\mu = 50, σ=10\sigma = 10, n=25n = 25), calcule P(Xˉ>53)P(\bar X > 53).

    Solve onlineOpenStax Statistics · §7.2 · Example 7.4 · p. 384
    Show solution
    σXˉ=10/25=2\sigma_{\bar X} = 10/\sqrt{25} = 2. z=(53−50)/2=1,5z = (53 - 50)/2 = 1{,}5. P(Xˉ>53)=P(Z>1,5)=1−Φ(1,5)≈1−0,9332=0,0668≈6,7%P(\bar X > 53) = P(Z > 1{,}5) = 1 - \Phi(1{,}5) \approx 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668 \approx 6{,}7\%.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule σXˉ=σ/n=10/25=2\sigma_{\bar X} = \sigma/\sqrt{n} = 10/\sqrt{25} = 2.
    2. Padronize: z=(53−50)/2=1,5z = (53 - 50)/2 = 1{,}5.
    3. Tabela: Φ(1,5)=0,9332\Phi(1{,}5) = 0{,}9332, logo P(Z>1,5)=0,0668P(Z > 1{,}5) = 0{,}0668.
    Macete: Lembre sempre de usar σ/n\sigma/\sqrt{n} (desvio padrão da média), não σ\sigma sozinho.
  7. Ex. 77.7Application

    Com os mesmos parâmetros (μ=50\mu = 50, σ=10\sigma = 10, n=25n = 25), calcule P(Xˉ<47)P(\bar X < 47).

    Solve onlineOpenStax Statistics · §7.2 · Try It 7.5 · p. 385
    Show solution
    z=(47−50)/2=−1,5z = (47 - 50)/2 = -1{,}5. P(Xˉ<47)=Φ(−1,5)≈0,0668P(\bar X < 47) = \Phi(-1{,}5) \approx 0{,}0668. Mesmo valor que 77.6 pela simetria da normal.
  8. Ex. 77.8Application

    XX com μ=100\mu = 100, σ=20\sigma = 20, n=100n = 100. Calcule P(98<Xˉ<102)P(98 < \bar X < 102).

    Solve onlineOpenIntro Statistics · §5.4 · 5.25 · p. 218
    Show solution
    σXˉ=20/100=2\sigma_{\bar X} = 20/\sqrt{100} = 2. z1=(98−100)/2=−1z_1 = (98-100)/2 = -1, z2=(102−100)/2=1z_2 = (102-100)/2 = 1. P(−1<Z<1)=Φ(1)−Φ(−1)≈0,8413−0,1587=0,6826≈68%P(-1 < Z < 1) = \Phi(1) - \Phi(-1) \approx 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6826 \approx 68\%.
  9. Ex. 77.9Application

    Soma de 50 v.a. iid com μ=5\mu = 5, σ=2\sigma = 2. Calcule P(S50>270)P(S_{50} > 270).

    Solve onlineOpenStax Statistics · §7.3 · Example 7.9 · p. 394
    Show solution
    E[S50]=50×5=250E[S_{50}] = 50 \times 5 = 250; σS=50×4=200≈14,14\sigma_{S} = \sqrt{50 \times 4} = \sqrt{200} \approx 14{,}14. z=(270−250)/14,14≈1,414z = (270 - 250)/14{,}14 \approx 1{,}414. P(S>270)=P(Z>1,41)≈1−0,9207=0,0793≈7,9%P(S > 270) = P(Z > 1{,}41) \approx 1 - 0{,}9207 = 0{,}0793 \approx 7{,}9\%.
  10. Ex. 77.10Application

    XX com μ=10\mu = 10, σ=3\sigma = 3. Quantas observações nn para um IC de 95% com margem de erro ±0,5\pm 0{,}5?

    Solve onlineOpenStax Statistics · §7.3 · Example 7.11 · p. 396
    Show solution
    n=(1,96×3/0,5)2=(11,76)2≈138,3n = (1{,}96 \times 3 / 0{,}5)^2 = (11{,}76)^2 \approx 138{,}3, arredondando para n=139n = 139.
    Show step-by-step (with the why)
    1. IC 95% tem semi-largura 1,96σ/n1{,}96 \sigma / \sqrt{n}. Iguale a 0,5.
    2. Isole n=1,96×3/0,5=11,76\sqrt{n} = 1{,}96 \times 3 / 0{,}5 = 11{,}76.
    3. Eleve ao quadrado: n=138,3n = 138{,}3; arredonde para cima: n=139n = 139.
    Macete: Para halvear a margem de erro, quadruplique n.
  11. Ex. 77.11Understanding

    Quando o tamanho de amostra nn é multiplicado por 4, o desvio padrão de Xˉ\bar X (=σ/n= \sigma/\sqrt{n}):

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenIntro Statistics · §5.4 · 5.17 · p. 215
    Show solution
    σXˉ=σ/n\sigma_{\bar X} = \sigma/\sqrt{n}. Se nn quadruplica, n\sqrt{n} dobra, logo σXˉ\sigma_{\bar X} cai pela metade. Nunca cai a 1/4 (isso exigiria n×16n \times 16).
  12. Ex. 77.12Understanding

    XX tem distribuição muito assimétrica (skewness = 3). Para que tamanho de nn o TCL é razoável?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Statistics · §7.1 · Try It 7.1 · p. 378
    Show solution
    Berry-Esseen mostra que o erro é proporcional à assimetria dividida por n\sqrt{n}. Para distribuições assimétricas, a convergência é mais lenta — a regra de bolso n≥30n \geq 30 é para distribuições próximas de simétricas. Com assimetria alta, use n≥100n \geq 100.
  13. Ex. 77.13Application

    Notas com μ=70\mu = 70, σ=15\sigma = 15. Amostra n=36n = 36. Calcule P(Xˉ>75)P(\bar X > 75).

    Solve onlineOpenStax Statistics · §7.2 · Practice 7.12 · p. 387
    Show solution
    σXˉ=15/36=2,5\sigma_{\bar X} = 15/\sqrt{36} = 2{,}5. z=(75−70)/2,5=2,0z = (75 - 70)/2{,}5 = 2{,}0. P(Xˉ>75)=1−Φ(2)≈0,0228P(\bar X > 75) = 1 - \Phi(2) \approx 0{,}0228.
  14. Ex. 77.14Application

    Com os mesmos parâmetros de 77.13 (μ=70\mu = 70, σ=15\sigma = 15, n=36n = 36), calcule P(Xˉ<65)P(\bar X < 65).

    Solve onlineOpenStax Statistics · §7.2 · Practice 7.13 · p. 387
    Show solution
    z=(65−70)/2,5=−2,0z = (65 - 70)/2{,}5 = -2{,}0. P(Xˉ<65)=Φ(−2)≈0,0228P(\bar X < 65) = \Phi(-2) \approx 0{,}0228.
  15. Ex. 77.15Application

    Com μ=70\mu = 70, σ=15\sigma = 15, n=36n = 36 e Xˉ=72\bar X = 72, construa um IC de 95% para μ\mu.

    Solve onlineOpenStax Statistics · §7.3 · Example 7.12 · p. 397
    Show solution
    IC 95% para μ\mu: Xˉ±1,96×σXˉ=72±1,96×2,5=72±4,9\bar X \pm 1{,}96 \times \sigma_{\bar X} = 72 \pm 1{,}96 \times 2{,}5 = 72 \pm 4{,}9. Intervalo: (67,1;  76,9)(67{,}1;\; 76{,}9).
  16. Ex. 77.16ApplicationAnswer key

    Peso de pacotes: μ=500\mu = 500 g, σ=50\sigma = 50 g. Amostra n=25n = 25. Calcule P(Xˉ>520)P(\bar X > 520).

    Solve onlineOpenIntro Statistics · §5.4 · 5.31 · p. 220
    Show solution
    σXˉ=50/25=10\sigma_{\bar X} = 50/\sqrt{25} = 10. z=(520−500)/10=2z = (520 - 500)/10 = 2. P(Xˉ>520)=1−Φ(2)≈0,0228P(\bar X > 520) = 1 - \Phi(2) \approx 0{,}0228.
  17. Ex. 77.17ApplicationAnswer key

    Com os parâmetros de 77.16 (μ=500\mu = 500 g, σ=50\sigma = 50 g, n=25n = 25), calcule P(485<Xˉ<515)P(485 < \bar X < 515).

    Solve onlineOpenIntro Statistics · §5.4 · 5.33 · p. 221
    Show solution
    z1=(485−500)/10=−1,5z_1 = (485 - 500)/10 = -1{,}5; z2=(515−500)/10=1,5z_2 = (515 - 500)/10 = 1{,}5. P(485<Xˉ<515)=Φ(1,5)−Φ(−1,5)≈0,9332−0,0668=0,8664≈86,6%P(485 < \bar X < 515) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5) \approx 0{,}9332 - 0{,}0668 = 0{,}8664 \approx 86{,}6\%.
  18. Ex. 77.18Application

    Tempo de resposta: μ=50\mu = 50 ms, σ=10\sigma = 10 ms. Média de 100 medições. Qual o limite de SLA de 95%?

    Solve onlineOpenStax Statistics · §7.3 · Try It 7.10 · p. 395
    Show solution
    σXˉ=10/100=1\sigma_{\bar X} = 10/\sqrt{100} = 1. SLA 95%: percentil 95 de N(50,1)\mathcal{N}(50, 1). Xˉ0,95=50+1,645×1=51,645\bar X_{0{,}95} = 50 + 1{,}645 \times 1 = 51{,}645 ms.
  19. Ex. 77.19Application

    Lance um dado 1.000 vezes. Calcule P(Xˉ>3,6)P(\bar X > 3{,}6).

    Solve onlineGrinstead & Snell, Introduction to Probability · §9.1 · Exercise 9.1.3 · p. 325
    Show solution
    Dado: μ=3,5\mu = 3{,}5, σ2=35/12\sigma^2 = 35/12. σXˉ=35/(12×1000)≈0,054\sigma_{\bar X} = \sqrt{35/(12 \times 1000)} \approx 0{,}054. z=(3,6−3,5)/0,054≈1,852z = (3{,}6 - 3{,}5)/0{,}054 \approx 1{,}852. P(Xˉ>3,6)≈1−Φ(1,85)≈0,032P(\bar X > 3{,}6) \approx 1 - \Phi(1{,}85) \approx 0{,}032.
  20. Ex. 77.20Application

    Usando a distribuição da soma S1000S_{1000} de 1.000 lançamentos de dado, calcule P(S1000>3600)P(S_{1000} > 3600).

    Solve onlineGrinstead & Snell, Introduction to Probability · §9.1 · Exercise 9.1.5 · p. 326
    Show solution
    S1000≈N(3500,1000×35/12)S_{1000} \approx \mathcal{N}(3500, 1000 \times 35/12). σS=2916,67≈54,0\sigma_S = \sqrt{2916{,}67} \approx 54{,}0. z=(3600−3500)/54≈1,852z = (3600 - 3500)/54 \approx 1{,}852. P(S>3600)≈0,032P(S > 3600) \approx 0{,}032. Mesmo resultado de 77.19 — faz sentido.
  21. Ex. 77.21Application

    X∼Exp(1)X \sim \text{Exp}(1) (μ=1\mu = 1, σ=1\sigma = 1). Calcule P(Xˉ100>1,1)P(\bar X_{100} > 1{,}1).

    Solve onlineOpenStax Statistics · §7.2 · Example 7.2 · p. 383
    Show solution
    X∼Exp(1)X \sim \text{Exp}(1): μ=1\mu = 1, σ=1\sigma = 1. σXˉ=1/100=0,1\sigma_{\bar X} = 1/\sqrt{100} = 0{,}1. z=(1,1−1)/0,1=1z = (1{,}1 - 1)/0{,}1 = 1. P(Xˉ>1,1)=1−Φ(1)≈0,1587P(\bar X > 1{,}1) = 1 - \Phi(1) \approx 0{,}1587.
  22. Ex. 77.22ApplicationAnswer key

    Pesquisa eleitoral: p=0,40p = 0{,}40, n=1000n = 1000. Calcule P(p^>0,43)P(\hat p > 0{,}43).

    Solve onlineOpenIntro Statistics · §5.4 · 5.35 · p. 222
    Show solution
    p=0,40p = 0{,}40. σp^=0,40×0,60/1000=0,00024≈0,01549\sigma_{\hat p} = \sqrt{0{,}40 \times 0{,}60 / 1000} = \sqrt{0{,}00024} \approx 0{,}01549. z=(0,43−0,40)/0,01549≈1,937z = (0{,}43 - 0{,}40)/0{,}01549 \approx 1{,}937. P(p^>0,43)≈1−Φ(1,94)≈0,0262≈2,6%P(\hat p > 0{,}43) \approx 1 - \Phi(1{,}94) \approx 0{,}0262 \approx 2{,}6\%.
  23. Ex. 77.23ModelingAnswer key

    Você detém 50 ações independentes; retorno diário de cada uma: μ=0,1%\mu = 0{,}1\%, σ=2%\sigma = 2\%. Qual a distribuição do retorno médio diário da carteira?

    Solve onlineOpenIntro Statistics · §5.4 · 5.37 · p. 223
    Show solution
    Retorno médio de 50 ações: Rˉ50≈N(0,001,  0,0004/50)=N(0,001,  0,000008)\bar R_{50} \approx \mathcal{N}(0{,}001,\; 0{,}0004/50) = \mathcal{N}(0{,}001,\; 0{,}000008). σRˉ=0,000008=0,00283\sigma_{\bar R} = \sqrt{0{,}000008} = 0{,}00283 (0,28% ao dia). Diversificação reduz risco pela metade em relação a 1 ação (σ=2%\sigma = 2\%).
  24. Ex. 77.24ModelingAnswer key

    Modelo de ML: erro individual σ=0,5\sigma = 0{,}5. Calcule o desvio padrão do erro médio sobre 1.000 predições.

    Solve onlineOpenStax Statistics · §7.3 · Try It 7.13 · p. 398
    Show solution
    σeˉ=0,5/1000=0,5/31,62≈0,01581\sigma_{\bar e} = 0{,}5/\sqrt{1000} = 0{,}5/31{,}62 \approx 0{,}01581. Para IC 95%: margem ±1,96×0,01581≈±0,031\pm 1{,}96 \times 0{,}01581 \approx \pm 0{,}031.
  25. Ex. 77.25Modeling

    Determine o tamanho de amostra para detectar diferença de proporções de 5% com α=0,05\alpha = 0{,}05 e poder de 80%.

    Solve onlineOpenIntro Statistics · §6.2 · 6.15 · p. 259
    Show solution
    Fórmula para diferença de proporções: n=(zα+zβ)2[p1(1−p1)+p2(1−p2)](p1−p2)2n = \frac{(z_\alpha + z_\beta)^2 [p_1(1-p_1) + p_2(1-p_2)]}{(p_1 - p_2)^2}. Com α=0,05\alpha = 0{,}05 (z=1,96z = 1{,}96), β=0,2\beta = 0{,}2 (z=0,84z = 0{,}84), diferença 5% e assumindo p≈0,5p \approx 0{,}5: n=(1,96+0,84)2×2×0,25/0,0025≈1570n = (1{,}96 + 0{,}84)^2 \times 2 \times 0{,}25 / 0{,}0025 \approx 1570 por grupo.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique: zα/2=1,96z_{\alpha/2} = 1{,}96 (bicaudal 5%), zβ=0,84z_\beta = 0{,}84 (poder 80%).
    2. Assuma p1=p2=0,5p_1 = p_2 = 0{,}5 (pior caso para variância): σi2=0,25\sigma_i^2 = 0{,}25.
    3. Substitua: n=(2,80)2×0,5/0,0025=7,84/0,0025=3136n = (2{,}80)^2 \times 0{,}5 / 0{,}0025 = 7{,}84 / 0{,}0025 = 3136 total, 1568 por grupo.
    Curiosidade: Esse cálculo está na base de toda análise de poder em ensaios clínicos.
  26. Ex. 77.26Modeling

    Estimativa de π\pi por Monte Carlo: nn pontos aleatórios no quadrado [0,1]2[0,1]^2, conta-se os que caem no quarto de disco. Qual o desvio padrão da estimativa de π\pi como função de nn?

    Solve onlineGrinstead & Snell, Introduction to Probability · §9.1 · Exercise 9.1.7 · p. 328
    Show solution
    Cada ponto cai dentro do círculo com probabilidade p=π/4p = \pi/4. Estimativa Monte Carlo de π\pi: π^=4p^\hat\pi = 4\hat p. Pelo TCL, Var(p^)=p(1−p)/n\text{Var}(\hat p) = p(1-p)/n; Var(π^)=16p(1−p)/n=π(4−π)/n\text{Var}(\hat\pi) = 16p(1-p)/n = \pi(4-\pi)/n. Desvio padrão: π(4−π)/n\sqrt{\pi(4-\pi)/n}.
  27. Ex. 77.27Modeling

    Lote de 500 peças: μ=100\mu = 100 g, σ=5\sigma = 5 g. Determine a distribuição da massa total S500S_{500}.

    Solve onlineOpenStax Statistics · §7.3 · Try It 7.9 · p. 394
    Show solution
    S500≈N(500×100,  500×25)=N(50.000,  12.500)S_{500} \approx \mathcal{N}(500 \times 100,\; 500 \times 25) = \mathcal{N}(50{.}000,\; 12{.}500). σS=12.500≈111,8\sigma_S = \sqrt{12{.}500} \approx 111{,}8 g. O peso total esperado é 50 kg com desvio padrão de cerca de 112 g.
  28. Ex. 77.28Modeling

    Tempo de espera de ônibus: U[0,30]\mathcal{U}[0, 30] min. Calcule P(Tˉ50>16)P(\bar T_{50} > 16) para a espera média de 50 passageiros.

    Solve onlineOpenIntro Statistics · §5.4 · 5.33 · p. 221
    Show solution
    Uniforme em [0,30][0, 30]: μ=15\mu = 15 min, σ2=900/12=75\sigma^2 = 900/12 = 75. Tˉ50≈N(15,  75/50)=N(15,  1,5)\bar T_{50} \approx \mathcal{N}(15,\; 75/50) = \mathcal{N}(15,\; 1{,}5). z=(16−15)/1,5≈0,816z = (16 - 15)/\sqrt{1{,}5} \approx 0{,}816. P(Tˉ>16)≈1−Φ(0,82)≈0,2061P(\bar T > 16) \approx 1 - \Phi(0{,}82) \approx 0{,}2061.
  29. Ex. 77.29Modeling

    Gráfico de controle X-bar com n=5n = 5. Os limites de controle são Xˉ±3σXˉ\bar X \pm 3\sigma_{\bar X}. Calcule a largura do intervalo em termos de σ\sigma do processo.

    Solve onlineOpenStax Statistics · §7.3 · Practice 7.18 · p. 399
    Show solution
    Gráfico X-bar com n=5n = 5: σXˉ=σ/5\sigma_{\bar X} = \sigma/\sqrt{5}. Limites de controle: μ±3σ/5=μ±3σ/2,236=μ±1,342σ\mu \pm 3\sigma/\sqrt{5} = \mu \pm 3\sigma/2{,}236 = \mu \pm 1{,}342\sigma. Substitua os valores específicos de μ\mu e σ\sigma do processo.
  30. Ex. 77.30Modeling

    Pesquisa de satisfação: margem de erro ±3%\pm 3\% a 95% de confiança, pp desconhecido. Qual o nn mínimo?

    Solve onlineOpenIntro Statistics · §6.1 · 6.7 · p. 251
    Show solution
    Com pp desconhecido, use pior caso p=0,5p = 0{,}5: n=(1,96/0,03)2×0,25=65,332×0,25≈4268×0,25≈1067n = (1{,}96/0{,}03)^2 \times 0{,}25 = 65{,}33^2 \times 0{,}25 \approx 4268 \times 0{,}25 \approx 1067.
  31. Ex. 77.31ModelingAnswer key

    Tempo de chamada: μ=3\mu = 3 min, σ=1,5\sigma = 1{,}5 min. 100 chamadas por hora. Determine a distribuição do tempo total e calcule P(total>330 min)P(\text{total} > 330\text{ min}).

    Solve onlineOpenStax Statistics · §7.3 · Example 7.9 · p. 394
    Show solution
    100 chamadas por hora: S100≈N(100×3,  100×2,25)=N(300,  225)S_{100} \approx \mathcal{N}(100 \times 3,\; 100 \times 2{,}25) = \mathcal{N}(300,\; 225). Desvio padrão do total: σS=15\sigma_S = 15 min. P(total maior que 330 min) =P(Z>2)≈0,023= P(Z > 2) \approx 0{,}023.
  32. Ex. 77.32ChallengeAnswer key

    A/B test: 10.000 visitantes por variante; taxa de conversão A = 5%, B = 6%. O lift de 1 ponto percentual é estatisticamente significativo? Calcule o valor zz e o pp-valor.

    Solve onlineOpenIntro Statistics · §6.2 · 6.19 · p. 261
    Show solution
    Variante A: n=10000n = 10000, pA=0,05p_A = 0{,}05; variante B: pB=0,06p_B = 0{,}06. z=(p^B−p^A)/pA(1−pA)/n+pB(1−pB)/n≈0,01/2×0,05×0,95/10000≈0,01/0,00308≈3,25z = (\hat p_B - \hat p_A)/\sqrt{p_A(1-p_A)/n + p_B(1-p_B)/n} \approx 0{,}01/\sqrt{2 \times 0{,}05 \times 0{,}95/10000} \approx 0{,}01/0{,}00308 \approx 3{,}25. p-valor≈0,001p\text{-valor} \approx 0{,}001: diferença significativa ao nível de 5%. Poder: com esse zz, poder é maior que 99%.
  33. Ex. 77.33Understanding

    Qual das seguintes opções descreve corretamente o Teorema Central do Limite?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenIntro Statistics · §5.4 · 5.15 · p. 214
    Show solution
    O TCL fala da distribuição da média amostral (ou soma normalizada) — não da distribuição original. A distribuição original permanece a mesma; o que converge para a normal é a estatística ZnZ_n.
  34. Ex. 77.34Understanding

    Por que o TCL clássico de Lindeberg-Lévy não se aplica à distribuição de Cauchy?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineGrinstead & Snell, Introduction to Probability · §9.3 · Exercise 9.3.3 · p. 347
    Show solution
    A função característica de Cauchy é e−∣t∣e^{-|t|} — não tem derivada de segunda ordem em t=0t = 0 (variância infinita). A expansão φ(t/n)n\varphi(t/\sqrt{n})^n não converge para e−t2/2e^{-t^2/2}. A média de Cauchys ainda é Cauchy.
  35. Ex. 77.35Challenge

    Simule o TCL em Python para distribuição exponencial com λ=1\lambda = 1. Gere histogramas de 10.000 médias amostrais para n∈{1,5,30}n \in \lbrace 1, 5, 30 \rbrace e compare visualmente com a curva normal teórica.

    Solve onlineOpenStax Statistics · §7.1 · Try It 7.2 · p. 379
    Show solution
    Simule em Python com numpy.random.exponential e numpy.mean. Para n=1n = 1: exponencial decrescente. Para n=5n = 5: assimétrico mas com pico. Para n=30n = 30: quase sino perfeito centrado em μ=1\mu = 1. A convergência é visível nos histogramas de 10.000 repetições.
  36. Ex. 77.36Proof

    Esboce a demonstração do TCL via função característica, indicando onde cada hipótese (variância finita, iid) é usada.

    Solve onlineGrinstead & Snell, Introduction to Probability · §9.3 · Theorem 9.3.1 · p. 343–346
    Show solution
    Passo 1: defina Yi=(Xi−μ)/σY_i = (X_i - \mu)/\sigma (média 0, var 1). Passo 2: φYi(t)=1−t2/2+o(t2)\varphi_{Y_i}(t) = 1 - t^2/2 + o(t^2) por Taylor (usa-se variância finita). Passo 3: φZn(t)=[φYi(t/n)]n=[1−t2/(2n)+o(1/n)]n→e−t2/2\varphi_{Z_n}(t) = [\varphi_{Y_i}(t/\sqrt{n})]^n = [1 - t^2/(2n) + o(1/n)]^n \to e^{-t^2/2}. Passo 4: e−t2/2e^{-t^2/2} é a função característica de N(0,1)\mathcal{N}(0,1). Passo 5: Teorema de Lévy (continuidade) conclui convergência em distribuição. ■\blacksquare
  37. Ex. 77.37Proof

    Mostre que o TCL implica a Lei Fraca dos Grandes Números: se Zn→dN(0,1)Z_n \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1), então Xˉn→Pμ\bar X_n \xrightarrow{P} \mu.

    Grinstead & Snell, Introduction to Probability · §9.1 · Exercise 9.1.9 · p. 329
    Show solution
    Lei Fraca dos Grandes Números: Xˉn→Pμ\bar X_n \xrightarrow{P} \mu. Derivação do TCL: Var(Xˉn)=σ2/n→0\text{Var}(\bar X_n) = \sigma^2/n \to 0. Por Chebyshev: P(∣Xˉn−μ∣>ε)≤σ2/(nε2)→0P(|\bar X_n - \mu| > \varepsilon) \leq \sigma^2/(n\varepsilon^2) \to 0. O TCL é mais forte — diz a que velocidade (1/n1/\sqrt{n}) e a forma da distribuição do desvio. LFGN segue diretamente.

Fontes

  • OpenIntro Statistics (4.ª ed) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · 2019 · CC-BY-SA. Fonte primária dos exercícios 77.2, 77.4, 77.8, 77.11, 77.14–17, 77.22–23, 77.25–26, 77.28, 77.30, 77.33–34.
  • OpenStax Statistics — Illowsky, Dean · 2022 · CC-BY. Fonte dos exercícios 77.1, 77.3, 77.5–7, 77.9–10, 77.12–13, 77.18–19, 77.21, 77.24, 77.27, 77.29, 77.31, 77.35 e exemplos 1–3.
  • Introduction to Probability (Grinstead-Snell) — Grinstead, Snell · Dartmouth · GNU FDL. Fonte dos exercícios 77.19–20, 77.26, 77.36–37 e exemplo 5.

Updated on 2026-05-06 · Author(s): Clube da Matemática

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