v1 · padrão canônico

Lição 92 — EDOs separáveis

dy/dx = g(x)h(y). Separar variáveis e integrar dos dois lados. Aplicações: decaimento radioativo, resfriamento de Newton, crescimento logístico.

Used in: Spécialité Maths francesa (Terminale) · Math III japonês avançado · Leistungskurs Mathematik 12 alemão · H2 Mathematics singapurense

\frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y) \;\Rightarrow\; \int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx + C

Uma EDO separável é aquela em que as variáveis $x$ e $y$ se separam algebricamente em lados opostos da igualdade. Divide-se por $h(y)$ , multiplica-se por $dx$ , e integra-se cada lado independentemente. A constante de integração $C$ entra de um lado só.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa e método

Forma canônica e separabilidade

Definition· EDO separável de primeira ordem

Uma EDO de 1.ª ordem $\dfrac{dy}{dx} = F(x, y)$ é separável se $F$ se fatora como produto de uma função exclusiva de $x$ por uma função exclusiva de $y$ :

$\frac{dy}{dx} = g(x) \cdot h(y), \quad g : I \to \mathbb{R},\; h : J \to \mathbb{R}$

Método de resolução (assume-se $h(y) \neq 0$ ):

Reescreva: $\dfrac{dy}{h(y)} = g(x)\,dx$ .
Integre ambos os lados: $\displaystyle\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx + C$ .
Obtenha $H(y) = G(x) + C$ onde $H' = 1/h$ e $G' = g$ .
Resolva para $y$ (solução explícita) se possível; caso contrário, deixe na forma implícita $H(y) = G(x) + C$ .

"A separable equation is actually the first kind of differential equation that can be solved explicitly." — Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.3

Soluções singulares (equilíbrios)

Teorema de existência e unicidade (Picard-Lindelöf)

"Theorem 1.2.1. If $f(x,y)$ is continuous and $\partial f/\partial y$ is continuous near some $(x_0, y_0)$ , then a solution exists for $x$ near $x_0$ , and is unique." — Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.2

Campo de direções e análise qualitativa

Campo de direções de dy/dx = y. A isóclina horizontal dourada é o equilíbrio y* = 0. Para y > 0, as soluções crescem; para y < 0, decrescem — equilíbrio instável.

Critério de Osgood (existência global)

Exemplo: $\dot y = y^2$ , $y(0) = 1$ . $\displaystyle\int_1^\infty dy/y^2 = 1 < \infty$ — blow-up em $T = 1$ .

Exemplos resolvidos

Example— 1· Solução geral de dy/dx = ky (aplicacao)

Problema. Resolva $\dfrac{dy}{dx} = 3y$ .

Estratégia. A EDO é separável com $g(x) = 3$ e $h(y) = y$ . Separe, integre, exponencie.

Resolução.

$\frac{dy}{y} = 3\,dx$

$\int \frac{dy}{y} = \int 3\,dx + C \;\Rightarrow\; \ln|y| = 3x + C$

$|y| = e^{3x+C} = e^C\,e^{3x}.$

Escrevendo $A = \pm e^C$ (constante arbitrária real não-nula):

$y(x) = A e^{3x}, \quad A \in \mathbb{R}\setminus\{0\}.$

Verificar: $y = 0$ também resolve (solução constante, pois $h(0)=0$ ). Inclui-se $A = 0$ .

Verificação. $y' = 3A e^{3x} = 3y$ — confere.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.3, ex. 1.3.1 — CC-BY-SA.

Example— 2· PVI com condicao inicial — decaimento exponencial (aplicacao)

Problema. Resolva o PVI $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{2}$ , $y(0) = 4$ .

Estratégia. Separar variáveis, integrar, aplicar condição inicial para fixar $C$ .

Resolução.

$\frac{dy}{y} = -\frac{1}{2}\,dx \;\Rightarrow\; \ln|y| = -\frac{x}{2} + C \;\Rightarrow\; y = A\,e^{-x/2}.$

Condição inicial: $4 = A\,e^0 = A$ , logo $A = 4$ .

$y(x) = 4\,e^{-x/2}.$

Verificação. $y' = -2\,e^{-x/2} = -y/2$ e $y(0) = 4$ — correto.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §4.3, Example 4.15 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· EDO com fracoes parciais — crescimento logistico (intermediario)

Problema. Resolva $\dfrac{dP}{dt} = P(1 - P)$ , $P(0) = 0{,}1$ .

Estratégia. Separar e integrar usando frações parciais em $\dfrac{1}{P(1-P)}$ .

Resolução.

$\frac{dP}{P(1-P)} = dt.$

Frações parciais: $\dfrac{1}{P(1-P)} = \dfrac{1}{P} + \dfrac{1}{1-P}$ .

$\int\!\left(\frac{1}{P} + \frac{1}{1-P}\right)dP = \int dt + C$

$\ln P - \ln(1-P) = t + C \;\Rightarrow\; \ln\frac{P}{1-P} = t + C.$

Exponenciando: $\dfrac{P}{1-P} = e^{t+C} = A e^t$ .

Resolvendo: $P = \dfrac{A e^t}{1 + A e^t} = \dfrac{1}{1 + B e^{-t}}$ .

Condição inicial: $P(0) = 1/(1+B) = 0{,}1 \Rightarrow B = 9$ .

$P(t) = \frac{1}{1 + 9e^{-t}}.$

Verificação. $P(0) = 1/10 = 0{,}1$ e $P \to 1$ quando $t \to +\infty$ — comportamento logístico correto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.3, ex. 1.3.4 — CC-BY-SA.

Example— 4· Resfriamento de Newton — dados reais (intermediario/modelagem)

Problema. Um objeto a 90°C é colocado numa sala a 20°C. Após 5 min está a 70°C. Modele e determine quando atinge 30°C.

Estratégia. Lei de Newton do resfriamento: $\dot T = -k(T - T_a)$ . Separar e integrar em termos de $u = T - 20$ .

Resolução.

Seja $u = T - 20$ . Então $\dot u = \dot T = -ku$ , logo $u(t) = u_0 e^{-kt}$ .

Com $u_0 = 90 - 20 = 70$ : $u(t) = 70\,e^{-kt}$ .

Condição: $u(5) = 50$ :

$70 e^{-5k} = 50 \;\Rightarrow\; k = \frac{1}{5}\ln\!\frac{70}{50} = \frac{\ln(7/5)}{5} \approx 0{,}0673\,\mathrm{min}^{-1}.$

Para $T = 30 \Rightarrow u = 10$ :

$70\,e^{-kt} = 10 \;\Rightarrow\; t = \frac{\ln 7}{k} = \frac{5\ln 7}{\ln(7/5)} \approx 29{,}1\,\mathrm{min}.$

Verificação. $T(5) = 20 + 70\,e^{-5 \times 0{,}0673} \approx 70°$ C — confirma.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §4.3, Example 4.17 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Blow-up em tempo finito — y-ponto = y ao quadrado (avancado)

Problema. Resolva $\dfrac{dy}{dt} = y^2$ , $y(0) = 1$ . Mostre que a solução explode em tempo finito e determine o instante de blow-up.

Estratégia. Separar, integrar (potência $-2$ ), isolar $y$ , identificar a singularidade.

Resolução.

$\frac{dy}{y^2} = dt \;\Rightarrow\; \int y^{-2}\,dy = \int dt + C \;\Rightarrow\; -\frac{1}{y} = t + C.$

Logo $y(t) = \dfrac{-1}{t + C}$ .

Condição inicial: $y(0) = -1/C = 1 \Rightarrow C = -1$ .

$y(t) = \frac{1}{1-t}.$

A solução é definida em $(-\infty, 1)$ e satisfaz $y(t) \to +\infty$ quando $t \to 1^-$ : blow-up em $t = 1$ .

Verificação. $y' = 1/(1-t)^2 = y^2$ e $y(0) = 1$ — correto. O critério de Osgood confirma: $\int_1^\infty dy/y^2 = 1 < \infty$ .

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.3, ex. 1.3.6 — CC-BY-SA.

Exercise list

45 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 24Understanding 6Modeling 9Challenge 4Proof 2

Ex. 92.1Application
Resolva $\dfrac{dy}{dx} = 5y$ .
Solve online Lebl, Notes on Diffy Qs · §1.3 · ex. 1.3.1 · p. 32
Show solution
Separa: $\frac{dy}{y} = 5\,dx$ . Integra: $\ln|y| = 5x + C$ . Solução: $y = Ae^{5x}$ , $A \in \mathbb{R}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique $g(x)=5$ e $h(y)=y$ . Por quê: a EDO tem a forma produto $y' = g(x)h(y)$ .
2. Separe: $dy/y = 5\,dx$ . Por quê: divide por $h(y)=y$ e multiplica por $dx$ .
3. Integre: $\ln|y| = 5x + C$ . Por quê: $\int dy/y = \ln|y|$ .
4. Exponencie e absorva a constante: $y = Ae^{5x}$ . Por quê: $e^{C}$ e o sinal são absorvidos em $A \in \mathbb{R}$ .
Macete: $y' = ky$ tem sempre solução $y = Ae^{kx}$ — memorize esse padrão.
Ex. 92.2Application
Resolva o PVI $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{2}$ , $y(0) = 4$ .
OpenStax Calculus Vol. 2 · §4.3 · ex. 4.3.1 · p. 395
Show solution
Separa: $dy/y = -\tfrac{1}{2}dx$ . Integra: $y = Ae^{-x/2}$ . Com $y(0)=4$ : $A=4$ , logo $y(x)=4e^{-x/2}$ .
Ex. 92.3Application
Resolva $\dfrac{dy}{dx} = xy$ .
Solve online Lebl, Notes on Diffy Qs · §1.3 · ex. 1.3.2 · p. 33
Show solution
Separa: $dy/y = x\,dx$ . Integra: $\ln|y| = x^2/2 + C$ . Solução: $y = Ae^{x^2/2}$ .
Ex. 92.4Application
Resolva $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y}$ , $y(0) = 2$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §4.3 · ex. 4.3.3 · p. 396
Show solution
Separa: $y\,dy = x\,dx$ . Integra: $y^2/2 = x^2/2 + C$ . Com $y(0)=2$ : $C=2$ . Logo $y = \sqrt{x^2+4}$ (ramo positivo).
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique: $g(x)=x$ , $h(y)=1/y$ . Por quê: $dy/dx = x/y$ equivale a $y\,dy = x\,dx$ .
2. Integre: $y^2/2 = x^2/2 + C$ .
3. Condição inicial: $4/2 = 0 + C \Rightarrow C = 2$ .
4. Resolva: $y^2 = x^2 + 4 \Rightarrow y = \sqrt{x^2+4}$ (positivo pois $y(0)=2>0$ ).
Observação: a solução implícita $x^2 - y^2 = -4$ descreve uma hipérbole.
Ex. 92.5Application
Resolva $\dfrac{dy}{dx} = e^{x-y}$ .
Solve online Lebl, Notes on Diffy Qs · §1.3 · ex. 1.3.3 · p. 33
Show solution
Reescreva: $dy/dx = e^x/e^y$ . Separa: $e^y\,dy = e^x\,dx$ . Integra: $e^y = e^x + C$ . Logo $y = \ln(e^x + C)$ .
Ex. 92.6Application
Resolva $\dfrac{dy}{dx} = (1 + y^2)\cos x$ .
Solve online APEX Calculus · §8.1 · ex. 1 · p. 428
Show solution
Separa: $\frac{dy}{1+y^2} = \cos x\,dx$ . Integra: $\arctan y = \sin x + C$ . Logo $y = \tan(\sin x + C)$ .
Ex. 92.7Application
Resolva $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2}{y}$ , $y(1) = 2$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §4.3 · ex. 4.3.5 · p. 397
Show solution
Separa: $y\,dy = x^2\,dx$ . Integra: $y^2/2 = x^3/3 + C$ . Com $y(1)=2$ : $2 = 1/3 + C \Rightarrow C = 5/3$ . Portanto $y = \sqrt{2x^3/3 + 10/3}$ .
Ex. 92.8ApplicationAnswer key
Resolva $y' = y\sqrt{x}$ .
Solve online Lebl, Notes on Diffy Qs · §1.3 · ex. 1.3.5 · p. 34
Show solution
Separa: $dy/y = \sqrt{x}\,dx$ . Integra: $\ln|y| = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$ . Logo $y = Ae^{2x^{3/2}/3}$ .
Ex. 92.9Application
Resolva $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos x}{y}$ .
Solve online APEX Calculus · §8.1 · ex. 3 · p. 428
Show solution
Separa: $y\,dy = \cos x\,dx$ . Integra: $y^2/2 = \sin x + C$ . Logo $y = \pm\sqrt{2\sin x + C}$ .
Ex. 92.10ApplicationAnswer key
Resolva $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{e^{2x}}{y}$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §4.3 · ex. 4.3.7 · p. 398
Show solution
Separa: $y\,dy = e^{2x}\,dx$ . Integra: $y^2/2 = e^{2x}/2 + C$ . Logo $y = \pm\sqrt{e^{2x} + A}$ .
Ex. 92.11ApplicationAnswer key
Resolva $\dfrac{dy}{dx} = -2xy^2$ .
Solve online Lebl, Notes on Diffy Qs · §1.3 · ex. 1.3.7 · p. 34
Show solution
Separa: $dy/y^2 = -2x\,dx$ . Integra: $-1/y = -x^2 + C$ . Logo $y = \frac{1}{x^2 - C}$ . Verificar também $y\equiv 0$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Separe: $\frac{dy}{y^2} = -2x\,dx$ . Por quê: $h(y)=y^2$ , divide por ela.
2. Integre a esquerda: $\int y^{-2}\,dy = -y^{-1} = -1/y$ .
3. Integre a direita: $\int -2x\,dx = -x^2 + C$ .
4. Combine e isole: $y = 1/(x^2 - C)$ (renomeie $-C \to K$ se preferir).
Curiosidade: o denominador zera quando $x^2 = C$ — ponto de blow-up dependente da constante.
Ex. 92.12Application
Resolva $\dfrac{dy}{dx} = y^2 - 1$ via frações parciais.
Solve online APEX Calculus · §8.1 · ex. 5 · p. 429
Show solution
Frações parciais: $1/(y^2-1) = \tfrac{1}{2}(1/(y-1) - 1/(y+1))$ . Integra: $\tfrac{1}{2}\ln|y-1| - \tfrac{1}{2}\ln|y+1| = x + C$ . Logo $\bigl|\tfrac{y-1}{y+1}\bigr| = Ae^{2x}$ .
Ex. 92.13Application
Resolva $y' = (1-y)/x$ , $y(1) = 0$ .
Solve online Lebl, Notes on Diffy Qs · §1.3 · ex. 1.3.9 · p. 35
Show solution
Reescreva: $\frac{dy}{1-y} = \frac{dx}{x}$ . Integra: $-\ln|1-y| = \ln|x| + C$ . Logo $1-y = A/x$ . Com $y(1)=0$ : $A=1$ , portanto $y = 1 - 1/x$ .
Ex. 92.14Application
Verifique que $y = \dfrac{1}{1+e^{-x}}$ resolve $y' = y(1-y)$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §4.3 · ex. 4.3.9 · p. 399
Show solution
Calcula $y' = e^{-x}/(1+e^{-x})^2$ . Por outro lado, $y(1-y) = \tfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$ . Logo $y' = y(1-y)$ — verificado.
Ex. 92.15ApplicationAnswer key
Resolva $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x}{1+y^2}$ .
Solve online APEX Calculus · §8.1 · ex. 7 · p. 429
Show solution
Separa: $(1+y^2)\,dy = 2x\,dx$ . Integra: $y + y^3/3 = x^2 + C$ (forma implícita).
Ex. 92.16Application
Resolva $y'\sin x = y\cos x$ .
Solve online Lebl, Notes on Diffy Qs · §1.3 · ex. 1.3.11 · p. 35
Show solution
Reescreva: $dy/y = (\cos x/\sin x)\,dx = \cot x\,dx$ . Integra: $\ln|y| = \ln|\sin x| + C$ . Logo $y = A\sin x$ .
Ex. 92.17Application
Resolva $\dfrac{dy}{dx} = y\tan x$ , $y(0) = 1$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §4.3 · ex. 4.3.11 · p. 400
Show solution
Separa: $dy/y = \tan x\,dx$ . Integra: $\ln|y| = -\ln|\cos x| + C$ . Logo $y = A/\cos x = A\sec x$ . Com $y(0)=1$ : $A=1$ , portanto $y = \sec x$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Separe: $dy/y = \tan x\,dx$ .
2. Integre a direita: $\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C$ .
3. Integre a esquerda: $\ln|y|$ .
4. Exponencie: $|y| = e^{-\ln|\cos x|+C} = A/|\cos x|$ , logo $y = A\sec x$ .
5. CI: $y(0) = A\sec 0 = A = 1$ , portanto $y = \sec x$ .
Macete: $\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|$ — relembre sempre com a derivada de $\ln|\cos x|$ .
Ex. 92.18Application
Resolva $y'\,e^x = y$ .
Solve online Lebl, Notes on Diffy Qs · §1.3 · ex. 1.3.13 · p. 35
Show solution
Reescreva: $y'\,e^x = y \Rightarrow dy/y = e^{-x}\,dx$ . Integra: $\ln|y| = -e^{-x} + C$ . Logo $y = Ae^{-e^{-x}}$ .
Ex. 92.19Application
Resolva $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x^2}$ , $y(1) = e$ .
Solve online APEX Calculus · §8.1 · ex. 9 · p. 430
Show solution
Separa: $dy/y = dx/x^2$ . Integra: $\ln|y| = -1/x + C$ . Logo $y = Ae^{-1/x}$ . Com $y(1)=e$ : $A = e\cdot e^{1} = e^2$ ... Recalcule: $e = Ae^{-1}$ , logo $A = e^2$ . Portanto $y = e^{2-1/x}$ .
Ex. 92.20Application
Resolva $y' = \sqrt{1 - y^2}$ . Discuta o domínio e as soluções singulares.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §4.3 · ex. 4.3.13 · p. 401
Show solution
Separa: $dy/\sqrt{1-y^2} = dx$ . Integra: $\arcsin y = x + C$ . Logo $y = \sin(x+C)$ . Note que $|y|\leq 1$ restringe o domínio. Verificar também $y \equiv \pm 1$ (soluções singulares).
Ex. 92.21ModelingAnswer key
Decaimento radioativo: o ${}^{14}$ C tem meia-vida de 5730 anos. Que percentual resta após 10 000 anos?
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §4.3 · ex. 4.3.101 · p. 402
Show solution
Meia-vida $T_{1/2}=5730$ anos: $k = \ln 2/5730$ . Após 10 000 anos: $N = N_0 e^{-10000k} = N_0 \cdot 2^{-10000/5730} \approx 0{,}298\,N_0$ . Restam aproximadamente 29,8% da amostra original.
Show step-by-step (with the why)
1. Modelo: $\dot N = -kN$ , solução $N(t) = N_0 e^{-kt}$ .
2. Meia-vida: $N_0/2 = N_0 e^{-k\cdot 5730} \Rightarrow k = \ln 2/5730$ .
3. Avalie em $t = 10000$ : $N = N_0 e^{-(\ln 2/5730)\cdot 10000} = N_0 \cdot 2^{-10000/5730}$ .
4. Calcule: $2^{-1{,}745} \approx 0{,}298$ . Restam 29,8%.
Curiosidade: datação por carbono-14 é usada em arqueologia para datar materiais orgânicos com até 50 000 anos de antigüidade.
Ex. 92.22ModelingAnswer key
Capacitor RC em descarga: $V(0) = 12$ V, $R = 1\,\text{k}\Omega$ , $C = 100\,\mu\text{F}$ . Encontre $V(t)$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §4.3 · ex. 4.3.103 · p. 403
Show solution
$V(t) = V_0 e^{-t/(RC)}$ . Com $V_0=12$ V, $R=1000$ $\Omega$ , $C=10^{-4}$ F: $\tau = RC = 0{,}1$ s. Portanto $V(t) = 12\,e^{-10t}$ V.
Ex. 92.23Modeling
Tanque de 100 L com água pura recebe 5 L/min de salmoura a 10 g/L e drena 5 L/min. Qual a concentração após 30 min?
Solve online Lebl, Notes on Diffy Qs · §1.3 · ex. 1.3.101 · p. 36
Show solution
Modelo de mistura (volume constante): $\dot c = 5 \cdot 10/100 - 5c/100 = 0{,}5 - 0{,}05c$ . Solução: $c(t) = 10(1-e^{-t/20})$ g/L. Em $t=30$ : $c(30) = 10(1-e^{-1{,}5}) \approx 7{,}77$ g/L.
Show step-by-step (with the why)
1. Taxa de entrada: $5 \text{ L/min} \times 10 \text{ g/L} = 50$ g/min.
2. Taxa de saída: $5\,c$ g/min (concentração vezes fluxo).
3. EDO: $\dot c = (50 - 5c)/100 = 0{,}5 - 0{,}05c$ . Separe e integre.
4. Com $c(0)=0$ : $c(t) = 10(1-e^{-t/20})$ .
5. Em $t=30$ : $c = 10(1-e^{-1{,}5}) \approx 7{,}77$ g/L.
Observação: a concentração assintótica é 10 g/L — igual à entrada. Faz sentido físico.
Ex. 92.24Modeling
Colônia de bactérias dobra a cada 3 h. Quanto tempo para crescer 100 vezes?
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §4.3 · ex. 4.3.105 · p. 403
Show solution
Modelo: $P(t) = P_0 e^{rt}$ . Duplicação: $2P_0 = P_0 e^{3r} \Rightarrow r = \ln 2/3$ . Para $P = 100P_0$ : $t = \ln 100/r = 3\ln 100/\ln 2 \approx 19{,}9$ h.
Ex. 92.25Modeling
Resfriamento de Newton: café a 90°C numa sala a 20°C chega a 70°C em 5 min. Quando atinge 30°C?
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §4.3 · ex. 4.3.107 · p. 403
Show solution
$T(t) = 20 + 70e^{-kt}$ . De $T(5)=70$ : $k = \ln(7/5)/5$ . Para $T=30$ : $t = 5\ln 7/\ln(7/5) \approx 29{,}1$ min.
Ex. 92.26Modeling
Queda com resistência linear: $\dot v = g - kv$ , $v(0) = 0$ . Resolva e determine a velocidade terminal $v_\infty$ .
Solve online APEX Calculus · §8.1 · ex. 17 · p. 431
Show solution
EDO: $\dot v = g - kv$ . Separa: $dv/(g-kv) = dt$ . Integra: $-\ln|g-kv|/k = t + C$ . Logo $v(t) = g/k + (v_0 - g/k)e^{-kt}$ . Velocidade terminal: $v_\infty = g/k$ .
Show step-by-step (with the why)
1. A força resultante é $mg - kv$ ; dividindo por $m$ : $\dot v = g - kv$ ( $k$ absorve $m$ ).
2. Separe: $dv/(g-kv) = dt$ .
3. Integre: $-\tfrac{1}{k}\ln|g-kv| = t + C$ .
4. Isolando: $v(t) = g/k + Ae^{-kt}$ . Com $v(0)=0$ : $A = -g/k$ .
5. Terminal: $v_\infty = \lim_{t\to\infty} v(t) = g/k$ .
Macete: velocidade terminal é o equilíbrio $h(v^*)=0$ , i.e., $g-kv^*=0$ .
Ex. 92.27ModelingAnswer key
Concentração de droga: $\dot C = -0{,}1C$ , $C(0) = C_0$ . Em quanto tempo cai a 50% da dose inicial?
Solve online Lebl, Notes on Diffy Qs · §1.3 · ex. 1.3.103 · p. 37
Show solution
Modelo: $C(t) = C_0 e^{-0{,}1t}$ . Metade em $t = \ln 2/0{,}1 = 10\ln 2 \approx 6{,}93$ h.
Ex. 92.28Modeling
Investimento com juros contínuos a 5% a.a.: $\dot S = 0{,}05 S$ . Em quanto tempo dobra o capital?
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §4.3 · ex. 4.3.109 · p. 404
Show solution
Modelo: $\dot S = 0{,}05S \Rightarrow S(t) = S_0 e^{0{,}05t}$ . Dobra quando $e^{0{,}05t}=2 \Rightarrow t = \ln 2/0{,}05 = 20\ln 2 \approx 13{,}86$ anos.
Ex. 92.29UnderstandingAnswer key
Mostre que $y \equiv 0$ é solução de $y' = y^2$ . Ela pertence à família geral? Justifique.
Lebl, Notes on Diffy Qs · §1.3 · ex. 1.3.105 · p. 37
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$y \equiv 0$ resolve pois $0' = 0 = 0^2$ . A família geral é $y = 1/(C-x)$ ; nenhum valor de $C$ dá $y\equiv 0$ . Logo é solução **singular** — não está contida na família geral.
Ex. 92.30Understanding
Para $y' = y^{2/3}$ , $y(0) = 0$ , mostre que existem infinitas soluções. Por que falha a unicidade de Picard?
Solve online Lebl, Notes on Diffy Qs · §1.3 · ex. 1.3.107 · p. 38
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Picard-Lindelöf falha: $h(y)=y^{2/3}$ não é Lipschitz em $y=0$ pois $h'(y)=\tfrac{2}{3}y^{-1/3}\to\infty$ . Além de $y\equiv 0$ , a família $y=\bigl(\tfrac{x-a}{3}\bigr)^3$ para $x\geq a$ concatenada com $y=0$ para $x\leq a$ fornece infinitas soluções para cada $a\geq 0$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Tente separar: $y^{-2/3}\,dy = dx$ . Integra: $3y^{1/3} = x + C$ , i.e., $y=((x+C)/3)^3$ .
2. CI $y(0)=0$ : $C=0$ , logo $y=(x/3)^3$ é uma solução.
3. Mas $y\equiv 0$ também resolve. E costura-se: $y=0$ até $x=a$ e $y=((x-a)/3)^3$ depois, para qualquer $a\geq 0$ .
4. Conclusão: Lipschitz falha em $y=0$ — unicidade não garantida.
Curiosidade: este é o exemplo-padrão de EDO sem unicidade em toda disciplina de análise real.
Ex. 92.31UnderstandingAnswer key
Por que $\displaystyle\int \dfrac{dy}{y} = \ln|y| + C$ usa o valor absoluto?
Select the correct option
A) Porque ln(y) está definido apenas para y > 0, mas y pode ser negativo na solução.B) Porque o cálculo exige que o argumento do logaritmo seja negativo.C) Porque dy/y = d(ln y) somente vale no domínio complexo.D) Porque o módulo evita que ln exploda no infinito.
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Solve online Lebl, Notes on Diffy Qs · §1.3 · nota de rodapé §1.3 · p. 32
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A resposta correta é A. A primitiva de $1/y$ é $\ln|y|$ porque o logaritmo natural só está definido para argumento positivo, mas $y$ pode ser negativo. Em termos de domínio: se $y>0$ , $d(\ln y)/dy = 1/y$ ; se $y<0$ , $d(\ln(-y))/dy = 1/y$ . Ambos os casos são cobertos por $\ln|y|$ .
Ex. 92.32Understanding
Para $\dot y = y(1-y)$ , identifique os equilíbrios e classifique-os como estáveis ou instáveis.
Solve online APEX Calculus · §8.1 · ex. 21 · p. 432
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Equilíbrios: $h(y^*)=y^*(1-y^*)=0 \Rightarrow y^*=0$ e $y^*=1$ . Estabilidade: $h'(y)=1-2y$ . Em $y^*=0$ : $h'=1>0$ — instável. Em $y^*=1$ : $h'=-1<0$ — assintoticamente estável. Para $0<P<1$ , $\dot P>0$ : soluções crescem em direção a 1.
Show step-by-step (with the why)
1. Zeros de $h(y)=y(1-y)$ : $y^*=0$ e $y^*=1$ .
2. Sinal de $h$ : positivo em $(0,1)$ , negativo em $(1,\infty)$ .
3. Derivada: $h'(y)=1-2y$ . Em $y^*=0$ : $h'>0$ (equilíbrio instável). Em $y^*=1$ : $h'<0$ (estável).
4. Interpretação: qualquer solução com $P(0)\in(0,\infty)$ converge para $P=1$ (capacidade de suporte).
Observação: esse é o modelo logístico de Verhulst (1838), base de toda ecologia de populações.
Ex. 92.33Understanding
Qual das formas abaixo para $dy/dx = F(x,y)$ corresponde a uma EDO separável?
Select the correct option
A) g(x)h(y) — separável pela definição.B) (x + y)f(x) — pode ser separável se y não aparecer em h.C) sin(x+y) — separável pois sin é produto de senos e cossenos.D) y² + x — separável porque os termos podem ser isolados.
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §4.3 · ex. 4.3.201 · p. 393
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Apenas A satisfaz a definição de separável: $F(x,y)=g(x)h(y)$ , produto de função exclusivamente de $x$ por função exclusivamente de $y$ . Os demais não fatam dessa forma — B mistura $x$ e $y$ num produto, C não se fatora, D soma (não produto) de partes separadas.
Ex. 92.34Challenge
Resolva $y' = (x+y)^2$ via substituição $u = x+y$ .
Solve online Lebl, Notes on Diffy Qs · §1.3 · ex. 1.3.201 · p. 39
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Substituição $u = x+y$ : $u' = 1+y' = 1+u^2$ . Separa: $du/(1+u^2) = dx$ . Integra: $\arctan u = x + C$ . Portanto $u = \tan(x+C)$ , i.e., $y = \tan(x+C) - x$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Seja $u = x + y$ . Então $u' = 1 + y'$ .
2. Substitui na EDO $y' = u^2$ : $u' = 1 + u^2$ . Agora é separável!
3. Separa: $du/(1+u^2) = dx$ .
4. Integra: $\arctan u = x + C$ .
5. Reverte: $y = u - x = \tan(x+C) - x$ .
Macete: quando aparecer $y' = f(x+y)$ , a substituição $u = x+y$ sempre funciona.
Ex. 92.35Challenge
Mostre que $\dot y = y^2$ , $y(0) = y_0 > 0$ explode em tempo finito $T = 1/y_0$ . Confirme com o critério de Osgood.
Lebl, Notes on Diffy Qs · §1.3 · ex. 1.3.203 · p. 39
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Solução: $y(t) = 1/(C-t)$ . Com $y(0) = y_0 > 0$ : $C = 1/y_0$ . Blow-up em $T = 1/y_0$ . Critério de Osgood: $\int_{y_0}^\infty dy/y^2 = 1/y_0 < \infty$ — confirma.
Ex. 92.36Challenge
Equação de Bernoulli $y' + P(x)y = Q(x)y^n$ . Mostre que a substituição $u = y^{1-n}$ a transforma numa EDO linear.
Solve online APEX Calculus · §8.1 · ex. 23 · p. 433
Show solution
Substitua $u = y^{1-n}$ : $u' = (1-n)y^{-n}y'$ . Multiplique a EDO de Bernoulli por $(1-n)y^{-n}$ : $u' + (1-n)P(x)u = (1-n)Q(x)$ — linear em $u$ . Fator integrante: $\mu = e^{(1-n)\int P\,dx}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. EDO de Bernoulli: $y' + P(x)y = Q(x)y^n$ .
2. Seja $u = y^{1-n}$ . Então $u' = (1-n)y^{-n}y'$ .
3. Multiplique a EDO por $(1-n)y^{-n}$ : $(1-n)y^{-n}y' + (1-n)P(x)y^{1-n} = (1-n)Q(x)$ .
4. Reconheça: $u' + (1-n)P(x)u = (1-n)Q(x)$ — EDO linear de 1.ª ordem em $u$ .
Macete: Bernoulli é não-linear em $y$ mas linear em $u=y^{1-n}$ . A substituição "lineariza" o problema.
Ex. 92.37Proof
Esboce a prova do teorema de Picard-Lindelöf para $y' = f(x,y)$ , $y(x_0) = y_0$ , com $f$ contínua e Lipschitz em $y$ , via iteração de Picard.
Solve online Lebl, Notes on Diffy Qs · §1.2 · Theorem 1.2.1 · p. 28
Show solution
A iteração de Picard define $y_0 = y_0$ (constante) e $y_{n+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, y_n(t))\,dt$ . A continuidade de $f$ e a condição de Lipschitz em $y$ garantem que a sequência $\{y_n\}$ é de Cauchy em $C([x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon])$ pelo lema de Gronwall, logo converge para uma solução. Unicidade: se $y, z$ são soluções, $|y-z|$ satisfaz a inequação de Gronwall, que implica $y = z$ .
Ex. 92.38ProofAnswer key
Para $\dot y = h(y)$ com $h(y) > 0$ para todo $y \geq y_0$ , mostre que a solução é global se e somente se $\displaystyle\int_{y_0}^{+\infty} \dfrac{dy}{h(y)} = +\infty$ (critério de Osgood).
Solve online Lebl, Notes on Diffy Qs · §1.3 · ex. 1.3.205 · p. 38
Show solution
Separa e integra: $\int_{y_0}^{y(t)} dy/h(y) = t$ . Se $\int_{y_0}^{\infty} dy/h(y) = L < \infty$ , então $y(t) \to \infty$ quando $t \to L$ — blow-up em $T = L$ . Se $L = \infty$ , a solução nunca explode: solução global.
Ex. 92.39Application
Resolva $\dfrac{dy}{dx} = y^2 e^x$ .
Solve online APEX Calculus · §8.1 · ex. 11 · p. 430
Show solution
Separa: $dy/y^2 = e^x\,dx$ . Integra: $-1/y = e^x + C$ . Logo $y = -1/(e^x + C)$ . Verificar $y\equiv 0$ (solução singular).
Ex. 92.40Application
Resolva $\dfrac{dy}{dx} = y^2 - 4$ via frações parciais. Identifique as soluções singulares.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §4.3 · ex. 4.3.15 · p. 401
Show solution
Separa: $dy/(y^2-4) = dx$ . Frações parciais: $\tfrac{1}{y^2-4} = \tfrac{1}{4}(\tfrac{1}{y-2} - \tfrac{1}{y+2})$ . Integra: $\tfrac{1}{4}\ln|y-2|-\tfrac{1}{4}\ln|y+2| = x+C$ . Logo $\bigl|\tfrac{y-2}{y+2}\bigr| = Ae^{4x}$ . Verificar $y\equiv \pm 2$ .
Ex. 92.41Application
Resolva $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2}{1+y^2}$ .
Solve online Lebl, Notes on Diffy Qs · §1.3 · ex. 1.3.15 · p. 35
Show solution
Separa: $dy/(1+y^2) = x^2\,dx$ . Integra: $\arctan y = x^3/3 + C$ . Logo $y = \tan(x^3/3 + C)$ .
Ex. 92.42Application
Resolva $\dfrac{dy}{dx} = e^{-y}\sin x$ .
Solve online APEX Calculus · §8.1 · ex. 13 · p. 430
Show solution
Separa: $e^y\,dy = \sin x\,dx$ . Integra: $e^y = -\cos x + C$ . Logo $y = \ln(C - \cos x)$ (com $C > \cos x$ ).
Ex. 92.43Modeling
Crescimento logístico: $\dot P = 0{,}06\,P(1 - P/500)$ , $P(0) = 50$ . Quando a população atinge metade da capacidade de suporte?
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §4.3 · ex. 4.3.111 · p. 404
Show solution
Modelo: $\dot P = 0{,}06P(1-P/500)$ . Solução logística: $P(t) = 500/(1+Ae^{-0{,}06t})$ . Com $P(0)=50$ : $A=9$ . Para $P=250$ : $t = \ln 9/0{,}06 \approx 36{,}6$ anos.
Show step-by-step (with the why)
1. EDO logística: $\dot P = rP(1-P/K)$ com $r=0{,}06$ e $K=500$ .
2. Solução: $P(t) = K/(1+Ae^{-rt})$ .
3. CI: $50 = 500/(1+A) \Rightarrow A = 9$ .
4. Metade da capacidade: $250 = 500/(1+9e^{-0{,}06t}) \Rightarrow e^{-0{,}06t} = 1/9 \Rightarrow t = \ln 9/0{,}06$ .
Observação: o ponto de inflexão da logística ocorre exatamente em $P = K/2$ .
Ex. 92.44UnderstandingAnswer key
Analise qualitativamente $\dot y = y(2-y)$ sem resolver explicitamente: identifique equilíbrios, estabilidade e comportamento das soluções para diferentes condições iniciais.
Solve online APEX Calculus · §8.1 · ex. 19 · p. 432
Show solution
Campo de direções de $y' = y(2-y)$ : equilíbrios em $y^*=0$ (instável) e $y^*=2$ (estável). Para $0<y<2$ : soluções crescem. Para $y>2$ : soluções decrescem. Para $y<0$ : soluções decrescem para $-\infty$ . Todas as curvas com $y(0)>0$ convergem a $y=2$ .
Ex. 92.45Challenge
Para $\dot y = y^p$ com $y(0) = y_0 > 0$ , determine para quais valores de $p$ ocorre blow-up em tempo finito. Calcule $T$ nesse caso.
Solve online Lebl, Notes on Diffy Qs · §1.3 · ex. 1.3.207 · p. 40
Show solution
A lei de potência $h(y) = y^p$ dá blow-up quando $\int_1^\infty dy/y^p$ converge, i.e., quando $p>1$ . Para $0<p\leq 1$ : solução global. Para $p>1$ : blow-up em $T = 1/((p-1)y_0^{p-1})$ . Para $p=2$ (visto no Exemplo 5): $T=1/y_0$ .

Fontes

Lebl, Notes on Diffy Qs — Jiří Lebl · v6.6 · CC-BY-SA. §1.3 Separable equations; §1.2 Picard-Lindelöf. Fonte primária desta lição.
OpenStax Calculus Volume 2 — OpenStax · CC-BY-NC-SA. §4.3 Separable Equations. Exemplos de modelagem: Newton, mistura, bactérias, farmacocinética.
APEX Calculus — Hartman et al. · CC-BY-NC. §8.1 Graphical and Numerical Solutions, §8.1 Separable Differential Equations. Análise qualitativa, campo de direções, Bernoulli.