v1 · padrão canônico

Lição 95 — EDOs lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes

ay'' + by' + cy = 0. Equação característica e três regimes: raízes reais distintas, real dupla, complexas conjugadas.

Used in: Spécialité Maths (France, Terminale) · Math III japonês (avançado) · Leistungskurs alemão Klasse 12

ay'' + by' + cy = 0 \;\Longrightarrow\; a\lambda^2 + b\lambda + c = 0

A substituição $y = e^{\lambda x}$ transforma a EDO num problema algébrico: a equação característica $a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$ . Os três casos pelo discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ geram soluções qualitativamente distintas.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Equacao caracteristica — tres casos

Problema geral

Ansatz e equação característica

Substitua $y = e^{\lambda x}$ : $y' = \lambda e^{\lambda x}$ , $y'' = \lambda^2 e^{\lambda x}$ .

$a\lambda^2 e^{\lambda x} + b\lambda e^{\lambda x} + c e^{\lambda x} = 0 \;\Rightarrow\; a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$

Como $e^{\lambda x} \neq 0$ , tudo se reduz à equação algébrica quadrática.

"If $b^2 - 4ac > 0$ , the characteristic equation has two distinct real roots $r_1, r_2$ , and the general solution of [the ODE] is $y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$ ." — Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.2

O caso da raiz dupla

Diagrama qualitativo — comportamento por caso

Perfis qualitativos: caso 1 (exponencial puro), caso 2 (fronteira crítica), caso 3 (oscilatório).

Equações não-homogêneas

Para $ay'' + by' + cy = q(x)$ : solução geral $y = y_h + y_p$ .

$y_h$ : solução da equação homogênea (dois parâmetros livres).

$y_p$ : qualquer solução particular — obtida por coeficientes a determinar (quando $q$ é combinação de polinômio, exponencial, seno/cosseno) ou variação de parâmetros (geral).

Exemplos resolvidos

Example— 1· Caso 1 — raizes reais distintas

Problema. Resolva $y'' - 5y' + 6y = 0$ , $y(0) = 2$ , $y'(0) = 3$ .

Estratégia. $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$ : dois reais distintos.

Resolução.

Equação característica: $\lambda^2 - 5\lambda + 6 = (\lambda-2)(\lambda-3) = 0$ .

$\lambda_1 = 2$ , $\lambda_2 = 3$ . Solução geral: $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$ .

$y(0) = C_1 + C_2 = 2$ .

$y'(0) = 2C_1 + 3C_2 = 3$ .

Sistema: $C_1 = 3$ , $C_2 = -1$ .

$y = 3e^{2x} - e^{3x}$

Verificação. $y'' - 5y' + 6y = (12-15+6\cdot 3)e^{2x} + (-9+15-6)e^{3x} = 12e^{2x} \cdot 0 + 0 = 0$ . $y(0) = 3 - 1 = 2$ , $y'(0) = 6 - 3 = 3$ . Correto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.2, Example 2.2.1 — CC-BY-SA.

Example— 2· Caso 2 — raiz dupla

Problema. Resolva $y'' - 4y' + 4y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 0$ .

Estratégia. $\Delta = 16 - 16 = 0$ : raiz dupla.

Resolução.

$\lambda^2 - 4\lambda + 4 = (\lambda-2)^2 = 0$ . Raiz dupla $\lambda = 2$ .

$y = (C_1 + C_2 x)e^{2x}$ .

$y(0) = C_1 = 1$ .

$y'(x) = C_2 e^{2x} + 2(C_1 + C_2 x)e^{2x}$ .

$y'(0) = C_2 + 2C_1 = 0 \Rightarrow C_2 = -2$ .

$y = (1 - 2x)e^{2x}$

Verificação. $y' = -2e^{2x} + 2(1-2x)e^{2x} = (2-4x-2)e^{2x} = -4xe^{2x}$ . $y'' = -4e^{2x} - 8xe^{2x}$ . $y''-4y'+4y = (-4-8x)e^{2x} - 4(-4x)e^{2x} + 4(1-2x)e^{2x} = (-4-8x+16x+4-8x)e^{2x} = 0$ . Correto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.2, Example 2.2.2 — CC-BY-SA.

Example— 3· Caso 3 — complexas conjugadas (oscilacao amortecida)

Problema. Resolva $y'' + 2y' + 5y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 2$ .

Estratégia. $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ : complexas. $\alpha = -1$ , $\beta = 2$ .

Resolução.

$\lambda = (-2 \pm \sqrt{-16})/2 = -1 \pm 2i$ .

$y = e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x)$ .

$y(0) = C_1 = 1$ .

$y'(x) = -e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x) + e^{-x}(-2C_1\sin 2x + 2C_2\cos 2x)$ .

$y'(0) = -C_1 + 2C_2 = 2 \Rightarrow 2C_2 = 3 \Rightarrow C_2 = 3/2$ .

$y = e^{-x}\!\left(\cos 2x + \frac{3}{2}\sin 2x\right)$

Verificação. A equação característica tem raízes $-1 \pm 2i$ , ambas com parte real $-1 < 0$ : solução decai exponencialmente. $y(0) = 1$ , $y'(0) = -1 + 3 = 2$ . Correto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.2, Example 2.2.3 — CC-BY-SA.

Example— 4· Nao-homogenea por coeficientes a determinar

Problema. Resolva $y'' - y' - 2y = e^{3x}$ .

Estratégia. $y = y_h + y_p$ . Para $q = e^{3x}$ e $3$ não é raiz da característica: tentativa $y_p = Ae^{3x}$ .

Resolução.

$\lambda^2 - \lambda - 2 = (\lambda-2)(\lambda+1) = 0$ . $y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x}$ .

Tentativa: $y_p = Ae^{3x}$ . Substitua:

$9Ae^{3x} - 3Ae^{3x} - 2Ae^{3x} = e^{3x} \Rightarrow 4A = 1 \Rightarrow A = 1/4$ .

$y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} + \frac{1}{4}e^{3x}$

Verificação. $y_p'' - y_p' - 2y_p = (9/4 - 3/4 - 2/4)e^{3x} = (9-3-2)/4\,e^{3x} = e^{3x}$ . Correto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.3, Example 2.3.1 — CC-BY-SA.

Example— 5· Nao-homogenea com ressonancia (regra de modificacao)

Problema. Resolva $y'' - 3y' + 2y = e^{2x}$ .

Estratégia. Tente $y_p = Ae^{2x}$ — mas $\lambda = 2$ é raiz característica! Regra de modificação: multiplique por $x$ .

Resolução.

$\lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda-1)(\lambda-2) = 0$ . $y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$ .

$\lambda = 2$ é raiz simples: tente $y_p = Axe^{2x}$ .

$y_p' = Ae^{2x} + 2Axe^{2x}$ , $y_p'' = 4Ae^{2x} + 4Axe^{2x}$ .

$y_p'' - 3y_p' + 2y_p = (4A + 4Ax)e^{2x} - (3A + 6Ax)e^{2x} + 2Axe^{2x} = Ae^{2x}$ .

$A = 1$ . Logo $y_p = xe^{2x}$ .

$y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + xe^{2x}$

Verificação. $y_p = xe^{2x}$ : $y_p'' - 3y_p' + 2y_p = (4+4x)e^{2x} - 3(1+2x)e^{2x} + 2xe^{2x} = (4+4x-3-6x+2x)e^{2x} = e^{2x}$ . Correto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.3, Example 2.3.2 — CC-BY-SA.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 3Modeling 4Challenge 3Proof 2

Fontes

Notes on Diffy Qs — Jiří Lebl · v6.6 · §2.2–2.3 · EN · CC-BY-SA. Fonte primária.
Calculus Volume 2 — OpenStax · §7.1–7.2 · EN · CC-BY-NC-SA.
Elementary Differential Equations — William F. Trench · §5.1–5.2, §5.6–5.7 · EN · aberto.