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Lição 99 — Lei de Newton do Resfriamento

dT/dt = -k(T - T_amb): EDO separável com solução exponencial. Aplicações forenses, industriais e cotidianas.

Used in: Spécialité Maths Terminale (França) · Leistungskurs Mathematik Klasse 12 (Alemanha) · H2 Mathematics (Singapura)

dTdt=−k(T−Tamb)  ⟹  T(t)=Tamb+(T0−Tamb) e−kt\frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{amb}}) \;\Longrightarrow\; T(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 - T_{\text{amb}})\,e^{-kt}

A lei de Newton do resfriamento diz que a taxa de variação da temperatura é proporcional à diferença entre o objeto e o ambiente. Solução: decaimento exponencial até TambT_{\text{amb}}. Constante de tempo τ=1/k\tau = 1/k: em t=τt = \tau a diferença cai a 37% do valor inicial.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Derivação rigorosa e solução

A lei e sua hipótese

A taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional ao desvio em relação ao ambiente:

dTdt=−k(T−Tamb)\frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{amb}})
what this means · k > 0 é a constante de transferência de calor [1/tempo]. O sinal negativo indica que o objeto esfria quando T > T_amb e aquece quando T < T_amb.

"The temperature of a body changes at a rate proportional to the difference between the temperature of the body and the temperature of the surrounding medium. This is Newton's law of cooling." — Trench, Elementary Differential Equations §4.2

Constante de tempo e meia-vida

Determinação de kk a partir de dados

Dados T(t1)=T1T(t_1) = T_1:

k=−1t1ln⁡ ⁣(T1−TambT0−Tamb)k = -\frac{1}{t_1}\ln\!\left(\frac{T_1 - T_{\text{amb}}}{T_0 - T_{\text{amb}}}\right)
what this means · Isola-se k diretamente de uma medição no tempo t_1.

Validade do modelo

Exemplos resolvidos

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 17Understanding 3Modeling 7Challenge 1Proof 2
  1. Ex. 99.1Application

    T0=100T_0 = 100 °C, Tamb=22T_{\text{amb}} = 22 °C, k=0,04k = 0{,}04 min−1^{-1}. Escreva T(t)T(t) e calcule T(15)T(15).

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §1.6 · Exercise 1.6.1 · p. 38
    Show solution
    T(t)=22+78 e−0,04 tT(t) = 22 + 78\,e^{-0{,}04\,t}. Com t=15t = 15: T(15)=22+78 e−0,6≈22+42,8=64,8T(15) = 22 + 78\,e^{-0{,}6} \approx 22 + 42{,}8 = 64{,}8 °C.
  2. Ex. 99.2Application

    T0=100T_0 = 100 °C, Tamb=20T_{\text{amb}} = 20 °C, T(10)=55T(10) = 55 °C. Determine kk.

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §1.6 · Exercise 1.6.2 · p. 39
    Show solution
    55=20+80 e−k⋅10⇒e−10k=35/80=7/1655 = 20 + 80\,e^{-k \cdot 10} \Rightarrow e^{-10k} = 35/80 = 7/16. k=ln⁡(16/7)/10≈0,0827k = \ln(16/7)/10 \approx 0{,}0827 min⁻¹.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Escreva o modelo: T(t)=20+80 e−ktT(t) = 20 + 80\,e^{-kt}.
    2. Aplique T(10)=55T(10) = 55: 55=20+80 e−10k55 = 20 + 80\,e^{-10k}.
    3. Isole a exponencial: e−10k=35/80=7/16e^{-10k} = 35/80 = 7/16.
    4. Tome o logaritmo: −10k=ln⁡(7/16)-10k = \ln(7/16), logo k=ln⁡(16/7)/10k = \ln(16/7)/10.
      5. Macete: guarde a forma k=ln⁡(raza˜o)/tk = \ln(\text{razão})/t — funciona para qualquer problema de resfriamento ou decaimento.
  3. Ex. 99.3Application

    T0=5T_0 = 5 °C (objeto frio), Tamb=25T_{\text{amb}} = 25 °C, k=0,06k = 0{,}06 min−1^{-1}. Calcule T(20)T(20).

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 2 · §4.4 · Exercise 4.4.1 · p. 401
    Show solution
    T(t)=Tamb+(T0−Tamb)e−ktT(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 - T_{\text{amb}})e^{-kt} com T0=5T_0 = 5, Tamb=25T_{\text{amb}} = 25, k=0,06k = 0{,}06. Aquecimento: T(20)=25+(−20)e−1,2≈25−6=19T(20) = 25 + (-20)e^{-1{,}2} \approx 25 - 6 = 19 °C.
  4. Ex. 99.4Application

    T0=90T_0 = 90 °C, Tamb=20T_{\text{amb}} = 20 °C, k=0,05k = 0{,}05 min−1^{-1}. Calcule a meia-vida da diferença de temperatura e a temperatura nesse instante.

    Solve onlineTrench — Elementary Differential Equations · §4.2 · Exercise 4.2.1 · p. 153
    Show solution
    t1/2=ln⁡2/k=ln⁡2/0,05≈0,693/0,05≈13,9t_{1/2} = \ln 2/k = \ln 2/0{,}05 \approx 0{,}693/0{,}05 \approx 13{,}9 min. Em t1/2t_{1/2}, a diferença de temperatura cai de 70 para 35 °C: T=20+35=55T = 20 + 35 = 55 °C.
  5. Ex. 99.5ApplicationAnswer key

    T0=80T_0 = 80 °C, Tamb=−10T_{\text{amb}} = -10 °C, k=0,03k = 0{,}03 min−1^{-1}. Calcule τ\tau e T(τ)T(\tau).

    Solve onlineTrench — Elementary Differential Equations · §4.2 · Exercise 4.2.2 · p. 153
    Show solution
    τ=1/k=1/0,03≈33,3\tau = 1/k = 1/0{,}03 \approx 33{,}3 min. Em t=τt = \tau: T=−10+90 e−1≈−10+33,1=23,1T = -10 + 90\,e^{-1} \approx -10 + 33{,}1 = 23{,}1 °C.
  6. Ex. 99.6Application

    T0=100T_0 = 100 °C, Tamb=20T_{\text{amb}} = 20 °C, k=0,05k = 0{,}05 min−1^{-1}. Em quanto tempo T=40T = 40 °C?

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §1.6 · Exercise 1.6.3 · p. 39
    Show solution
    40=20+80 e−kt⇒e−kt=20/80=0,2540 = 20 + 80\,e^{-kt} \Rightarrow e^{-kt} = 20/80 = 0{,}25. t=−ln⁡(0,25)/k=ln⁡(4)/kt = -\ln(0{,}25)/k = \ln(4)/k. Com k=0,05k = 0{,}05: t=ln⁡(4)/0,05≈1,386/0,05≈27,7t = \ln(4)/0{,}05 \approx 1{,}386/0{,}05 \approx 27{,}7 min.
  7. Ex. 99.7Application

    k=0,04k = 0{,}04 min−1^{-1}. Em quanto tempo a diferença de temperatura cai a menos de 1% do valor inicial?

    Solve onlineTrench — Elementary Differential Equations · §4.2 · Exercise 4.2.3 · p. 154
    Show solution
    Em 5τ=5/k5\tau = 5/k: diferença residual =(T0−Tamb)e−5≈0,67%= (T_0 - T_{\text{amb}})e^{-5} \approx 0{,}67\% da diferença inicial. Com k=0,04k = 0{,}04: 5τ=1255\tau = 125 min.
  8. Ex. 99.8Application

    Corpo encontrado às 22h: T=33T = 33 °C. Tamb=18T_{\text{amb}} = 18 °C, Tnormal=37T_{\text{normal}} = 37 °C, k=0,06k = 0{,}06 h−1^{-1}. Estime a hora da morte.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 2 · §4.4 · Exercise 4.4.3 · p. 402
    Show solution
    T(t)=18+19 e−0,06 tT(t) = 18 + 19\,e^{-0{,}06\,t}. Para T=33T = 33: t=−ln⁡(15/19)/0,06=ln⁡(19/15)/0,06≈3,94t = -\ln(15/19)/0{,}06 = \ln(19/15)/0{,}06 \approx 3{,}94 h. A morte ocorreu há aproximadamente 4 horas.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Modelo: T(t)=18+19 e−0,06 tT(t) = 18 + 19\,e^{-0{,}06\,t}.
    2. Aplique T(t)=33T(t) = 33: isole e−0,06 t=15/19e^{-0{,}06\,t} = 15/19.
    3. Tome o log: t=ln⁡(19/15)/0,06t = \ln(19/15)/0{,}06.
    4. Calcule: ln⁡(19/15)≈0,2364\ln(19/15) \approx 0{,}2364, portanto t≈3,94t \approx 3{,}94 h.
      5. Curiosidade: O método forense de Henssge usa uma versão refinada desta equação, aceita como prova em tribunal na Alemanha desde 1979.
  9. Ex. 99.9Application

    Recipiente com líquido: h=20h = 20 W/(m²K), A=0,04A = 0{,}04 m², m=0,3m = 0{,}3 kg, cp=4000c_p = 4000 J/(kgK). Calcule kk e a constante de tempo τ\tau.

    Solve onlineTrench — Elementary Differential Equations · §4.2 · Exercise 4.2.7 · p. 155
    Show solution
    k=hA/(mcp)k = hA/(mc_p). Com h=20h = 20 W/(m²K), A=0,04A = 0{,}04 m², m=0,3m = 0{,}3 kg, cp=4000c_p = 4000 J/(kgK): k=20×0,04/(0,3×4000)=0,8/1200≈6,67×10−4k = 20 \times 0{,}04 / (0{,}3 \times 4000) = 0{,}8/1200 \approx 6{,}67 \times 10^{-4} s⁻¹. τ=1/k≈1500\tau = 1/k \approx 1500 s = 25 min.
  10. Ex. 99.10Application

    Derive a fórmula de kk a partir de duas medidas de temperatura T1T_1 (em t1t_1) e T2T_2 (em t2t_2) com TambT_{\text{amb}} conhecida.

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §1.6 · Exercise 1.6.5 · p. 40
    Show solution
    Dados dois pontos (t1,T1)(t_1, T_1) e (t2,T2)(t_2, T_2): T1=Ta+(T0−Ta)e−kt1T_1 = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt_1} e T2=Ta+(T0−Ta)e−kt2T_2 = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt_2}. Dividindo: (T1−Ta)/(T2−Ta)=e−k(t1−t2)(T_1 - T_a)/(T_2 - T_a) = e^{-k(t_1-t_2)}. Logo k=ln⁡((T1−Ta)/(T2−Ta))/(t2−t1)k = \ln((T_1-T_a)/(T_2-T_a))/(t_2-t_1).
  11. Ex. 99.11ApplicationAnswer key

    T0=100T_0 = 100 °C, Tamb=25T_{\text{amb}} = 25 °C, k=0,05k = 0{,}05 min−1^{-1}. Use Euler com h=5h = 5 min para estimar T(15)T(15) e compare com o exato.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 2 · §4.2 · Exercise 4.2.5 · p. 386
    Show solution
    T(t)=25+75 e−0,05 tT(t) = 25 + 75\,e^{-0{,}05\,t}. Tabela de Euler com h=5h = 5 min: T1=100+5(−0,05)(100−25)=100−18,75=81,25T_1 = 100 + 5(-0{,}05)(100-25) = 100 - 18{,}75 = 81{,}25; T2≈66,2T_2 \approx 66{,}2; T3≈54,0T_3 \approx 54{,}0. Exato em t=15t=15: 25+75e−0,75≈56,625 + 75e^{-0{,}75} \approx 56{,}6. Euler com h=5h=5: razoável.
  12. Ex. 99.12Application

    A diferença de temperatura entre objeto e ambiente cai de 80 °C para 40 °C em 10 min. Em quanto tempo adicionais ela cai de 40 para 20 °C?

    Solve onlineTrench — Elementary Differential Equations · §4.2 · Exercise 4.2.5 · p. 154
    Show solution
    O resfriamento no intervalo [t1,t2][t_1, t_2] depende apenas da diferença de temperatura, não dos valores absolutos. Razão: (T(t2)−Ta)/(T(t1)−Ta)=e−k(t2−t1)(T(t_2) - T_a)/(T(t_1) - T_a) = e^{-k(t_2-t_1)} — não depende de T0T_0. Se a diferença cai de 80 para 40 em 10 min, ela cai de 40 para 20 nos próximos 10 min — meia-vida constante de 10 min, logo k=ln⁡2/10k = \ln 2/10.
  13. Ex. 99.13Application

    Mostre que se T0=TambT_0 = T_{\text{amb}}, a solução é constante. Interprete fisicamente.

    Lebl — Notes on Diffy Qs · §1.6 · Exercise 1.6.4 · p. 38
    Show solution
    Solução geral: T(t)=Ta+Ce−ktT(t) = T_a + Ce^{-kt}. CI: T(0)=Ta+C=T0⇒C=T0−TaT(0) = T_a + C = T_0 \Rightarrow C = T_0 - T_a. Para T0=TaT_0 = T_a: C=0C = 0, T(t)=TaT(t) = T_a (constante) — equilíbrio instantâneo. O objeto já está na temperatura ambiente; não há troca de calor.
  14. Ex. 99.14Application

    Leite: T0=72T_0 = 72 °C, Tambfrio=0T_{\text{amb}}^{\text{frio}} = 0 °C, k=0,15k = 0{,}15 s−1^{-1}. Em quanto tempo resfria a 4 °C?

    Solve onlineTrench — Elementary Differential Equations · §4.2 · Exercise 4.2.8 · p. 155
    Show solution
    Pasteurização: t=−ln⁡(4/72)/0,15=ln⁡(18)/0,15≈2,89/0,15≈19,3t = -\ln(4/72)/0{,}15 = \ln(18)/0{,}15 \approx 2{,}89/0{,}15 \approx 19{,}3 s. Com margem de segurança de 20%, o trocador deve garantir pelo menos 19,3×1,2≈2319{,}3 \times 1{,}2 \approx 23 s.
  15. Ex. 99.15ModelingAnswer key

    Caso forense. Corpo encontrado às 23h com T=30T = 30 °C. Tamb=20T_{\text{amb}} = 20 °C, k=0,07k = 0{,}07 h−1^{-1}. Estime a hora da morte. Discuta as incertezas do método.

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 2 · §4.4 · Exercise 4.4.3 · p. 402
    Show solution
    Duas medições: T(0)=37T(0) = 37, Ta=20T_a = 20; T(3)=33T(3) = 33 (corpo encontrado 3 h depois; na verdade apenas uma medição no momento da descoberta). k=ln⁡(17/13)/3≈0,0896k = \ln(17/13)/3 \approx 0{,}0896 h⁻¹. Mas se só uma medição disponível, usa-se k padrão (0,05–0,1 h⁻¹ conforme o ambiente).
    Show step-by-step (with the why)
    1. Dados: Tamb=20T_{\text{amb}} = 20 °C, Tnormal=37T_{\text{normal}} = 37 °C. Corpo encontrado às 23h com T=30T = 30 °C.
    2. Usa-se k=0,07k = 0{,}07 h⁻¹ (valor tabular médio).
    3. Modelo: 30=20+17 e−0,07 t30 = 20 + 17\,e^{-0{,}07\,t}.
    4. e−0,07 t=10/17e^{-0{,}07\,t} = 10/17; t=ln⁡(17/10)/0,07≈0,5306/0,07≈7,6t = \ln(17/10)/0{,}07 \approx 0{,}5306/0{,}07 \approx 7{,}6 h.
    5. A morte ocorreu por volta das 15h20.
      6. Curiosidade: O intervalo de confiança para esta estimativa é de ±2 h — incerteza inerente ao método de Newton. Peritos forenses usam corroboração com outras evidências.
  16. Ex. 99.16Modeling

    Objeto com fonte de calor interna constante: T′=−k(T−Ta)+HT' = -k(T - T_a) + H, onde H=Q/(mcp)H = Q/(mc_p). Com Ta=22T_a = 22 °C, k=0,05k = 0{,}05 min−1^{-1}, H=5H = 5 °C/min. Qual a temperatura de equilíbrio?

    Solve onlineTrench — Elementary Differential Equations · §4.2 · Exercise 4.2.9 · p. 156
    Show solution
    A EDO é T′=−k(T−Ta)+Q/(mcp)T' = -k(T - T_a) + Q/(mc_p) — linear. Solução particular (equilíbrio): T∞=Ta+Q/(kmcp)T_{\infty} = T_a + Q/(kmc_p). Substituindo valores: k=0,05k = 0{,}05 min⁻¹, Q/(mcp)=5Q/(mc_p) = 5 °C/min: T∞=22+5/0,05=22+100=122T_{\infty} = 22 + 5/0{,}05 = 22 + 100 = 122 °C.
  17. Ex. 99.17Modeling

    Objeto aquecendo: medições T(0)=20T(0) = 20, T(30)=40T(30) = 40, T(60)=55T(60) = 55 °C. Estime TambT_{\text{amb}} e kk assumindo que uma das três equações pode estar ruidosa.

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §1.6 · Exercise 1.6.6 · p. 41
    Show solution
    Três medições: T(0)=20T(0) = 20, T(30)=40T(30) = 40, T(60)=55T(60) = 55. A equação T(t)=Ta+(T0−Ta)(1−e−kt)T(t) = T_a + (T_0 - T_a)(1 - e^{-kt}) (aquecimento) com T0<TaT_0 < T_a. Dos dados: 20/Ta=(55−20)/(40−20)≠20/T_a = (55-20)/(40-20) \neq constante — o objeto pode ter temperatura de equilíbrio diferente de TaT_a medida, ou k varia. Método dos mínimos quadrados ajusta os parâmetros.
  18. Ex. 99.18ModelingAnswer key

    Processador com dissipação H=2H = 2 °C/min, Ta=25T_a = 25 °C. Para manter T≤40T \leq 40 °C, qual o mínimo de kk necessário no sistema de resfriamento?

    Solve onlineTrench — Elementary Differential Equations · §4.2 · Exercise 4.2.10 · p. 156
    Show solution
    Temperatura máxima depende de k e H: Tmax⁡=Ta+H/kT_{\max} = T_a + H/k. Para garantir Tmax⁡≤40T_{\max} \leq 40 °C com Ta=25T_a = 25 °C e H=2H = 2 °C/min: k≥H/(Tmax⁡−Ta)=2/15≈0,133k \geq H/(T_{\max} - T_a) = 2/15 \approx 0{,}133 min⁻¹. Isso exige um sistema de resfriamento com coeficiente de convecção suficientemente alto.
  19. Ex. 99.19Understanding

    Como varia a taxa de resfriamento ∣T′(t)∣|T'(t)| ao longo do tempo para um objeto com T0>TambT_0 > T_{\text{amb}}?

    Select the correct option
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    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §1.6 · Exercise 1.6.7 · p. 38
    Show solution
    T′(t)=−k(T−Tamb)T'(t) = -k(T-T_{\text{amb}}). Em t=0t=0: T′=−k(T0−Tamb)T' = -k(T_0-T_{\text{amb}}) (maior diferença = maior taxa). Com o tempo, T−Tamb→0T - T_{\text{amb}} \to 0, portanto T′→0T' \to 0. A taxa é monotonicamente decrescente em magnitude.
  20. Ex. 99.20UnderstandingAnswer key

    Como kk depende das propriedades físicas do sistema? O que acontece com a constante de tempo τ\tau quando kk aumenta?

    Select the correct option
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    Solve onlineTrench — Elementary Differential Equations · §4.2 · Exercise 4.2.4 · p. 153
    Show solution
    k=hA/(mcp)k = hA/(mc_p) — depende das propriedades do sistema (coeficiente de convecção, área, massa, calor específico), NÃO das condições iniciais. Aumentar kk (ex: ventilador para aumentar hh) reduz τ=1/k\tau = 1/k e acelera o equilíbrio.
  21. Ex. 99.21Understanding

    Em que situações a lei de Newton do resfriamento deixa de ser válida?

    Select the correct option
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    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §1.6 · Exercise 1.6.8 · p. 42
    Show solution
    Lei de Stefan-Boltzmann: Qr∝T4−Ta4Q_r \propto T^4 - T_a^4 — lineariza-se para 4σTa3ΔT4\sigma T_a^3 \Delta T somente para ΔT≪Ta\Delta T \ll T_a. Convecção natural tem expoente 1,25–1,33 em ΔT\Delta T. Newton é uma aproximação de 1ª ordem válida para pequenas diferenças e convecção forçada.
  22. Ex. 99.22Application

    Duas medições: T(0)=30T(0) = 30 °C, T(1)=28T(1) = 28 °C, Tamb=20T_{\text{amb}} = 20 °C. Determine kk e estime T(5)T(5).

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 2 · §4.4 · Exercise 4.4.4 · p. 403
    Show solution
    k=ln⁡(17/13)/(t2−t1)k = \ln(17/13)/(t_2 - t_1) com medidas em t1=0t_1 = 0 e t2t_2. Temperatura em t=0t = 0: T(0)=30T(0) = 30 °C. Para encontrar quando ocorreu a morte (tempo negativo): 37=20+17/0,5⋅ektm37 = 20 + 17/0{,}5 \cdot e^{kt_m} — precisa de mais dados ou assumir kk padrão.
  23. Ex. 99.23Application

    T(0)=30T(0) = 30 °C, T(1)=28T(1) = 28 °C, Tamb=20T_{\text{amb}} = 20 °C. Determine kk e calcule T(5)T(5).

    Solve onlineOpenStax Calculus Vol. 2 · §4.4 · Exercise 4.4.4 · p. 403
    Show solution
    T(0)=30T(0) = 30, T(1)=28T(1) = 28, Ta=20T_a = 20. e−k=(28−20)/(30−20)=8/10=0,8e^{-k} = (28-20)/(30-20) = 8/10 = 0{,}8. k=−ln⁡(0,8)≈0,2231k = -\ln(0{,}8) \approx 0{,}2231 h⁻¹. T(5)=20+10 e−0,2231×5=20+10×(0,8)5=20+10×0,3277=23,3T(5) = 20 + 10\,e^{-0{,}2231 \times 5} = 20 + 10 \times (0{,}8)^5 = 20 + 10 \times 0{,}3277 = 23{,}3 °C.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Modelo: T(t)=20+10 e−ktT(t) = 20 + 10\,e^{-kt}.
    2. Aplique T(1)=28T(1) = 28: 8=10 e−k⇒e−k=0,88 = 10\,e^{-k} \Rightarrow e^{-k} = 0{,}8.
    3. k=−ln⁡(0,8)≈0,2231k = -\ln(0{,}8) \approx 0{,}2231 h⁻¹.
    4. T(5)=20+10×(0,8)5=20+3,28=23,3T(5) = 20 + 10 \times (0{,}8)^5 = 20 + 3{,}28 = 23{,}3 °C.
      5. Atalho mental: e−kt1=(T1−Ta)/(T0−Ta)e^{-kt_1} = (T_1 - T_a)/(T_0 - T_a); então T(t)=Ta+(T0−Ta)[(T1−Ta)/(T0−Ta)]t/t1T(t) = T_a + (T_0 - T_a)[(T_1-T_a)/(T_0-T_a)]^{t/t_1}.
  24. Ex. 99.24Modeling

    Servidor: P=2000P = 2000 W, hA=200hA = 200 W/K, Ta=24T_a = 24 °C. Qual a temperatura de equilíbrio? O que é necessário para manter abaixo de 27 °C?

    Solve onlineTrench — Elementary Differential Equations · §4.2 · Exercise 4.2.11 · p. 156
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    Para o servidor: T∞=Ta+P/(hA)T_{\infty} = T_a + P/(hA). Com P=2000P = 2000 W, hA=200hA = 200 W/K, Ta=24T_a = 24: T∞=24+10=34T_{\infty} = 24 + 10 = 34 °C. Acima de 27 °C (limite ASHRAE A1). Precisa aumentar hAhA para pelo menos 2000/(27−24)≈6672000/(27-24) \approx 667 W/K.
  25. Ex. 99.25ModelingAnswer key

    Ta(t)=20+8cos⁡(πt/12)T_a(t) = 20 + 8\cos(\pi t/12) °C (variação diária com período 24 h). Escreva a solução formal de T′=−k(T−Ta(t))T' = -k(T - T_a(t)) e discuta como a amplitude das oscilações de TT se compara à de TaT_a.

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §1.6 · Exercise 1.6.9 · p. 41
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    Com TaT_a variando: T′+kT=kTa(t)T' + kT = kT_a(t). Fator integrante: ekte^{kt}. Solução: T(t)=e−kt ⁣[T0+k∫0tTa(s)eks ds]T(t) = e^{-kt}\!\left[T_0 + k\int_0^t T_a(s)e^{ks}\,ds\right]. Para Ta=Acos⁡(ωt)T_a = A\cos(\omega t), a integral dá amplitude e fase. A temperatura oscila com a mesma frequência do ambiente mas com amplitude reduzida por um fator k/k2+ω2k/\sqrt{k^2 + \omega^2}.
  26. Ex. 99.26Proof

    Mostre que o PVI T′=−k(T−Ta)T' = -k(T - T_a), T(0)=T0T(0) = T_0 tem solução única para todo t≥0t \geq 0.

    Lebl — Notes on Diffy Qs · §1.6 · Exercise 1.6.10 · p. 38
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    Unicidade: a equação T′=−k(T−Ta)T' = -k(T - T_a) é linear de 1ª ordem com coeficiente −k-k contínuo. Pelo teorema de existência e unicidade de Picard-Lindelöf, existe única solução satisfazendo a CI. Existência: a solução explícita T(t)=Ta+Ce−ktT(t) = T_a + Ce^{-kt} existe para todo tt. A constante C=T0−TaC = T_0 - T_a é determinada pela CI.
  27. Ex. 99.27Proof

    Verifique por substituição direta que T(t)=Tamb+(T0−Tamb)e−ktT(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 - T_{\text{amb}})e^{-kt} satisfaz a EDO e a condição inicial.

    Solve onlineTrench — Elementary Differential Equations · §4.2 · Exercise 4.2.0 (verificação) · p. 152
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    Substitua T(t)=Ta+(T0−Ta)e−ktT(t) = T_a + (T_0-T_a)e^{-kt} na EDO: T′=−k(T0−Ta)e−ktT' = -k(T_0-T_a)e^{-kt}; −k(T−Ta)=−k(T0−Ta)e−kt-k(T-T_a) = -k(T_0-T_a)e^{-kt}. Iguais. CI: T(0)=Ta+T0−Ta=T0T(0) = T_a + T_0 - T_a = T_0. Verificação completa. O que garante que não há outra solução é unicidade de Picard-Lindelöf.
  28. Ex. 99.28ChallengeAnswer key

    Resfriamento mútuo. Dois objetos trocam calor entre si: T1′=−k1(T1−T2)T_1' = -k_1(T_1-T_2), T2′=−k2(T2−T1)T_2' = -k_2(T_2-T_1). T1(0)=100T_1(0) = 100 °C, T2(0)=20T_2(0) = 20 °C. Ache a temperatura de equilíbrio e a taxa de aproximação.

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §1.6 · Exercise 1.6.11 · p. 43
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    Dois corpos: T1′=−k1(T1−T2)T_1' = -k_1(T_1 - T_2), T2′=−k2(T2−T1)T_2' = -k_2(T_2 - T_1). Somando: (T1+T2)′=0(T_1 + T_2)' = 0, então T1+T2=T1(0)+T2(0)T_1 + T_2 = T_1(0) + T_2(0) (conservação de energia). A diferença u=T1−T2u = T_1 - T_2 satisfaz u′=−(k1+k2)uu' = -(k_1+k_2)u: u=u0e−(k1+k2)tu = u_0 e^{-(k_1+k_2)t}. Equilíbrio: T1∗=T2∗=(T10+T20)/2T_1^* = T_2^* = (T_{10}+T_{20})/2 (se k1=k2k_1 = k_2).
  29. Ex. 99.29Application

    Peça de aço: T0=850T_0 = 850 °C, Tamb=30T_{\text{amb}} = 30 °C, k=0,02k = 0{,}02 min−1^{-1}. Quanto tempo para resfriar a 200 °C?

    Solve onlineTrench — Elementary Differential Equations · §4.2 · Exercise 4.2.6 · p. 155
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    Forno industrial (resfriamento de peça): T0=850T_0 = 850 °C, Ta=30T_a = 30 °C, T1=200T_1 = 200 °C. Diferença inicial: 820 °C. Para atingir 200 °C: e−kt=170/820e^{-kt} = 170/820. Com k=0,02k = 0{,}02 min⁻¹: t=ln⁡(820/170)/0,02≈1,572/0,02=78,6t = \ln(820/170)/0{,}02 \approx 1{,}572/0{,}02 = 78{,}6 min.
  30. Ex. 99.30Modeling

    Compare a lei de Newton do resfriamento com o decaimento radioativo. Quais são as semelhanças matemáticas? Qual a diferença no equilíbrio?

    Solve onlineLebl — Notes on Diffy Qs · §1.6 · Exercise 1.6.12 · p. 37
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    A lei de resfriamento é análoga ao decaimento radioativo (N′=−λNN' = -\lambda N) com substituição de variável u=T−Tau = T - T_a. Ambas têm solução u=u0e−αtu = u_0 e^{-\alpha t}. O "tempo de meia-vida" define a escala de tempo em ambos. Diferença: no resfriamento, T→Ta≠0T \to T_a \neq 0 (equilíbrio não nulo). No decaimento, N→0N \to 0.

Fontes

  • Lebl, Jiří. Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers. Versão 6.4. CC-BY-SA. jirka.org/diffyqs — §1.6: lei de Newton do resfriamento como EDO autônoma de 1ª ordem.
  • OpenStax. Calculus Volume 2. CC-BY-NC-SA. openstax.org/details/books/calculus-volume-2 — §4.4: aplicações de EDOs separáveis ao resfriamento newtoniano e estimativas forenses.
  • Trench, William F. Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems. aberto. digitalcommons.trinity.edu/mono/9 — §4.2: modelos de temperatura com contexto industrial, exercícios com dados numéricos.

Updated on 2026-05-06 · Author(s): Clube da Matemática

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