v1 · padrão canônico

Lição 97 — Circuitos RLC

Equação diferencial do circuito RLC série — análogo elétrico do massa-mola. Resposta livre, forçada e ressonância.

Used in: Spécialité Maths Terminale (França) · Leistungskurs Physik Klasse 12 (Alemanha) · H3 Mathematics (Singapura)

L\frac{d^2Q}{dt^2} + R\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C} = V(t)

O circuito RLC série é o análogo elétrico exato do massa-mola-amortecedor. Indutância $L \leftrightarrow$ massa, resistência $R \leftrightarrow$ amortecimento, $1/C \leftrightarrow$ rigidez. Frequência natural $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ ; fator de qualidade $Q_f = (1/R)\sqrt{L/C}$ .

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Derivação rigorosa e classificação

Lei de Kirchhoff das tensões

Em um circuito $RLC$ série com fonte $V(t)$ , a soma das quedas de tensão iguala a fonte:

$V_L + V_R + V_C = V(t)$

Usando $V_L = L\,\dot I$ , $V_R = RI$ , $V_C = Q/C$ e $I = \dot Q$ :

L\,\ddot{Q} + R\,\dot{Q} + \frac{Q}{C} = V(t)

what this means · Equação diferencial do circuito RLC série — EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes.

"The equation $LQ'' + RQ' + Q/C = V(t)$ is the standard form of the RLC circuit equation and has exactly the same mathematical form as the damped mass-spring system $mx'' + cx' + kx = F(t)$ , with $L$ playing the role of mass, $R$ the damping constant, and $1/C$ the spring constant." — Lebl, Notes on Diffy Qs §2.6

Tabela de analogia eletromecânica

Analogia eletromecânica completa. Toda técnica de resolução do massa-mola transfere diretamente para o RLC.

Classificação pela equação característica

Equação homogênea ( $V = 0$ ): $L\lambda^2 + R\lambda + 1/C = 0$ .

$\Delta = R^2 - 4L/C$

Definition· Três regimes de resposta livre

Superamortecido ( $\zeta > 1$ , $\Delta > 0$ ): dois $\lambda$ reais negativos. Retorno exponencial lento ao equilíbrio. $Q_h(t) = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t}$
Criticamente amortecido ( $\zeta = 1$ , $\Delta = 0$ ): $\lambda$ duplo $\lambda = -R/(2L)$ . Retorno mais rápido sem oscilação. $Q_h(t) = (C_1 + C_2 t)\,e^{\lambda t}$
Subamortecido ( $\zeta < 1$ , $\Delta < 0$ ): $\lambda = -\zeta\omega_0 \pm i\omega_d$ . Oscilação amortecida. $Q_h(t) = e^{-\zeta\omega_0 t}\bigl(C_1\cos\omega_d t + C_2\sin\omega_d t\bigr)$

Resposta em regime permanente (forçada)

Para $V(t) = V_0\cos(\omega t)$ , solução particular:

$Q_p(t) = \frac{V_0/L}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + (2\zeta\omega_0\omega)^2}}\cos(\omega t - \phi)$

com $\tan\phi = \dfrac{2\zeta\omega_0\omega}{\omega_0^2-\omega^2}$ .

Exemplos resolvidos

Example— 97.1· Classificação do regime — dados de componentes

Problema. Circuito RLC série: $L = 1$ H, $R = 6$ $\Omega$ , $C = 1/8$ F. Classifique o regime e escreva a solução homogênea geral.

Estratégia. Calcule $\Delta = R^2 - 4L/C$ ; identifique o regime; escreva $Q_h$ .

Resolução.

$\Delta = 36 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4 > 0$ — superamortecido.

Equação característica: $\lambda^2 + 6\lambda + 8 = 0 \Rightarrow \lambda = (-6 \pm 2)/2$ , logo $\lambda_1 = -2$ , $\lambda_2 = -4$ .

$Q_h(t) = C_1 e^{-2t} + C_2 e^{-4t}$

Verificação. $Q_h' = -2C_1 e^{-2t} - 4C_2 e^{-4t}$ , $Q_h'' = 4C_1 e^{-2t} + 16C_2 e^{-4t}$ . Substituindo em $Q'' + 6Q' + 8Q$ : coletando $e^{-2t}$ : $4C_1 - 12C_1 + 8C_1 = 0$ ✓. Coletando $e^{-4t}$ : $16C_2 - 24C_2 + 8C_2 = 0$ ✓.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs §2.6, Example 2.6.1 — CC-BY-SA

Example— 97.2· Regime subamortecido com condições iniciais

Problema. $L = 1$ H, $R = 2$ $\Omega$ , $C = 1/2$ F, $V = 0$ . Condições: $Q(0) = 1$ C, $I(0) = 0$ A. Ache $Q(t)$ .

Estratégia. Calcule $\Delta$ , identifique regime subamortecido, aplique CI para determinar $C_1, C_2$ .

Resolução.

$\Delta = 4 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0$ — subamortecido.

$\lambda = -1 \pm i$ , logo $\alpha = 1$ , $\omega_d = 1$ .

$Q_h(t) = e^{-t}(C_1 \cos t + C_2 \sin t)$

CI: $Q(0) = C_1 = 1$ .

$\dot Q = e^{-t}[(-C_1 + C_2\omega_d)\cos t + (-C_2 - C_1\omega_d)\sin t]$ ... com $\omega_d = 1$ :

$\dot Q(0) = -C_1 + C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = 1$ .

$Q(t) = e^{-t}(\cos t + \sin t) = \sqrt{2}\,e^{-t}\cos\!\left(t - \frac{\pi}{4}\right)$

Verificação. $Q(0) = 1$ ✓; $\dot Q(0) = -1 + 1 = 0$ ✓. Amplitude decai como $\sqrt{2}e^{-t}$ ✓.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs §2.6, Exercise 2.6.2 — CC-BY-SA

Example— 97.3· Resposta forçada — regime permanente

Problema. $L = 0{,}1$ H, $R = 10$ $\Omega$ , $C = 10^{-3}$ F, $V(t) = 50\cos(100t)$ V. Ache a corrente em regime permanente $I_p(t) = \dot Q_p$ .

Estratégia. Calcule $Z(j\omega)$ e use $\hat I = \hat V/Z$ .

Resolução.

$\omega = 100$ rad/s. $\omega_0 = 1/\sqrt{0{,}1 \times 10^{-3}} = 100$ rad/s — ressonância!

$Z(j100) = 10 + j(100 \times 0{,}1 - 1/(100 \times 10^{-3})) = 10 + j(10 - 10) = 10$ $\Omega$ .

$I_p(t) = \frac{50}{10}\cos(100t) = 5\cos(100t)$ A.

Na ressonância, a impedância é puramente resistiva e a corrente atinge o valor máximo.

Verificação. $|Z|_{\omega=100} = 10$ $\Omega$ ✓; $I_{\max} = V_0/R = 50/10 = 5$ A ✓.

Fonte. OpenStax University Physics Vol. 2, §14.5 Example 14.5 — CC-BY

Example— 97.4· Fator de qualidade e largura de banda

Problema. Receptor de rádio AM: $L = 0{,}5$ mH, $C = 25$ pF, $R = 5$ $\Omega$ . Calcule $f_0$ , $Q_f$ e $\Delta f$ (largura de banda).

Estratégia. Aplique as fórmulas de $f_0$ , $Q_f$ e $BW$ diretamente.

Resolução.

$\omega_0 = 1/\sqrt{0{,}5 \times 10^{-3} \times 25 \times 10^{-12}} = 1/\sqrt{1{,}25 \times 10^{-14}} \approx 8{,}94 \times 10^6$ rad/s.

$f_0 = \omega_0/(2\pi) \approx 1{,}42$ MHz (faixa AM).

$Q_f = \omega_0 L/R = (8{,}94 \times 10^6 \times 0{,}5 \times 10^{-3})/5 = 4470/5 = 894$ .

$\Delta f = f_0/Q_f = 1{,}42 \times 10^6/894 \approx 1{,}59$ kHz.

Canal AM tem 10 kHz de largura — $Q_f = 894$ é seletivo demais para AM, mas adequado para FM estéreo.

Verificação. $\zeta = 1/(2Q_f) = 1/1788 \approx 5{,}6 \times 10^{-4} \ll 1$ — fortemente subamortecido ✓.

Fonte. OpenStax University Physics Vol. 2, §14.6 — CC-BY

Example— 97.5· Circuito LC sem resistência — oscilação pura

Problema. $L = 4$ H, $C = 1/16$ F, $R = 0$ , $V = 0$ . $Q(0) = 0$ , $I(0) = 2$ A. Ache $Q(t)$ e a energia total.

Estratégia. Caso não amortecido: $\ddot Q + \omega_0^2 Q = 0$ , solução geral seno/cosseno.

Resolução.

$\omega_0 = 1/\sqrt{4 \times 1/16} = 1/\sqrt{1/4} = 2$ rad/s.

$Q(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t)$ .

$Q(0) = A = 0 \Rightarrow Q(t) = B\sin(2t)$ .

$\dot Q(0) = 2B = 2 \Rightarrow B = 1$ .

$Q(t) = \sin(2t), \quad I(t) = 2\cos(2t)$

Energia: $E = \frac{1}{2}L I^2 + \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}(4)(4\cos^2 2t) + \frac{\sin^2 2t}{2(1/16)} = 8\cos^2 2t + 8\sin^2 2t = 8$ J (constante ✓).

Fonte. Trench, Elementary Differential Equations §6.2, Exercise 6.2.3 — aberto

Exercise list

34 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 4Modeling 9Challenge 1Proof 2

Fontes

Lebl, Jiří. Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers. Versão 6.4. CC-BY-SA. jirka.org/diffyqs — Referência principal; §2.6 cobre RLC como aplicação de EDOs de 2ª ordem.
Trench, William F. Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems. Brooks-Cole (aberto). digitalcommons.trinity.edu/mono/9 — Cap. 6 trata circuitos RL, RC e RLC com abordagem clássica.
OpenStax. University Physics Volume 2. CC-BY. openstax.org/details/books/university-physics-volume-2 — §14.5–14.6: ressonância, fator de qualidade, largura de banda, perspectiva física.