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v1 · padrão canônico

Lição 100 — Consolidação Trimestre 10 (EDOs)

Workshop integrador de EDOs: separáveis, lineares de 1ª ordem, populações, 2ª ordem com coeficientes constantes, vibrações, RLC, Euler numérico e resfriamento de Newton.

Used in: AP Calculus BC (EUA) · Leistungskurs Mathematik Klasse 12 (Alemanha) · H2 Mathematics (Singapura) · Spécialité Maths Terminale (França)

y′+p(x) y=q(x)⏟1ª ordem linear∣ay′′+by′+cy=q(x)⏟2ª ordem coef. constantes\underbrace{y' + p(x)\,y = q(x)}_{\text{1ª ordem linear}} \quad \Big| \quad \underbrace{ay'' + by' + cy = q(x)}_{\text{2ª ordem coef.\,constantes}}

Dois modelos estruturais cobrem quase toda aplicação do trimestre. O da esquerda resolve com fator integrante μ=e∫p dx\mu = e^{\int p\,dx}. O da direita resolve pela equação característica aλ2+bλ+c=0a\lambda^2 + b\lambda + c = 0. Casos não analíticos recebem Euler ou RK4.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Mapa de técnicas e critérios de decisão

"The existence and uniqueness theorem says: there is exactly one solution curve through each point (x₀, y₀) where f and ∂f/∂y are continuous." — Lebl, Notes on Diffy Qs §1.2

"The idea behind the integrating factor is to write the left-hand side as an exact derivative." — OpenStax Calculus Vol. 2 §4.5

Tabela de técnicas do trimestre:

EDOForma canônicaTécnicaSolução geral
Separávely′=g(x)h(y)y' = g(x)h(y)Separa e integraImplícita
Linear 1ªy′+py=qy'+py=qμ=e∫p\mu=e^{\int p}y=1μ∫μq dx+Cy = \frac{1}{\mu}\int\mu q\,dx + C
MalthusP˙=rP\dot P = rPSeparávelP=P0ertP = P_0 e^{rt}
LogísticaP˙=rP(1−P/K)\dot P = rP(1-P/K)Separável + frações parciaisP=K/(1+Ae−rt)P = K/(1+Ae^{-rt})
ResfriamentoT˙=−k(T−Ta)\dot T = -k(T-T_a)SeparávelT=Ta+(T0−Ta)e−ktT = T_a + (T_0-T_a)e^{-kt}
2ª homogêneaay′′+by′+cy=0ay''+by'+cy=0Char. aλ2+bλ+c=0a\lambda^2+b\lambda+c=03 casos
2ª forçadaay′′+by′+cy=qay''+by'+cy=qyh+ypy_h + y_pCoef. a det.
Euler numéricoQualqueryn+1=yn+hfy_{n+1}=y_n+hfSequência

SVG — Diagrama de decisão EDO

EDO chegaOrdem?1ª ordem2ª ordemSeparável?→ IntegraLinear?→ Fator integ.Coef. const?→ Caract.Numériconão analítica

Exemplos resolvidos

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 3Modeling 9Challenge 2Proof 3
  1. Ex. 100.1Application

    Classifique e resolva: y′=3xyy' = 3xy.

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §1.3 · Exercise 1.3.1 · p. 20
    Show solution
    Separável. dy/y=3x dxdy/y = 3x\,dx. ln⁡∣y∣=3x2/2+C1\ln|y| = 3x^2/2 + C_1. y=Ce3x2/2y = Ce^{3x^2/2}.
  2. Ex. 100.2Application

    Classifique e resolva: y′+y/x=x2y' + y/x = x^2.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 2 · §4.5 · Exercise 4.5.101 · p. 392
    Show solution
    Linear de 1ª ordem. p=1/xp = 1/x, μ=x\mu = x. (xy)′=x3(xy)' = x^3. xy=x4/4+Cxy = x^4/4 + C. y=x3/4+C/xy = x^3/4 + C/x.
  3. Ex. 100.3Application

    Classifique e resolva: y′′+4y′+4y=0y'' + 4y' + 4y = 0.

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §2.2 · Exercise 2.2.3 · p. 82
    Show solution
    Característica: λ2+4λ+4=(λ+2)2=0\lambda^2 + 4\lambda + 4 = (\lambda+2)^2 = 0. Raiz dupla λ=−2\lambda = -2. y=(C1+C2x)e−2xy = (C_1 + C_2 x)e^{-2x}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Escreva a equação característica: λ2+4λ+4=0\lambda^2 + 4\lambda + 4 = 0.
    2. Fatore: (λ+2)2=0(\lambda + 2)^2 = 0, raiz dupla λ=−2\lambda = -2.
    3. Raiz dupla exige dois termos: y=(C1+C2x)e−2xy = (C_1 + C_2 x)e^{-2x}.
    4. Verifique: y′′+4y′+4y=0y'' + 4y' + 4y = 0. Confere após álgebra.
      5. Macete: raiz dupla sempre gera o fator extra x; sem ele você teria apenas uma solução, mas a EDO de 2ª ordem precisa de dois parâmetros livres.
  4. Ex. 100.4Application

    Classifique e resolva: y′′+9y=cos⁡3xy'' + 9y = \cos 3x (atenção à ressonância).

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §2.6 · Exercise 2.6.3 · p. 108
    Show solution
    Homogênea: yh=C1cos⁡3x+C2sin⁡3xy_h = C_1\cos 3x + C_2\sin 3x. Ressonância: forçamento na frequência natural. yp=x(Acos⁡3x+Bsin⁡3x)y_p = x(A\cos 3x + B\sin 3x). Substituindo: A=0A = 0, B=1/6B = 1/6. y=C1cos⁡3x+C2sin⁡3x+(x/6)sin⁡3xy = C_1\cos 3x + C_2\sin 3x + (x/6)\sin 3x.
  5. Ex. 100.5ApplicationAnswer key

    Resolva P˙=0,1P(1−P/100)\dot P = 0{,}1P(1 - P/100), P(0)=5P(0) = 5. Qual o valor de equilíbrio estável?

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 2 · §4.4 · Exercise 4.4.201 · p. 380
    Show solution
    Logística: K=100K=100, r=0,1r=0{,}1, P0=5P_0=5. A=(100−5)/5=19A = (100-5)/5 = 19. P(t)=100/(1+19e−0,1t)P(t) = 100/(1+19e^{-0{,}1t}). Equilíbrio estável em P=100P=100.
  6. Ex. 100.6ApplicationAnswer key

    Resolva T˙=−0,05(T−22)\dot T = -0{,}05(T - 22), T(0)=80T(0) = 80. Em quanto tempo a temperatura atinge 40 °C?

    Lebl — Notes on Diffy Qs · §1.6 · Exercise 1.6.1 · p. 38
    Show solution
    Resfriamento de Newton. T(t)=22+58e−0,05tT(t) = 22 + 58e^{-0{,}05t}. Equilíbrio: Ta=22T_a = 22 °C. Para T=40T = 40: t=ln⁡(58/18)/0,05≈23,5t = \ln(58/18)/0{,}05 \approx 23{,}5 min.
  7. Ex. 100.7Application

    Resolva 0,1Q¨+Q˙+10Q=00{,}1\ddot Q + \dot Q + 10Q = 0, Q(0)=1Q(0) = 1, Q˙(0)=0\dot Q(0) = 0. Classifique o amortecimento.

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §2.6 (RLC) · Exercise 2.6.1 · p. 107
    Show solution
    L=0,1L=0{,}1, R=1R=1, C=0,1C=0{,}1. Char.: 0,1λ2+λ+10=00{,}1\lambda^2 + \lambda + 10 = 0, λ=−5±9,747i\lambda = -5 \pm 9{,}747i. Subamortecido. Q(t)=e−5t(cos⁡(9,747t)+0,513sin⁡(9,747t))Q(t) = e^{-5t}(\cos(9{,}747t) + 0{,}513\sin(9{,}747t)).
  8. Ex. 100.8ApplicationAnswer key

    Aplique o método de Euler com h=0,1h = 0{,}1 a y′=−yy' = -y, y(0)=1y(0) = 1, de t=0t=0 a t=1t=1. Compare com e−1e^{-1}.

    Solve onlineREAMAT UFRGS — Cálculo Numérico · Cap. 8 · Exercício 8.1 · p. 148
    Show solution
    Exato: e−1≈0,3679e^{-1} \approx 0{,}3679. Euler com h=0,1h=0{,}1: y1=1−0,1=0,9y_1 = 1 - 0{,}1 = 0{,}9; após 10 passos, y10=(0,9)10≈0,3487y_{10} = (0{,}9)^{10} \approx 0{,}3487. Erro relativo: ~5,2%. RK4 dá erro menor que 0,001%.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Euler: yn+1=yn+h(−yn)=yn(1−h)=yn×0,9y_{n+1} = y_n + h(-y_n) = y_n(1-h) = y_n \times 0{,}9.
    2. Dez passos: y10=(0,9)10≈0,3487y_{10} = (0{,}9)^{10} \approx 0{,}3487.
    3. Exato: e−1≈0,3679e^{-1} \approx 0{,}3679. Erro: 0,0192.
    4. Erro de Euler é O(h)=O(0,1)O(h) = O(0{,}1) — proporcional ao passo.
      5. Curiosidade: Para y′=−yy' = -y, Euler explícito é estável se e somente se ∣1−hλ∣≤1|1-h\lambda| \leq 1, ou seja h≤2h \leq 2. Aqui h=0,1h = 0{,}1 está bem dentro da região de estabilidade.
  9. Ex. 100.9Application

    Resolva y′=ex+yy' = e^{x+y}.

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §1.3 · Exercise 1.3.5 · p. 21
    Show solution
    Reescreva: y′=ex⋅eyy' = e^x \cdot e^y. Separável: e−ydy=exdxe^{-y}dy = e^x dx. −e−y=ex+C-e^{-y} = e^x + C. y=−ln⁡(−ex−C)y = -\ln(-e^x - C) (definida onde ex+C<0e^x + C < 0).
  10. Ex. 100.10ApplicationAnswer key

    Resolva y′′−5y′+6y=e4xy'' - 5y' + 6y = e^{4x}.

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §2.5 · Exercise 2.5.4 · p. 98
    Show solution
    Homogênea: yh=C1e2x+C2e3xy_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}. Particular por coef. a det.: yp=Ae4xy_p = Ae^{4x}. 16A−20A+6A=1⇒2A=1⇒A=1/216A - 20A + 6A = 1 \Rightarrow 2A = 1 \Rightarrow A = 1/2. y=C1e2x+C2e3x+e4x/2y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} + e^{4x}/2.
  11. Ex. 100.11Application

    Massa-mola não-amortecido: m=1m = 1 kg, k=4k = 4 N/m, x(0)=1x(0) = 1, x˙(0)=0\dot x(0) = 0. Ache período, amplitude e fase.

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §2.4 · Exercise 2.4.1 · p. 91
    Show solution
    Massa-mola não-amortecido: ω0=k/m=4=2\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{4} = 2 rad/s. x(t)=cos⁡2tx(t) = \cos 2t. Período T=πT = \pi s, amplitude A=1A = 1, fase ϕ=0\phi = 0.
  12. Ex. 100.12Application

    Verifique por substituição direta que y=e2xcos⁡3xy = e^{2x}\cos 3x resolve y′′−4y′+13y=0y'' - 4y' + 13y = 0.

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §2.2 · Exercise 2.2.6 · p. 83
    Show solution
    Substitua y=e2xcos⁡3xy = e^{2x}\cos 3x: y′=2e2xcos⁡3x−3e2xsin⁡3xy' = 2e^{2x}\cos 3x - 3e^{2x}\sin 3x; y′′=e2x(4cos⁡3x−12sin⁡3x−9cos⁡3x)=e2x(−5cos⁡3x−12sin⁡3x)y'' = e^{2x}(4\cos 3x - 12\sin 3x - 9\cos 3x) = e^{2x}(-5\cos 3x - 12\sin 3x). Então y′′−4y′+13y=e2x(−5−4×2+13)cos⁡3x+e2x(−12−4×(−3))sin⁡3x=0y'' - 4y' + 13y = e^{2x}(-5-4\times 2+13)\cos 3x + e^{2x}(-12-4\times(-3))\sin 3x = 0. Confere.
  13. Ex. 100.13Application

    y˙=y(1−y)\dot y = y(1-y), y(0)=0,1y(0) = 0{,}1. Qual o valor limite y(∞)y(\infty)? Em que tempo y=0,5y = 0{,}5?

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 2 · §4.4 · Exercise 4.4.202 · p. 382
    Show solution
    Logística com K=1K=1, r=1r=1: y(t)=1/(1+9e−t)y(t) = 1/(1+9e^{-t}). y→1y \to 1 quando t→∞t \to \infty. Para y=0,5y = 0{,}5: 1+9e−t=2⇒e−t=1/9⇒t=ln⁡9≈2,21 + 9e^{-t} = 2 \Rightarrow e^{-t} = 1/9 \Rightarrow t = \ln 9 \approx 2{,}2 unidades de tempo.
  14. Ex. 100.14Application

    Resolva y′+2y=3e−2xy' + 2y = 3e^{-2x}. Explique por que aparece um fator xx na solução.

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §1.4 · Exercise 1.4.4 · p. 27
    Show solution
    Linear de 1ª ordem com "ressonância": p=2p = 2, mas forçamento q=3e−2xq = 3e^{-2x} também tem expoente −2-2. Fator integrante: μ=e2x\mu = e^{2x}. (e2xy)′=3(e^{2x}y)' = 3. e2xy=3x+Ce^{2x}y = 3x + C. y=(3x+C)e−2xy = (3x+C)e^{-2x}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique: p=2p = 2, q=3e−2xq = 3e^{-2x}. Fator integrante: μ=e∫2 dx=e2x\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}.
    2. Multiplique: (e2xy)′=e2x⋅3e−2x=3(e^{2x}y)' = e^{2x} \cdot 3e^{-2x} = 3.
    3. Integre: e2xy=3x+Ce^{2x}y = 3x + C.
    4. Solução: y=(3x+C)e−2xy = (3x + C)e^{-2x}.
      5. Macete: "ressonância de 1ª ordem" ocorre quando q=Ae−pxq = Ae^{-px} (expoente igual a −p-p). Após multiplicar por μ=epx\mu = e^{px}, o lado direito fica constante e a integral dá um fator xx — análogo ao caso de raiz dupla na 2ª ordem.
  15. Ex. 100.15Application

    Bernoulli: resolva y′+y=xy2y' + y = xy^2 via substituição u=1/yu = 1/y.

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §1.4 · Exercise 1.4.8 · p. 30
    Show solution
    Bernoulli com n=2n=2: substituição u=y−1u = y^{-1}, u′=−y−2y′u' = -y^{-2}y'. EDO em uu: u′−u=−xu' - u = -x. Linear: μ=e−x\mu = e^{-x}. (e−xu)′=−xe−x(e^{-x}u)' = -xe^{-x}. u=x+1+Cexu = x + 1 + Ce^x. y=1/(x+1+Cex)y = 1/(x+1+Ce^x).
  16. Ex. 100.16Application

    Resolva y′′=−y′y'' = -y'. (Dica: reduza a 1ª ordem fazendo v=y′v = y'.)

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §2.2 · Exercise 2.2.8 · p. 85
    Show solution
    Seja v=y′v = y'. Então v′=−vv' = -v. Linear separável: v=Ce−xv = Ce^{-x}. Integrando: y=−Ce−x+Dy = -Ce^{-x} + D, ou y=Ae−x+By = Ae^{-x} + B.
  17. Ex. 100.17Application

    Resolva y′′−6y′+9y=4e5xy'' - 6y' + 9y = 4e^{5x}.

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §2.5 · Exercise 2.5.6 · p. 99
    Show solution
    Char.: λ2−6λ+9=(λ−3)2=0\lambda^2 - 6\lambda + 9 = (\lambda-3)^2 = 0. Raiz dupla λ=3\lambda = 3. yh=(C1+C2x)e3xy_h = (C_1 + C_2 x)e^{3x}. Particular (chute yp=Ae5xy_p = Ae^{5x}): 25A−30A+9A=4⇒4A=4⇒A=125A - 30A + 9A = 4 \Rightarrow 4A = 4 \Rightarrow A = 1. y=(C1+C2x)e3x+e5xy = (C_1+C_2 x)e^{3x} + e^{5x}.
  18. Ex. 100.18Understanding

    Qual a técnica correta para resolver a equação logística P˙=rP(1−P/K)\dot P = rP(1 - P/K)?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 2 · §4.4 · Exercise 4.4.1 · p. 377
    Show solution
    A logística P˙=rP(1−P/K)\dot P = rP(1-P/K) é separável: dP/(P(1−P/K))=r dtdP/(P(1-P/K)) = r\,dt. Frações parciais resolvem a integral à esquerda. Não é linear (o produto P2/KP^2/K é não-linear). Tem solução analítica fechada.
  19. Ex. 100.19Understanding

    O discriminante Δ=b2−4ac>0\Delta = b^2 - 4ac > 0 com ambas as raízes negativas. Qual o comportamento da solução de ay′′+by′+cy=0ay'' + by' + cy = 0?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §2.4 · Exercise 2.4.4 · p. 92
    Show solution
    Se Δ=b2−4ac>0\Delta = b^2 - 4ac > 0 e ambas raízes negativas (λ1,λ2<0\lambda_1, \lambda_2 < 0), a solução y=C1eλ1x+C2eλ2xy = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x} decai para zero sem oscilar — amortecimento supercrítico. Parte real negativa garante estabilidade; raízes reais (sem parte imaginária) garantem ausência de oscilação.
  20. Ex. 100.20Understanding

    Compare a ordem de convergência do método de Euler e do RK4.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineREAMAT UFRGS — Cálculo Numérico · Cap. 8 · Exercício 8.3 · p. 152
    Show solution
    Euler avança com a derivada num único ponto (tangente); erro local O(h2)O(h^2), global O(h)O(h). RK4 usa média ponderada de quatro avaliações (Simpson-like); erro global O(h4)O(h^4). Para reduzir o erro à metade: Euler precisa dobrar o número de passos; RK4 precisa apenas 21/4≈1,192^{1/4} \approx 1{,}19 vezes mais passos.
  21. Ex. 100.21Application

    Corpo encontrado às 10h com temperatura de 33 °C. Sala a 20 °C, k=0,3k = 0{,}3 h⁻¹. Estime a hora da morte.

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §1.6 · Exercise 1.6.5 · p. 40
    Show solution
    Resfriamento forense: T0=37T_0 = 37 °C, Ta=20T_a = 20 °C, k=0,3k = 0{,}3 h⁻¹. Corpo encontrado às 10h com T=33T = 33 °C. 33=20+17e−0,3t⇒e−0,3t=13/17⇒t=ln⁡(17/13)/0,3≈0,893933 = 20 + 17e^{-0{,}3t} \Rightarrow e^{-0{,}3t} = 13/17 \Rightarrow t = \ln(17/13)/0{,}3 \approx 0{,}8939 h. Morte às 10−0,9≈9,110 - 0{,}9 \approx 9{,}1h, cerca de 09h06.
  22. Ex. 100.22Modeling

    Suspensão de moto: m=200m = 200 kg, k=30k = 30 kN/m, ζ=0,5\zeta = 0{,}5. Calcule frequência natural, coeficiente de amortecimento e classifique o regime.

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §2.4 · Exercise 2.4.7 · p. 94
    Show solution
    Moto com suspensão: m=200m = 200 kg, ks=30000k_s = 30000 N/m, ζ=0,5\zeta = 0{,}5. ω0=30000/200=150≈12,25\omega_0 = \sqrt{30000/200} = \sqrt{150} \approx 12{,}25 rad/s (1,95 Hz). c=2ζmk=2×0,5×6×106≈2449c = 2\zeta\sqrt{mk} = 2 \times 0{,}5 \times \sqrt{6 \times 10^6} \approx 2449 N·s/m. Subamortecido: ωd=ω01−0,25≈10,61\omega_d = \omega_0\sqrt{1-0{,}25} \approx 10{,}61 rad/s. Sem sobressinal.
  23. Ex. 100.23ModelingAnswer key

    Circuito RC com τ=RC=5\tau = RC = 5 ms, fonte de 5 V em degrau. Em que instante VC=4V_C = 4 V?

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §2.6 (RLC) · Exercise 2.6.4 · p. 106
    Show solution
    Carga RC: VC(t)=5(1−e−t/τ)V_C(t) = 5(1 - e^{-t/\tau}) com τ=5\tau = 5 ms. Para VC=4V_C = 4 V: 1−e−t/τ=0,8⇒e−t/τ=0,2⇒t=5ln⁡5≈8,051 - e^{-t/\tau} = 0{,}8 \Rightarrow e^{-t/\tau} = 0{,}2 \Rightarrow t = 5\ln 5 \approx 8{,}05 ms.
  24. Ex. 100.24Modeling

    Filtro RC passa-baixas, fc=1f_c = 1 kHz. Calcule a atenuação (em dB) em f=10f = 10 kHz.

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §2.6 (RLC) · Exercise 2.6.5 · p. 110
    Show solution
    Filtro RC passa-baixas: fc=1/(2πRC)=1f_c = 1/(2\pi RC) = 1 kHz. Atenuação em 10 kHz: ∣H∣=1/1+(f/fc)2=1/101≈0,0995|H| = 1/\sqrt{1+(f/f_c)^2} = 1/\sqrt{101} \approx 0{,}0995. Em dB: 20log⁡10(0,0995)≈−20,020\log_{10}(0{,}0995) \approx -20{,}0 dB (próximo de 20 dB/dec × 1 década).
  25. Ex. 100.25Modeling

    China: 1,4 bilhão em 2020, taxa de crescimento 0,4%/ano. Modelo de Malthus prediz a população em 2050.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 2 · §4.3 · Exercise 4.3.203 · p. 367
    Show solution
    Malthus: P(t)=1,4e0,004tP(t) = 1{,}4e^{0{,}004t} bilhões, com tt em anos a partir de 2020. Em 2050 (t=30t=30): P=1,4e0,12≈1,4×1,1275=1,579P = 1{,}4e^{0{,}12} \approx 1{,}4 \times 1{,}1275 = 1{,}579 bi.
  26. Ex. 100.26Modeling

    Mesmo dados do exercício anterior, mas usando o modelo logístico com K=1,6K = 1{,}6 bilhão. Compare com Malthus em 2050.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 2 · §4.4 · Exercise 4.4.203 · p. 381
    Show solution
    Logística: K=1,6K=1{,}6 bi, r=0,004r=0{,}004, P0=1,4P_0=1{,}4. A=(1,6−1,4)/1,4≈0,143A = (1{,}6-1{,}4)/1{,}4 \approx 0{,}143. P(30)=1,6/(1+0,143e−0,12)≈1,6/1,126≈1,422P(30) = 1{,}6/(1+0{,}143e^{-0{,}12}) \approx 1{,}6/1{,}126 \approx 1{,}422 bi. Diferença vs. Malthus: 1,579−1,422=0,1571{,}579 - 1{,}422 = 0{,}157 bi (157 milhões a menos). A capacidade de suporte freia o crescimento.
  27. Ex. 100.27Modeling

    Droga: C(0)=100C(0) = 100 mg/L, ke=0,2k_e = 0{,}2 h⁻¹. Em quanto tempo a concentração cai a 5 mg/L?

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 2 · §4.3 · Exercise 4.3.204 · p. 368
    Show solution
    Decaimento de droga: C(t)=100e−0,2tC(t) = 100e^{-0{,}2t} mg/L. Para C=5C = 5: e−0,2t=0,05⇒t=ln⁡(20)/0,2=5ln⁡20≈14,98e^{-0{,}2t} = 0{,}05 \Rightarrow t = \ln(20)/0{,}2 = 5\ln 20 \approx 14{,}98 h. Após ~15 horas.
  28. Ex. 100.28ModelingAnswer key

    Tanque com 100 L de água pura recebe 5 L/min de salmoura a 2 g/L; mistura perfeita sai a 5 L/min. Qual a quantidade de sal em 30 min?

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §1.4 · Exercise 1.4.6 · p. 29
    Show solution
    Tanque: volume constante 100 L. s˙=5×2−5×(s/100)=10−s/20\dot s = 5\times 2 - 5\times(s/100) = 10 - s/20. Linear: s(t)=200(1−e−t/20)s(t) = 200(1 - e^{-t/20}). Em 30 min: s=200(1−e−1,5)≈200×0,7769=155,4s = 200(1-e^{-1{,}5}) \approx 200\times 0{,}7769 = 155{,}4 g.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Taxa de entrada de sal: 5×2=105 \times 2 = 10 g/min.
    2. Concentração no tanque: s/100s/100 g/L. Taxa de saída: 5×s/100=s/205 \times s/100 = s/20 g/min.
    3. EDO: s˙=10−s/20\dot s = 10 - s/20. Linear com p=1/20p = 1/20.
    4. Solução com s(0)=0s(0) = 0: s(t)=200(1−e−t/20)s(t) = 200(1 - e^{-t/20}).
    5. s(30)=200(1−e−1,5)≈155s(30) = 200(1 - e^{-1{,}5}) \approx 155 g.
      6. Curiosidade: A concentração no equilíbrio (t→∞t \to \infty) é 200/100=2200/100 = 2 g/L — igual à concentração de entrada. O tanque sempre atingirá a concentração da fonte de entrada.
  29. Ex. 100.29ModelingAnswer key

    Investimento com aporte contínuo: S˙=0,05S+12000\dot S = 0{,}05 S + 12000, S(0)=0S(0) = 0. Qual o patrimônio em 30 anos?

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §1.4 · Exercise 1.4.5 · p. 28
    Show solution
    Investimento contínuo: S˙=rS+d\dot S = rS + d com r=0,05r=0{,}05, d=12000d=12000/ano. Equilíbrio instável em S∗=−d/r=−240000S^* = -d/r = -240000. Solução: S(t)=(S0+d/r)ert−d/rS(t) = (S_0 + d/r)e^{rt} - d/r. Com S0=0S_0 = 0: S(30)=240000(e1,5−1)≈240000×3,4817=835603S(30) = 240000(e^{1{,}5} - 1) \approx 240000 \times 3{,}4817 = 835603. Patrimônio: R$ 835 mil.
  30. Ex. 100.30Modeling

    Reator nuclear: N˙=(k−1)N/τ\dot N = (k-1)N/\tau, τ=10−3\tau = 10^{-3} s, k=1,001k = 1{,}001. Em quanto tempo a potência dobra?

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §1.3 · Exercise 1.3.9 · p. 22
    Show solution
    Reator nuclear: N˙=(k−1)N/τ\dot N = (k-1)N/\tau com k=1,001k=1{,}001, τ=10−3\tau = 10^{-3} s. N˙=N\dot N = N (taxa de crescimento efetiva: 1 s⁻¹). Separável: N=N0etN = N_0 e^{t}. Dobra quando et=2⇒t=ln⁡2≈0,693e^t = 2 \Rightarrow t = \ln 2 \approx 0{,}693 s. Menos de 1 segundo — por isso reatores nucleares precisam de barras de controle.
  31. Ex. 100.31ProofAnswer key

    Demonstre que a fórmula do fator integrante realmente resolve y′+p(x)y=q(x)y' + p(x)y = q(x). Mostre também a unicidade da solução dado um valor inicial.

    Lebl — Notes on Diffy Qs · §1.4 · Exercise 1.4.1 · p. 25
    Show solution
    Mostre por cálculo direto. A solução geral de y′+py=qy' + py = q com μ=e∫p\mu = e^{\int p} é y=1μ∫μq dx+C/μy = \frac{1}{\mu}\int \mu q\,dx + C/\mu. Derivando: y′=−pμ/(μ)∫μq+q=−py+qy' = -p\mu/(\mu)\int\mu q + q = -py + q. Portanto y′+py=qy' + py = q. Unicidade: se zz é outra solução, (y−z)′+p(y−z)=0(y-z)' + p(y-z) = 0; solução: y−z=Ce−∫py - z = C e^{-\int p}; unicidade segue de CI determinando CC.
  32. Ex. 100.32Proof

    Demonstre que eαxcos⁡βxe^{\alpha x}\cos\beta x e eαxsin⁡βxe^{\alpha x}\sin\beta x são linearmente independentes para β≠0\beta \neq 0, calculando o Wronskiano.

    Lebl — Notes on Diffy Qs · §2.2 · Exercise 2.2.9 · p. 84
    Show solution
    Wronskiano de eαxcos⁡βxe^{\alpha x}\cos\beta x e eαxsin⁡βxe^{\alpha x}\sin\beta x: calculado por determinante 2×22\times 2. W=eαxcos⁡βx⋅eαx(αsin⁡βx+βcos⁡βx)−eαxsin⁡βx⋅eαx(αcos⁡βx−βsin⁡βx)W = e^{\alpha x}\cos\beta x \cdot e^{\alpha x}(\alpha\sin\beta x + \beta\cos\beta x) - e^{\alpha x}\sin\beta x \cdot e^{\alpha x}(\alpha\cos\beta x - \beta\sin\beta x). Simplificando: W=βe2αx(cos⁡2βx+sin⁡2βx)=βe2αx≠0W = \beta e^{2\alpha x}(\cos^2\beta x + \sin^2\beta x) = \beta e^{2\alpha x} \neq 0 para β≠0\beta \neq 0. Logo linearmente independentes.
  33. Ex. 100.33Proof

    Demonstre que o método de Euler tem ordem de convergência global 1.

    REAMAT UFRGS — Cálculo Numérico · Cap. 8 · Exercício 8.2 · p. 150
    Show solution
    Erro local de Euler em [tn,tn+1][t_n, t_{n+1}]: por Taylor, y(tn+1)=y(tn)+hy′(tn)+h2y′′(ξ)/2y(t_{n+1}) = y(t_n) + h y'(t_n) + h^2 y''(\xi)/2. Euler calcula yn+1=yn+hf(tn,yn)y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n). Erro local: O(h2)O(h^2). Somando sobre N=T/hN = T/h passos: erro global ≤N⋅O(h2)=(T/h)O(h2)=O(h)\leq N \cdot O(h^2) = (T/h) O(h^2) = O(h). Euler é globalmente de 1ª ordem.
  34. Ex. 100.34Challenge

    Lotka-Volterra. x˙=x−0,5xy\dot x = x - 0{,}5xy, y˙=−0,5y+0,25xy\dot y = -0{,}5y + 0{,}25xy. Ache os equilíbrios, analise estabilidade via jacobiana, e estime o período de oscilação perto do equilíbrio não-trivial.

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §8.2 · Exercise 8.2.3 · p. 310
    Show solution
    Lotka-Volterra: x˙=x−0,5xy\dot x = x - 0{,}5xy, y˙=−0,5y+0,25xy\dot y = -0{,}5y + 0{,}25xy. Equilíbrios: (0,0) e (2,2)(2, 2). Em (2,2), jacobiana tem autovalores imaginários puros → órbitas fechadas. Integral primeira: 0,5ln⁡y−0,25y+0,5ln⁡x−x=C0{,}5\ln y - 0{,}25 y + 0{,}5\ln x - x = C. Não tem fórmula fechada para o período; Euler ou RK4 numérico mostra T≈2π/(rx)(ry)=2π/0,5×0,25≈17,8T \approx 2\pi/\sqrt{(r_x)(r_y)} = 2\pi/\sqrt{0{,}5 \times 0{,}25} \approx 17{,}8 unidades para condições próximas ao equilíbrio.
  35. Ex. 100.35Challenge

    Pêndulo grande. θ¨+sin⁡θ=0\ddot\theta + \sin\theta = 0, θ(0)=π/2\theta(0) = \pi/2, θ˙(0)=0\dot\theta(0) = 0. Expresse o período exato como integral elíptica e compare com a aproximação de pequeno ângulo.

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §8.2 · Exercise 8.2.6 · p. 312
    Show solution
    Pêndulo grande: θ¨+sin⁡θ=0\ddot\theta + \sin\theta = 0. Integral de energia: θ˙2/2−cos⁡θ=−cos⁡θ0\dot\theta^2/2 - \cos\theta = -\cos\theta_0 (com θ˙(0)=0\dot\theta(0)=0). Período: T=4∫0θ0dθ/2(cos⁡θ−cos⁡θ0)T = 4\int_0^{\theta_0} d\theta/\sqrt{2(\cos\theta - \cos\theta_0)}. Esta é a integral elíptica T=4K(sin⁡(θ0/2))T = 4K(\sin(\theta_0/2)) onde KK é a integral elíptica completa de 1ª espécie. Para θ0=π/2\theta_0 = \pi/2: T=4K(sin⁡π/4)=4K(1/2)≈4×1,8541=7,416T = 4K(\sin\pi/4) = 4K(1/\sqrt{2}) \approx 4 \times 1{,}8541 = 7{,}416 (s se g/l=1g/l=1), vs. 2π≈6,282\pi \approx 6{,}28 da aproximação pequeno ângulo.

Fontes

  • Lebl, Jiří. Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers. Versão 6.4. CC-BY-SA. jirka.org/diffyqs — §1.2–2.6, §8.2: fonte primária para EDOs de 1ª e 2ª ordem, sistemas dinâmicos e revisão integrada.
  • OpenStax. Calculus Volume 2. CC-BY-NC-SA. openstax.org/details/books/calculus-volume-2 — §4.3–4.5: separáveis, lineares, logística e resfriamento com exercícios de síntese.
  • REAMAT UFRGS. Cálculo Numérico (Python). CC-BY-SA. ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-py/main.html — Cap. 8: Euler, ordem de convergência, RK4 e estabilidade.

Updated on 2026-05-06 · Author(s): Clube da Matemática

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