v1 · padrão canônico

Lição 93 — EDOs lineares de 1ª ordem

y' + p(x)y = q(x). Fator integrante e^{∫p}. Aplicações: circuito RC, mistura, conta bancária.

Used in: Spécialité Maths (France, Terminale) · Math III japonês (avançado) · Leistungskurs alemão

y' + p(x)\,y = q(x) \;\Longrightarrow\; y = e^{-\int p\,dx}\!\left[\int e^{\int p\,dx}\,q(x)\,dx + C\right]

EDO linear de 1ª ordem: o fator integrante $\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}$ transforma o lado esquerdo em derivada de produto $(\mu y)'$ . Integra-se dos dois lados e isola-se $y$ .

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Fator integrante — teoria completa

Forma canônica

"An equation of the form $y' + p(x)y = f(x)$ is called a first order linear differential equation." — Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.4

Por que funciona. Queremos que $\mu y' + \mu p y$ seja a derivada de um produto. Como $(\mu y)' = \mu' y + \mu y'$ , precisamos $\mu' = \mu p$ , ou seja $\mu'/\mu = p$ . Integrando: $\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}$ .

Estrutura homogênea + particular

Diagrama: solução de sistema RC

Resposta a degrau do circuito RC: $V_C \to V_s$ exponencialmente com constante de tempo $\tau = RC$ .

Exemplos resolvidos

Example— 1· EDO mais simples com CI

Problema. Resolva $y' + 2y = 6$ , $y(0) = 1$ .

Estratégia. Identificar $p = 2$ (constante), calcular $\mu$ , integrar.

Resolução.

$p = 2$ , $q = 6$ . Fator: $\mu = e^{2x}$ .

$(e^{2x} y)' = 6 e^{2x}$ .

$e^{2x} y = 3 e^{2x} + C \;\Rightarrow\; y = 3 + C e^{-2x}$ .

$y(0) = 1 \;\Rightarrow\; 1 = 3 + C \;\Rightarrow\; C = -2$ .

$y(x) = 3 - 2 e^{-2x}$

Verificação. $y' = 4 e^{-2x}$ . Então $y' + 2y = 4e^{-2x} + 6 - 4e^{-2x} = 6$ . $y(0) = 3 - 2 = 1$ . Correto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.4, Example 1.4.1 — CC-BY-SA.

Example— 2· Fator integrante com p variavel

Problema. Resolva $y' + 2xy = 4x$ , $y(0) = 5$ .

Estratégia. $p = 2x$ não é constante; $\mu = e^{x^2}$ .

Resolução.

$\mu = e^{\int 2x\,dx} = e^{x^2}$ .

$(e^{x^2} y)' = 4x e^{x^2}$ .

$e^{x^2} y = \int 4x e^{x^2}\,dx = 2e^{x^2} + C \;\Rightarrow\; y = 2 + Ce^{-x^2}$ .

$y(0) = 5 \;\Rightarrow\; C = 3$ .

$y(x) = 2 + 3e^{-x^2}$

Verificação. $y' = -6x e^{-x^2}$ . $y' + 2xy = -6xe^{-x^2} + 2x(2+3e^{-x^2}) = 4x$ . Correto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.4, Example 1.4.2 — CC-BY-SA.

Example— 3· EDO com coeficiente de y variavel (trigonometria)

Problema. Resolva $y' + y\tan x = \sec x$ .

Estratégia. $p = \tan x$ ; $\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|$ ; logo $\mu = \sec x$ .

Resolução.

$\mu = e^{-\ln|\cos x|} = \sec x$ .

$(\sec x\cdot y)' = \sec^2 x$ .

$y\sec x = \tan x + C \;\Rightarrow\; y = \sin x + C\cos x$ .

Verificação. $y' = \cos x - C\sin x$ . $y' + y\tan x = \cos x - C\sin x + (\sin x + C\cos x)\tan x = \cos x - C\sin x + \sin x \tan x + C\sin x = \cos x + \sin x\tan x = \cos x + \sin^2 x/\cos x = (cos^2 x + \sin^2 x)/\cos x = \sec x$ . Correto.

Fonte. Trench, Elementary Differential Equations, §2.1, Example 2.1.3 — aberto.

Example— 4· Circuito RC com fonte degrau

Problema. Circuito RC: $R = 2\,\text{k}\Omega$ , $C = 50\,\mu\text{F}$ , fonte $V_s = 12\,\text{V}$ (ligada em $t = 0$ ), $V_C(0) = 0$ . Encontre $V_C(t)$ e calcule $\tau$ .

Estratégia. A EDO do circuito RC é $\dot V_C + V_C/(RC) = V_s/(RC)$ . Identificar $p = 1/(RC)$ , $q = V_s/(RC)$ .

Resolução.

$\tau = RC = 2000 \times 50 \times 10^{-6} = 0{,}1\,\text{s}$ .

EDO: $\dot V_C + V_C/\tau = V_s/\tau$ .

$\mu = e^{t/\tau}$ . $(e^{t/\tau} V_C)' = (V_s/\tau)e^{t/\tau}$ .

$e^{t/\tau} V_C = V_s e^{t/\tau} + C \;\Rightarrow\; V_C = V_s + Ce^{-t/\tau}$ .

$V_C(0) = 0 \;\Rightarrow\; C = -V_s$ .

$V_C(t) = 12\bigl(1 - e^{-t/0{,}1}\bigr)\,\text{V}$

Em $t = \tau = 0{,}1\,\text{s}$ : $V_C \approx 12(1 - 1/e) \approx 7{,}58\,\text{V}$ (63% de 12 V). Em $5\tau = 0{,}5\,\text{s}$ : $V_C \approx 11{,}9\,\text{V}$ (99%).

Verificação. $\dot V_C = 12/0{,}1 \cdot e^{-10t} = 120 e^{-10t}$ . $\dot V_C + 10 V_C = 120 e^{-10t} + 120(1 - e^{-10t}) = 120 = V_s/\tau$ . Correto.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 2, §4.5, Example 4.29 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Mistura: tanque com sal

Problema. Tanque de 200 L contém inicialmente 50 g de sal dissolvido. Entra salmoura a 2 g/L na taxa de 4 L/min; sai mistura na mesma taxa. Quantidade de sal $Q(t)$ após 1 hora.

Estratégia. Balanço de massa: $\dot Q = \text{entrada} - \text{saída} = 4\cdot 2 - 4\cdot(Q/200)$ .

Resolução.

$\dot Q + Q/50 = 8$ , $Q(0) = 50$ .

$p = 1/50$ , $\mu = e^{t/50}$ .

$(e^{t/50} Q)' = 8 e^{t/50}$ .

$Q = 400 + Ce^{-t/50}$ .

$Q(0) = 50 \;\Rightarrow\; C = -350$ .

$Q(t) = 400 - 350\,e^{-t/50}\;\text{(g)}$

Em $t = 60\,\text{min}$ : $Q(60) = 400 - 350\,e^{-1{,}2} \approx 400 - 350 \times 0{,}3012 \approx 294{,}6\,\text{g}$ .

Verificação. $\dot Q = 7 e^{-t/50}$ . $\dot Q + Q/50 = 7e^{-t/50} + 8 - 7e^{-t/50} = 8$ . Correto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.5, Example 1.5.1 — CC-BY-SA.

Exercise list

36 exercises · 9 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 5Modeling 8Challenge 3Proof 2

Ex. 93.1Application
Resolva $y' + y = 0$ .
Solve online Notes on Diffy Qs · §1.4 · 1.4.1 · p. 42
Show solution
Fator integrante $\mu = e^{x}$ . $(e^x y)' = 0$ , logo $y = Ce^{-x}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. A EDO é $y' + y = 0$ , homogênea. Forma canônica: $p = 1$ , $q = 0$ .
2. Fator integrante: $\mu = e^{\int 1\,dx} = e^x$ .
3. Multiplique: $(e^x y)' = e^x \cdot 0 = 0$ .
4. Integre: $e^x y = C$ , logo $y = Ce^{-x}$ .
Macete: EDO homogênea com $p$ constante: resposta é sempre $Ce^{-px}$ .
Ex. 93.2ApplicationAnswer key
Resolva $y' + 2y = 6$ , $y(0) = 1$ .
Solve online Notes on Diffy Qs · §1.4 · 1.4.2 · p. 43
Show solution
$y = 3 - 2e^{-2x}$ . Solução estacionária $y_p = 3$ , transitório $y_h = Ce^{-2x}$ . CI dá $C = -2$ .
Ex. 93.3ApplicationAnswer key
Resolva $y' + 3y = e^{-x}$ .
Solve online Notes on Diffy Qs · §1.4 · 1.4.3 · p. 43
Show solution
Fator $\mu = e^{3x}$ . $(e^{3x}y)' = e^{2x}$ . Logo $y = \tfrac{1}{2}e^{-x} + Ce^{-3x}$ .
Ex. 93.4Application
Resolva $y' - y = e^{2x}$ , $y(0) = 0$ .
Solve online Notes on Diffy Qs · §1.4 · 1.4.4 · p. 43
Show solution
Fator $\mu = e^{-x}$ . $(e^{-x}y)' = e^x$ . $y = e^{2x} + Ce^x$ . CI: $y = e^{2x} - e^x$ .
Ex. 93.5ApplicationAnswer key
Resolva $y' + 2xy = x$ .
Solve online Notes on Diffy Qs · §1.4 · 1.4.5 · p. 43
Show solution
Fator $\mu = e^{x^2}$ . $(e^{x^2}y)' = xe^{x^2}$ . $y = \tfrac{1}{2} + Ce^{-x^2}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. $p = 2x$ , $q = x$ . Fator: $\mu = e^{x^2}$ .
2. $(e^{x^2}y)' = xe^{x^2}$ .
3. Integre: $e^{x^2}y = \tfrac{1}{2}e^{x^2} + C$ .
4. $y = \tfrac{1}{2} + Ce^{-x^2}$ .
Observação: A solução estacionária é $y_p = 1/2$ (valor para o qual $y' = 0$ , ou seja, $2x \cdot (1/2) = x$ ).
Ex. 93.6Application
Resolva $y' + \frac{1}{x}\,y = 1$ , $y(1) = 0$ .
Solve online Notes on Diffy Qs · §1.4 · 1.4.101 · p. 44
Show solution
Divida por $x$ : $y' + y/x = 1$ . Fator $\mu = x$ . $(xy)' = x$ . $y = x/2 + C/x$ . CI $y(1)=0 \Rightarrow C = -1/2$ . Logo $y = (x^2-1)/(2x)$ .
Ex. 93.7Application
Resolva $x y' + 2y = x^3$ .
Solve online Notes on Diffy Qs · §1.4 · 1.4.102 · p. 44
Show solution
Divida por $x$ : $y' + 2y/x = x^2$ . Fator $\mu = x^2$ . $(x^2 y)' = x^4$ . $y = x^3/5 + C/x^2$ .
Ex. 93.8Application
Resolva $y' - y\sin x = \sin x$ .
Solve online Trench, Elementary Differential Equations · §2.1 · 2.1.5 · p. 38
Show solution
Fator $\mu = e^{-\cos x}$ . Integre: $y = -\cos x + 1 + Ce^{\cos x}$ (com ajuste de sinal). Alternativamente $y = 1 + Ce^{\cos x}$ . Confira por substituição direta.
Ex. 93.9Application
Resolva $y' + y\cot x = 2\cos x$ .
Solve online Trench, Elementary Differential Equations · §2.1 · 2.1.6 · p. 38
Show solution
Fator $\mu = e^{\int \cot x\,dx} = \sin x$ . $(\sin x \cdot y)' = 2\cos x \sin x = \sin 2x$ . $y = -\cos 2x/(2\sin x) + C/\sin x$ .
Ex. 93.10ApplicationAnswer key
Resolva $y' - 2xy = x$ , $y(0) = 1$ .
Solve online Notes on Diffy Qs · §1.4 · 1.4.103 · p. 44
Show solution
Fator $\mu = e^{-x^2}$ . $(e^{-x^2}y)' = xe^{-x^2}$ . $y = -1/2 + Ce^{x^2}$ . CI: $C = 3/2$ . $y = \tfrac{3}{2}e^{x^2} - \tfrac{1}{2}$ .
Ex. 93.11ApplicationAnswer key
Resolva $y' + 4y = 8$ e indique o regime estacionário.
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · 255 · p. 376
Show solution
Solução geral: $y = 2 + Ce^{-4x}$ . Regime estacionário (permanente): $y_p = 2$ (quando $t \to \infty$ ).
Ex. 93.12Application
Resolva $y' + y = \sin x$ .
Solve online Notes on Diffy Qs · §1.4 · 1.4.6 · p. 43
Show solution
Fator $\mu = e^x$ . $(e^x y)' = e^x \sin x$ . Integração por partes: $e^x y = \tfrac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C$ . Logo $y = \tfrac{1}{2}(\sin x - \cos x) + Ce^{-x}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. $p = 1$ , fator $\mu = e^x$ .
2. $(e^x y)' = e^x \sin x$ .
3. Integração por partes em $\int e^x \sin x\,dx$ : use tabela ou fórmula $\int e^{ax}\sin bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2+b^2}$ . Com $a = b = 1$ : resultado $= \tfrac{e^x}{2}(\sin x - \cos x)$ .
4. $y = \tfrac{1}{2}(\sin x - \cos x) + Ce^{-x}$ .
Macete: $\int e^x \sin x\,dx$ requer integrar por partes duas vezes e resolver para a integral.
Ex. 93.13Application
Resolva $y' - 3y = 6e^{3x}$ .
Solve online Notes on Diffy Qs · §1.4 · 1.4.7 · p. 43
Show solution
Fator $\mu = e^{-3x}$ . $(e^{-3x}y)' = 6$ . $y = 6xe^{3x} + Ce^{3x}$ .
Ex. 93.14ApplicationAnswer key
Resolva $y' + \frac{2}{x}\,y = x^2$ .
Solve online Trench, Elementary Differential Equations · §2.1 · 2.1.10 · p. 38
Show solution
Fator $\mu = x^2$ (pois $\int 2/x\,dx = 2\ln x$ ). $(x^2 y)' = x^4$ . $y = x^3/5 + C/x^2$ .
Ex. 93.15Application
Resolva $y' + y\cos x = \cos x$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · 258 · p. 376
Show solution
Fator $\mu = e^{\sin x}$ . $(e^{\sin x}y)' = \cos x\,e^{\sin x}$ . $e^{\sin x}y = e^{\sin x} + C$ . Logo $y = 1 + Ce^{-\sin x}$ .
Ex. 93.16Application
Resolva $(1+x^2)y' + 2xy = 4x$ , $y(0) = 0$ .
Solve online Notes on Diffy Qs · §1.4 · 1.4.104 · p. 44
Show solution
Divida por $(1+x^2)$ : $y' + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{4x}{1+x^2}$ . Fator: $\mu = 1+x^2$ . $((1+x^2)y)' = 4x$ . $y = \frac{2x^2+C}{1+x^2}$ . CI: $C = 0$ . $y = 2x^2/(1+x^2)$ .
Ex. 93.17Understanding
$y = e^{-x}$ resolve $y' + y = 0$ ?
Select the correct option
Sim, pois y' = -e^{-x} e -e^{-x} + e^{-x} = 0Não, pois a EDO é não-homogêneaSim, mas apenas para x ≥ 0Não, y = e^{-x} resolve y' - y = 0, não y' + y = 0
Select an option first
Solve online Notes on Diffy Qs · §1.4 · verificação · p. 42
Show solution
Calcule $y' = -e^{-x}$ . Substitua: $y' + y = -e^{-x} + e^{-x} = 0$ . Confirmado.
Ex. 93.18Application
Resolva $y' = 2y + 4$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · 253 · p. 376
Show solution
Reescreva: $y' - 2y = 4$ . Fator $\mu = e^{-2x}$ . $(e^{-2x}y)' = 4e^{-2x}$ . $y = -2 + Ce^{2x}$ .
Ex. 93.19Understanding
Encontre $\mu(x)$ para $y' + (\sin x)y = \cos x$ e discuta se a solução tem forma fechada.
Solve online Notes on Diffy Qs · §1.4 · 1.4.8 · p. 43
Show solution
$p = \sin x$ . Fator: $\mu = e^{\int \sin x\,dx} = e^{-\cos x}$ . Não existe forma fechada simples para $\int e^{-\cos x}\cos x\,dx$ — o fator integrante existe, mas a solução completa requer integração numérica.
Ex. 93.20Application
Resolva $y' + 2y = t^2$ (variável independente $t$ ).
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · 256 · p. 376
Show solution
Fator $\mu = e^{2t}$ . $(e^{2t}y)' = t^2 e^{2t}$ . Integração por partes: $y = \tfrac{1}{2}t^2 - \tfrac{1}{2}t + \tfrac{1}{4} + Ce^{-2t}$ .
Ex. 93.21Modeling
Circuito RC: $R = 2\,\text{k}\Omega$ , $C = 50\,\mu\text{F}$ , $V_s = 12\,\text{V}$ (degrau em $t = 0$ ), $V_C(0) = 0$ . Encontre $V_C(t)$ e $\tau$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · exemplo 4.29 · p. 375
Show solution
$\tau = RC = 2000 \times 50 \times 10^{-6} = 0{,}1\,\text{s}$ . $V_C(t) = 12(1 - e^{-10t})\,\text{V}$ . Em $t = \tau$ : $V_C \approx 7{,}58\,\text{V}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. EDO do circuito RC: $RC\,\dot V_C + V_C = V_s$ , ou seja $\dot V_C + V_C/\tau = V_s/\tau$ .
2. $\tau = 2000 \cdot 50 \times 10^{-6} = 0{,}1\,\text{s}$ .
3. Fator $\mu = e^{t/\tau}$ . $(e^{t/\tau}V_C)' = (V_s/\tau)e^{t/\tau}$ .
4. $V_C = V_s + Ce^{-t/\tau}$ . CI: $V_C(0) = 0 \Rightarrow C = -V_s$ .
5. $V_C(t) = 12(1 - e^{-10t})$ V.
Curiosidade: Em exatamente $t = RC$ , o capacitor atingiu 63% da tensão final — definição de constante de tempo em circuitos.
Ex. 93.22Modeling
Circuito RL: $L = 0{,}5\,\text{H}$ , $R = 10\,\Omega$ , $V = 5\,\text{V}$ , $i(0) = 0$ . Encontre $i(t)$ e $\tau = L/R$ .
Solve online Notes on Diffy Qs · §1.5 · 1.5.4 · p. 48
Show solution
EDO: $L\,di/dt + Ri = V$ . $\tau = L/R = 0{,}05\,\text{s}$ . $i(t) = 0{,}5(1 - e^{-20t})\,\text{A}$ .
Ex. 93.23ModelingAnswer key
Reator CSTR: vazão $Q = 2\,\text{L/min}$ , volume $V = 100\,\text{L}$ , concentração de entrada $c_{in} = 5\,\text{g/L}$ , $c(0) = 0$ . Encontre $c(t)$ .
Solve online Notes on Diffy Qs · §1.5 · 1.5.3 · p. 48
Show solution
EDO: $\dot c + (Q/V)c = (Q/V)c_{in}$ , com $Q/V = 2/100 = 0{,}02$ . $c(t) = 5(1 - e^{-0{,}02t})$ g/L.
Ex. 93.24Modeling
Termômetro a $20\,\text{°C}$ imerso em água a $80\,\text{°C}$ . Constante de tempo $\tau = 30\,\text{s}$ . Quando marca $70\,\text{°C}$ ?
Solve online Notes on Diffy Qs · §1.3 · 1.3.4 · p. 35
Show solution
Lei de Newton de resfriamento: $\dot T + T/\tau = T_{amb}/\tau$ . $T(t) = 80 - 60e^{-t/30}$ °C. Para $T = 70$ : $e^{-t/30} = 1/6$ , $t = 30\ln 6 \approx 53{,}7$ s.
Show step-by-step (with the why)
1. Lei de resfriamento: $\dot T = -(T - T_{amb})/\tau$ , $T_{amb} = 80$ , $\tau = 30$ s.
2. Solução geral: $T = 80 + Ce^{-t/30}$ .
3. CI: $T(0) = 20 \Rightarrow C = -60$ . Logo $T = 80 - 60e^{-t/30}$ .
4. Para $T = 70$ : $70 = 80 - 60e^{-t/30} \Rightarrow e^{-t/30} = 1/6 \Rightarrow t = 30\ln 6 \approx 53{,}7$ s.
Macete: O termômetro lê 70°C antes de 1 minuto — sistemas térmicos com $\tau$ pequeno respondem rápido.
Ex. 93.25Modeling
Conta corrente: saldo inicial nulo, rende $r = 5\%$ ao ano (contínuo) e recebe aporte contínuo de R$ 12 000/ano. Calcule o saldo após 10 anos.
Solve online Notes on Diffy Qs · §1.3 · 1.3.2 · p. 34
Show solution
EDO: $\dot S - rS = d$ com $r = 0{,}05$ , $d = 12000$ . Solução: $S(t) = \frac{d}{r}(e^{rt} - 1)$ . Em $t = 10$ : $S \approx 240\ 000 \cdot (e^{0{,}5} - 1) \appro \text{R\$}\;155\,262$ .
Ex. 93.26Modeling
Aquecedor: $\dot T = -k(T - T_{\text{amb}}) + P/C$ , com $k = 0{,}1\,\text{min}^{-1}$ , $T_{\text{amb}} = 20\,\text{°C}$ , $P/C = 5\,\text{°C/min}$ , $T(0) = 20\,\text{°C}$ . Calcule $T_\infty$ e o tempo para atingir 90% de $T_\infty$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.5 · 267 · p. 377
Show solution
EDO: $\dot T + kT = kT_{amb} + P/C$ . Equilíbrio: $T_\infty = T_{amb} + P/(kC) = 20 + 50 = 70$ °C. 90% disso: $T = 63$ °C. Tempo: $t = -\ln(0{,}1)/k = \ln(10)/0{,}1 \approx 23$ min.
Ex. 93.27ModelingAnswer key
Filtro RC passa-baixas com entrada $u(t) = \sin(\omega t)$ . Calcule a amplitude da resposta estacionária para $\omega\tau = 0{,}1$ , $\omega\tau = 1$ e $\omega\tau = 10$ .
Solve online Notes on Diffy Qs · §1.4 · 1.4.105 · p. 45
Show solution
Amplitude: $A = 1/\sqrt{1+\omega^2\tau^2}$ . Para $\omega\tau = 0{,}1$ : $A \approx 0{,}995$ . Para $\omega\tau = 1$ : $A = 1/\sqrt{2} \approx 0{,}707$ . Para $\omega\tau = 10$ : $A \approx 0{,}0995$ . Atenuação crescente — filtro passa-baixas.
Ex. 93.28ModelingAnswer key
Tanque de 200 L contém 50 g de sal. Entra salmoura a 2 g/L a 4 L/min; sai mistura a 4 L/min. Quantidade de sal após 1 hora.
Solve online Notes on Diffy Qs · §1.5 · 1.5.2 · p. 48
Show solution
EDO: $\dot Q + Q/50 = 8$ , $Q(0) = 50$ . Solução: $Q = 400 - 350e^{-t/50}$ . Em $t = 60$ : $Q(60) \approx 294{,}6$ g.
Show step-by-step (with the why)
1. Taxa de entrada de sal: $4 \cdot 2 = 8$ g/min.
2. Taxa de saída: $4 \cdot (Q/200) = Q/50$ g/min.
3. EDO: $\dot Q + Q/50 = 8$ .
4. Fator $\mu = e^{t/50}$ . Solução: $Q = 400 + Ce^{-t/50}$ .
5. CI: $C = 50 - 400 = -350$ .
6. $Q(60) = 400 - 350e^{-1{,}2} \approx 294{,}6$ g.
Curiosidade: A longo prazo, $Q \to 400$ g (concentração de equilíbrio = 2 g/L × 200 L).
Ex. 93.29Understanding
Mostre que, se $p$ e $q$ são contínuas em $I$ , o PVI $y' + p\,y = q$ , $y(x_0) = y_0$ tem solução única.
Trench, Elementary Differential Equations · §2.1 · teorema 2.1.1 · p. 37
Show solution
Supor $y_1, y_2$ duas soluções com mesma CI. Então $(y_1 - y_2)' + p(y_1 - y_2) = 0$ e $(y_1 - y_2)(x_0) = 0$ . A homogênea com CI zero tem solução única $y = 0$ . Logo $y_1 = y_2$ .
Ex. 93.30Understanding
O fator integrante é único a menos de constante multiplicativa — isso afeta a solução final?
Select the correct option
Sim, qualquer constante cancela ao dividir μy pelo próprio μNão, constantes diferentes geram soluções distintasSim, mas apenas se p for constanteNão, μ precisa ser normalizado por μ(x₀) = 1
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Solve online Notes on Diffy Qs · §1.4 · observação · p. 42
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Se $\mu_1 = e^{\int p\,dx}$ e $\mu_2 = k\mu_1$ , então $\mu_2 y = k\mu_1 y$ e dividir por $\mu_2$ dá o mesmo $y$ . A constante multiplicativa cancela.
Ex. 93.31Understanding
Enuncie o princípio da superposição para $\mathcal{L}y = y' + p\,y$ .
Solve online Trench, Elementary Differential Equations · §2.1 · observação 2.1.2 · p. 36
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Se $y_1$ resolve $\mathcal{L}y = q_1$ e $y_2$ resolve $\mathcal{L}y = q_2$ , então pela linearidade de $\mathcal{L}$ : $\mathcal{L}(\alpha y_1 + \beta y_2) = \alpha q_1 + \beta q_2$ .
Ex. 93.32Challenge
Equação de Bernoulli: $y' + y = y^2$ . Faça $u = 1/y$ para linearizar e resolva.
Solve online Notes on Diffy Qs · §1.4 (Bernoulli) · 1.4.9 · p. 46
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Substitua $u = 1/y$ , $u' = -y'/y^2$ . A EDO de Bernoulli $y' + py = qy^n$ vira $u' + (1-n)pu = -(1-n)q$ — linear em $u$ . Para $y' + y = y^2$ ( $n=2$ ): $u' - u = -1$ . Fator $e^{-x}$ : $u = 1 + Ce^x$ , logo $y = 1/(1+Ce^x)$ .
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1. EDO de Bernoulli com $n = 2$ : $y' + y = y^2$ .
2. Divida por $y^2$ : $y^{-2}y' + y^{-1} = 1$ .
3. Seja $u = y^{-1}$ , $u' = -y^{-2}y'$ . A equação vira $-u' + u = 1$ , ou seja $u' - u = -1$ .
4. Fator $\mu = e^{-x}$ . $(e^{-x}u)' = -e^{-x}$ . $u = 1 + Ce^x$ .
5. $y = 1/(1 + Ce^x)$ .
Macete: A solução $y = 0$ se perde na divisão por $y^2$ — é chamada solução singular de Bernoulli.
Ex. 93.33Challenge
Resolva $y' + y\tan x = \sec x$ via variação de parâmetros e confirme que o resultado coincide com o do fator integrante.
Solve online Trench, Elementary Differential Equations · §2.1 · 2.1.15 · p. 39
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Variação de parâmetros para $y' + \tan x \cdot y = \sec x$ . Solução homogênea: $y_h = C\cos x$ . Assuma $y = v(x)\cos x$ . Substitua: $v'\cos x = \sec x \Rightarrow v' = \sec^2 x \Rightarrow v = \tan x + C$ . Logo $y = \sin x + C\cos x$ (mesmo resultado do fator integrante).
Ex. 93.34Challenge
Equação de Riccati: $y' = y^2 - 2xy + x^2 - 1$ . Verifique que $y_1 = x + 1$ é solução particular e use a substituição $y = x + 1 + 1/v$ para reduzir a uma linear em $v$ .
Solve online Trench, Elementary Differential Equations · §2.4 · 2.4.8 · p. 82
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Equação de Riccati. Solução particular: $y_1 = x$ (verificação: $1 = x^2 - 2x^2 + x^2 - 1 + 1 = 1$ ? Não, verifique: $y_1' = 1$ , $y_1^2 - 2xy_1 + x^2 - 1 = x^2 - 2x^2 + x^2 - 1 = -1 \neq 1$ . A solução particular é $y_1 = x+1$ . Substitua $y = x+1+1/v$ : lineariza em $v$ .
Ex. 93.35Proof
Demonstre rigorosamente que $\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}$ transforma $y' + py = q$ em $(\mu y)' = \mu q$ e deduza a fórmula de solução geral.
Notes on Diffy Qs · §1.4 · demonstração do método · p. 41
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Defina $\mu = e^{\int p\,dx}$ . Então $\mu' = \mu p$ . Compute: $(\mu y)' = \mu' y + \mu y' = \mu p y + \mu y' = \mu(y' + py)$ . Se $y' + py = q$ , então $(\mu y)' = \mu q$ . Integrando: $\mu y = \int \mu q\,dx + C$ . Logo $y = \mu^{-1}(\int \mu q\,dx + C)$ . Unicidade segue da injetividade da operação.
Ex. 93.36Proof
Demonstre que $y(x) = \int_{x_0}^{x} G(x,s)\,q(s)\,ds$ , com $G(x,s) = e^{-\int_s^x p(t)\,dt}$ , resolve $y' + py = q$ , $y(x_0) = 0$ .
Trench, Elementary Differential Equations · §2.1 · apêndice — função de Green · p. 40
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A função de Green $G(x,s) = e^{-\int_s^x p(t)\,dt}$ satisfaz $G_x + pG = 0$ para $x \neq s$ e $G(s,s) = 1$ . A solução $y(x) = \int_{x_0}^x G(x,s)q(s)\,ds$ tem $y(x_0) = 0$ e satisfaz a EDO (diferencia sob o integral + condição de salto de $G$ ).

Fontes

Notes on Diffy Qs — Jiří Lebl · v6.6 · §1.4–1.5 · EN · CC-BY-SA. Fonte primária.
Calculus Volume 2 — OpenStax · §4.5 · EN · CC-BY-NC-SA.
Elementary Differential Equations — William F. Trench · §2.1, §2.4 · EN · aberto.

Fator integrante — teoria completa

Forma canônica

Método do fator integrante

Estrutura homogênea + particular

Diagrama: solução de sistema RC

Exemplos resolvidos

Fontes