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Lição 111 — Espaços vetoriais: axiomas, subespaços, base, dimensão

Definição abstrata via 8 axiomas. Subespaços, combinação linear, base, dimensão. O salto da geometria de setas para a estrutura algébrica que sustenta toda a álgebra linear moderna.

Used in: Leistungskurs Algebra Linear (Klasse 12 alemã) · H2 Mathematics — Singapura · Math III japonês (vetores e espaços)

dim⁡V=n  ⟺  V≅Kn\dim V = n \iff V \cong K^n

Um espaço vetorial VV sobre o corpo KK é um conjunto fechado para soma e multiplicação por escalar, satisfazendo 8 axiomas. A dimensão dim⁡V\dim V é o número de vetores em qualquer base, e determina VV a menos de isomorfismo: todo KK-espaço de dimensão nn é estruturalmente idêntico a KnK^n.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição axiomática

Os 8 axiomas de espaço vetorial

"We will use the term field to refer to either R\mathbb{R} or C\mathbb{C}. Elements of a field are called scalars. A vector space is a set VV along with an addition on VV and a scalar multiplication on VV such that the following properties hold..." — Axler — Linear Algebra Done Right, §1A

"A subset WW of VV is called a subspace of VV if WW is a vector space under the addition and scalar multiplication defined on VV." — Beezer — A First Course in Linear Algebra, §VS

SVG — Hierarquia dos conceitos

Corpo KescalaresEspaço V(8 axiomas)dim V = ncontémBase B|B| = dim VimplicaV ≅ Kⁿtodo subespaço W ⊆ V herda os 8 axiomas automaticamente

Hierarquia: corpo fornece escalares; V satisfaz 8 axiomas; base tem dim V elementos; classificação dá V ≅ Kⁿ.

Exemplos resolvidos

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 21Understanding 6Modeling 7Challenge 2Proof 4
  1. Ex. 111.1Application

    Verifique que R2\mathbb{R}^2 com soma componente a componente e multiplicação por escalar é espaço vetorial sobre R\mathbb{R}.

    Solve onlineHefferon — Linear Algebra · §2.I Exercício 2.I.1.1 · p. 110
    Show solution
    Tome u=(u1,u2)u = (u_1, u_2), v=(v1,v2)∈R2v = (v_1, v_2) \in \mathbb{R}^2, c∈Rc \in \mathbb{R}. Soma: u+v=(u1+v1,u2+v2)∈R2u + v = (u_1+v_1, u_2+v_2) \in \mathbb{R}^2. Escalar: cv=(cu1,cu2)∈R2cv = (cu_1, cu_2) \in \mathbb{R}^2. Todos os 8 axiomas herdam das propriedades de R\mathbb{R}. Neutro: 0=(0,0)\mathbf{0} = (0,0). Oposto: −v=(−v1,−v2)-v = (-v_1, -v_2). Portanto R2\mathbb{R}^2 é espaço vetorial sobre R\mathbb{R}.
  2. Ex. 111.2Application

    Verifique que W={(x,y)∈R2:x+y=0}W = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x + y = 0\} é subespaço de R2\mathbb{R}^2.

    Beezer — A First Course in Linear Algebra · §S Exercício S.C15 · p. 158
    Show solution
    Verificação: (0,0)∈W(0,0) \in W pois 0+0=00 + 0 = 0. Se x1+y1=0x_1 + y_1 = 0 e x2+y2=0x_2 + y_2 = 0, então (x1+x2)+(y1+y2)=0(x_1+x_2) + (y_1+y_2) = 0. Se x+y=0x + y = 0 e c∈Rc \in \mathbb{R}, então cx+cy=c(x+y)=0cx + cy = c(x+y) = 0. Todos os 3 critérios satisfeitos.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Verifique o zero: (0,0)(0,0) tem 0+0=00 + 0 = 0. Portanto 0∈W\mathbf{0} \in W.
    2. Fechamento por soma: sejam (x1,y1)(x_1, y_1) e (x2,y2)(x_2, y_2) em WW. A soma tem primeira componente x1+x2x_1 + x_2 e segunda y1+y2y_1 + y_2. Sua soma é (x1+x2)+(y1+y2)=(x1+y1)+(x2+y2)=0+0=0(x_1+x_2)+(y_1+y_2) = (x_1+y_1)+(x_2+y_2) = 0+0 = 0.
    3. Fechamento por escalar: se x+y=0x + y = 0, então cx+cy=c(x+y)=c⋅0=0cx + cy = c(x+y) = c \cdot 0 = 0.
    4. Macete: qualquer equação linear homogênea em Rn\mathbb{R}^n define subespaço. "Homogênea" é a chave — se o lado direito fosse 1 em vez de 0, perderia o zero.
  3. Ex. 111.3Application

    O conjunto W={(x,y)∈R2:x+y=1}W = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x + y = 1\} é subespaço de R2\mathbb{R}^2?

    Select the correct option
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    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §S Exercício S.C16 · p. 158
    Show solution
    O conjunto W={(x,y):x+y=1}W = \{(x,y): x+y=1\} não contém (0,0)(0,0) pois 0+0=0≠10+0 = 0 \neq 1. Como todo subespaço deve conter o vetor zero, WW não é subespaço. Alternativamente: (1,0)∈W(1,0) \in W mas 2⋅(1,0)=(2,0)2 \cdot (1,0) = (2,0) tem 2+0=2≠12+0 = 2 \neq 1, falhando fechamento por escalar.
  4. Ex. 111.4Application

    Mostre que W={(x,y,z)∈R3:x=y}W = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x = y\} é subespaço de R3\mathbb{R}^3. Qual é sua dimensão?

    Hefferon — Linear Algebra · §2.I Exercício 2.I.1.3 · p. 111
    Show solution
    Zero: (0,0,0)∈W(0,0,0) \in W pois 0=00 = 0. Soma: se x1=y1x_1 = y_1 e x2=y2x_2 = y_2, então x1+x2=y1+y2x_1+x_2 = y_1+y_2. Escalar: se x=yx = y, então cx=cycx = cy. Logo WW é subespaço. Base: {(1,1,0),(0,0,1)}\{(1,1,0), (0,0,1)\}, dim = 2.
  5. Ex. 111.5ApplicationAnswer key

    O conjunto {(x,y)∈R2:x≥0}\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x \geq 0\} (semiplano direito) é subespaço de R2\mathbb{R}^2?

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    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §S Exercício S.M10 · p. 159
    Show solution
    W={(x,y):x≥0}W = \{(x,y): x \geq 0\} contém 0\mathbf{0} e é fechado por soma (soma de não-negativos é não-negativo), mas falha por escalar: tome v=(1,0)∈Wv = (1, 0) \in W e c=−1c = -1. Então cv=(−1,0)cv = (-1, 0) e a primeira componente é −1<0-1 < 0, logo cv∉Wcv \notin W.
  6. Ex. 111.6ApplicationAnswer key

    Os polinômios de grau exatamente 3 formam subespaço de P3\mathcal{P}_3?

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    Solve onlineHefferon — Linear Algebra · §2.I Exemplo 2.I.2.3 · p. 117
    Show solution
    O conjunto dos polinômios de grau exatamente 3 não é subespaço: tome p=x3+xp = x^3 + x e q=−x3+1q = -x^3 + 1, ambos de grau 3. Mas p+q=x+1p + q = x + 1, que tem grau 1. Logo o conjunto não é fechado por soma. Também não contém o polinômio zero (grau indefinido ou −∞-\infty).
  7. Ex. 111.7Application

    Os polinômios pares (com p(−x)=p(x)p(-x) = p(x)) formam subespaço de P4\mathcal{P}_4? Se sim, encontre uma base.

    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §S Exercício S.C21 · p. 159
    Show solution
    Polinômios pares: p(−x)=p(x)p(-x) = p(x). Zero: 0(−x)=00(-x) = 0. Soma de pares é par. Escalar de par é par. Logo é subespaço. Em P4\mathcal{P}_4, uma base é {1,x2,x4}\{1, x^2, x^4\}, dim = 3. Em geral, base {1,x2,x4,…}\{1, x^2, x^4, \ldots\}.
  8. Ex. 111.8Application

    Mostre que as matrizes simétricas n×nn \times n formam subespaço de Mn×n\mathcal{M}_{n \times n}. Para n=3n = 3, qual é a dimensão?

    Hefferon — Linear Algebra · §2.I Exercício 2.I.1.7 · p. 112
    Show solution
    Matrizes simétricas: AT=AA^T = A. Zero: 0T=0\mathbf{0}^T = \mathbf{0}. Soma: (A+B)T=AT+BT=A+B(A+B)^T = A^T + B^T = A + B. Escalar: (cA)T=cAT=cA(cA)^T = cA^T = cA. É subespaço. Para n=3n=3, base com as 3 matrizes EiiE_{ii} e as 3 matrizes Eij+EjiE_{ij}+E_{ji} para i<ji < j; dim = 6 = 3⋅4/23 \cdot 4 / 2.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Defina W={A∈Mn×n:AT=A}W = \{A \in \mathcal{M}_{n\times n} : A^T = A\}.
    2. Zero: a matriz nula tem 0T=0\mathbf{0}^T = \mathbf{0}, logo 0∈W\mathbf{0} \in W.
    3. Soma: se AT=AA^T = A e BT=BB^T = B, então (A+B)T=AT+BT=A+B(A+B)^T = A^T + B^T = A + B.
    4. Escalar: se AT=AA^T = A e c∈Rc \in \mathbb{R}, então (cA)T=cAT=cA(cA)^T = cA^T = cA.
    5. Curiosidade: toda matriz se escreve como soma de simétrica e antissimétrica: A=A+AT2+A−AT2A = \frac{A+A^T}{2} + \frac{A-A^T}{2}. Isso é uma decomposição em subespaços complementares de Mn×n\mathcal{M}_{n\times n}.
  9. Ex. 111.9Application

    As matrizes n×nn \times n invertíveis formam subespaço de Mn×n\mathcal{M}_{n \times n}?

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    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §S Exercício S.M11 · p. 159
    Show solution
    O conjunto das matrizes invertíveis não é subespaço porque não contém a matriz zero (a matriz nula não é invertível). Ademais, a soma de duas invertíveis pode não ser invertível: I+(−I)=0I + (-I) = 0, que não é invertível.
  10. Ex. 111.10Application

    Mostre que o conjunto solução de Ax=0Ax = \mathbf{0} (o núcleo de AA) é subespaço de Rn\mathbb{R}^n.

    Beezer — A First Course in Linear Algebra · §S Teorema TSS · p. 156
    Show solution
    Seja ker⁡(A)={x∈Rn:Ax=0}\ker(A) = \{x \in \mathbb{R}^n : Ax = \mathbf{0}\}. Zero: A0=0A\mathbf{0} = \mathbf{0}. Soma: se Ax=0Ax = \mathbf{0} e Ay=0Ay = \mathbf{0}, então A(x+y)=Ax+Ay=0A(x+y) = Ax + Ay = \mathbf{0}. Escalar: A(cx)=c(Ax)=c0=0A(cx) = c(Ax) = c\mathbf{0} = \mathbf{0}. Portanto ker⁡(A)\ker(A) é subespaço.
  11. Ex. 111.11Application

    Se VV e WW são subespaços de um mesmo espaço, V∩WV \cap W é subespaço? E V∪WV \cup W?

    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right · §1B Exercício 3 · p. 20
    Show solution
    Interseção: zero está em ambos, logo em V∩WV \cap W. Se u,v∈V∩Wu, v \in V \cap W, então u+vu+v está em VV (pois VV é subespaço) e em WW (pois WW é subespaço), logo u+v∈V∩Wu+v \in V \cap W. Escalar: análogo. União: em R2\mathbb{R}^2, tome V={(x,0)}V = \{(x,0)\} e W={(0,y)}W = \{(0,y)\}. Ambos subespaços. Mas (1,0)∈V∪W(1,0) \in V \cup W e (0,1)∈V∪W(0,1) \in V \cup W, porém (1,1)∉V∪W(1,1) \notin V \cup W.
  12. Ex. 111.12Understanding

    Mostre que W={f∈C[0,1]:f(0)=0 e f(1)=0}W = \{f \in C[0,1] : f(0) = 0 \text{ e } f(1) = 0\} é subespaço de C[0,1]C[0,1] (funções contínuas em [0,1][0,1]).

    Hefferon — Linear Algebra · §2.I Exercício 2.I.2.19 · p. 126
    Show solution
    Verifique zero: a função zero f(x)=0f(x) = 0 satisfaz f(0)=0f(0) = 0 e f(1)=0f(1) = 0. Soma: se f(0)=g(0)=0f(0)=g(0)=0 e f(1)=g(1)=0f(1)=g(1)=0, então (f+g)(0)=0(f+g)(0) = 0 e (f+g)(1)=0(f+g)(1) = 0. Escalar: se f(0)=f(1)=0f(0)=f(1)=0, então (cf)(0)=cf(0)=0(cf)(0) = cf(0) = 0. Logo é subespaço de C[0,1]C[0,1].
  13. Ex. 111.13Understanding

    O conjunto das soluções de Ax=bAx = b (com b≠0b \neq \mathbf{0}) é subespaço de Rn\mathbb{R}^n?

    Solve onlineHefferon — Linear Algebra · §2.I Exercício 2.I.1.9 · p. 112
    Show solution
    Se Ax=bAx = b e Ay=bAy = b, então A(x+y)=Ax+Ay=b+b=2b≠bA(x+y) = Ax + Ay = b + b = 2b \neq b (supondo b≠0b \neq 0). Logo x+yx + y não é solução de Ax=bAx = b: o conjunto solução não é fechado por soma. Também o vetor zero satisfaz A0=0≠bA\mathbf{0} = \mathbf{0} \neq b. Portanto não é subespaço.
  14. Ex. 111.14Proof

    Demonstre que a⋅0=0a \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0} para todo escalar a∈Ka \in K usando apenas os 8 axiomas.

    Axler — Linear Algebra Done Right · §1A Proposição 1.5 · p. 17
    Show solution
    Queremos mostrar a⋅0=0a \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0} para todo escalar a∈Ka \in K. Pelo axioma 3, 0+0=0\mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0}. Pelo axioma 5 (distributividade vetorial): a(0+0)=a0+a0a(\mathbf{0} + \mathbf{0}) = a\mathbf{0} + a\mathbf{0}. Logo a0=a0+a0a\mathbf{0} = a\mathbf{0} + a\mathbf{0}. Adicionando −(a0)-(a\mathbf{0}) em ambos os lados: 0=a0\mathbf{0} = a\mathbf{0}. ■\blacksquare
  15. Ex. 111.15Application

    Escreva (3,4)(3, 4) como combinação linear de (1,0)(1, 0) e (0,1)(0, 1).

    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §LC Exercício LC.C10 · p. 42
    Show solution
    Queremos c1(1,0)+c2(0,1)=(3,4)c_1(1,0) + c_2(0,1) = (3,4). Sistema: c1=3c_1 = 3, c2=4c_2 = 4. Resposta imediata pois {(1,0),(0,1)}\{(1,0),(0,1)\} é a base canônica de R2\mathbb{R}^2 — as coordenadas de (3,4)(3,4) nessa base são os próprios componentes.
  16. Ex. 111.16Application

    Escreva (5,7)(5, 7) como combinação linear de (1,1)(1, 1) e (1,−1)(1, -1).

    Solve onlineHefferon — Linear Algebra · §2.I Exercício 2.I.3.15 · p. 133
    Show solution
    Sistema: c1(1,1)+c2(1,−1)=(5,7)c_1(1,1) + c_2(1,-1) = (5,7). Equações: c1+c2=5c_1+c_2 = 5 e c1−c2=7c_1-c_2 = 7. Somando: 2c1=12⇒c1=62c_1 = 12 \Rightarrow c_1 = 6. Subtraindo: 2c2=−2⇒c2=−12c_2 = -2 \Rightarrow c_2 = -1. Verificação: 6(1,1)+(−1)(1,−1)=(6,6)+(−1,1)=(5,7)6(1,1)+(-1)(1,-1) = (6,6)+(-1,1) = (5,7).
  17. Ex. 111.17Application

    O conjunto {(1,2), (2,4)}\{(1, 2),\ (2, 4)\} é linearmente independente em R2\mathbb{R}^2?

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    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §LI Exercício LI.C15 · p. 95
    Show solution
    Teste: c1(1,2)+c2(2,4)=(0,0)c_1(1,2) + c_2(2,4) = (0,0). Sistema: c1+2c2=0c_1 + 2c_2 = 0 e 2c1+4c2=02c_1 + 4c_2 = 0 — segunda é duas vezes a primeira, logo solução não-trivial: c1=2,c2=−1c_1 = 2, c_2 = -1. O conjunto é LD pois (2,4)=2(1,2)(2,4) = 2(1,2).
  18. Ex. 111.18ApplicationAnswer key

    Verifique se {(1,2,3), (4,5,6), (7,8,9)}\{(1, 2, 3),\ (4, 5, 6),\ (7, 8, 9)\} é linearmente independente em R3\mathbb{R}^3.

    Solve onlineHefferon — Linear Algebra · §2.III Exercício 2.III.1.9 · p. 153
    Show solution
    Monte a matriz com os vetores como linhas e calcule o determinante: det⁡(123456789)\det \begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}. Desenvolvendo: 1(45−48)−2(36−42)+3(32−35)=−3+12−9=01(45-48) - 2(36-42) + 3(32-35) = -3+12-9 = 0. Det = 0: vetores LD. De fato (4,5,6)−(1,2,3)=(3,3,3)(4,5,6) - (1,2,3) = (3,3,3) e (7,8,9)−(1,2,3)=(6,6,6)=2(3,3,3)(7,8,9) - (1,2,3) = (6,6,6) = 2(3,3,3): terceiro vetor é combinação linear dos dois primeiros.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Monte a matriz AA com os três vetores como linhas.
    2. Calcule det⁡A\det A pelo método de Sarrus ou expansão de cofatores: det⁡A=1(5⋅9−6⋅8)−2(4⋅9−6⋅7)+3(4⋅8−5⋅7)\det A = 1(5\cdot9-6\cdot8) - 2(4\cdot9-6\cdot7) + 3(4\cdot8-5\cdot7).
    3. Compute: =1(45−48)−2(36−42)+3(32−35)=−3+12−9=0= 1(45-48) - 2(36-42) + 3(32-35) = -3+12-9 = 0.
    4. Det = 0 implica que as linhas são LD. Verifique: (7,8,9)=2(4,5,6)−(1,2,3)(7,8,9) = 2(4,5,6) - (1,2,3).
    5. Macete: três vetores em R3\mathbb{R}^3 são LI se e somente se o determinante da matriz formada por eles como linhas (ou colunas) é não-nulo.
  19. Ex. 111.19Application

    Mostre que {1,x,x2}\{1, x, x^2\} é base de P2\mathcal{P}_2. Qual é a dimensão de P2\mathcal{P}_2?

    Beezer — A First Course in Linear Algebra · §B Exemplo B.BP · p. 178
    Show solution
    LI: c0+c1x+c2x2=0c_0 + c_1 x + c_2 x^2 = 0 como polinômio nulo implica c0=c1=c2=0c_0 = c_1 = c_2 = 0 (polinômio zero tem todos coeficientes zero). Geração: todo p=a0+a1x+a2x2∈P2p = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 \in \mathcal{P}_2 é combinação linear a0⋅1+a1⋅x+a2⋅x2a_0 \cdot 1 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2. Logo {1,x,x2}\{1, x, x^2\} é base e dim P2=3\mathcal{P}_2 = 3.
  20. Ex. 111.20Application

    Determine se {(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)}\{(1,1,0),\ (1,0,1),\ (0,1,1)\} é base de R3\mathbb{R}^3.

    Solve onlineHefferon — Linear Algebra · §2.III Exercício 2.III.2.13 · p. 158
    Show solution
    Escalone a matriz com linhas (1,1,0)(1,1,0), (1,0,1)(1,0,1), (0,1,1)(0,1,1). Det = 1(0−1)−1(1−0)+0=−1−1=−2≠01(0-1)-1(1-0)+0 = -1-1 = -2 \neq 0. Portanto os três vetores são LI e formam base de R3\mathbb{R}^3.
  21. Ex. 111.21ApplicationAnswer key

    Encontre as coordenadas de (2,3,5)(2, 3, 5) na base {(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)}\{(1,1,0),\ (1,0,1),\ (0,1,1)\} de R3\mathbb{R}^3.

    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §B Exercício B.C15 · p. 184
    Show solution
    Resolva c1(1,1,0)+c2(1,0,1)+c3(0,1,1)=(2,3,5)c_1(1,1,0)+c_2(1,0,1)+c_3(0,1,1) = (2,3,5). Sistema: c1+c2=2c_1+c_2=2, c1+c3=3c_1+c_3=3, c2+c3=5c_2+c_3=5. Soma das 3 equações: 2(c1+c2+c3)=102(c_1+c_2+c_3)=10, logo c1+c2+c3=5c_1+c_2+c_3=5. Então: c3=5−2=3c_3=5-2=3, c2=5−3=2c_2=5-3=2, c1=5−5=0c_1=5-5=0. Coordenadas: (0,2,3)(0,2,3).
  22. Ex. 111.22ApplicationAnswer key

    Qual é a dimensão do espaço gerado por {(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0), (0,0,1)}\{(1,0,0),\ (0,1,0),\ (1,1,0),\ (0,0,1)\} em R3\mathbb{R}^3?

    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §D Exercício D.C10 · p. 201
    Show solution
    O conjunto é {(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1)}\{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1)\}. O vetor (1,1,0)=(1,0,0)+(0,1,0)(1,1,0) = (1,0,0)+(0,1,0) é combinação dos outros dois, logo LD. Removendo-o, temos {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} — base canônica, LI. Dim = 3.
  23. Ex. 111.23Application

    Qual é a dimensão do espaço das matrizes simétricas 3×33 \times 3?

    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right · §2A Exercício 2 · p. 33
    Show solution
    Matrizes simétricas 3×33 \times 3: determinadas por a11,a12,a13,a22,a23,a33a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{22}, a_{23}, a_{33} — 6 entradas livres. Base: E11,E22,E33,E12+E21,E13+E31,E23+E32E_{11}, E_{22}, E_{33}, E_{12}+E_{21}, E_{13}+E_{31}, E_{23}+E_{32}. Dim = 6 = 3⋅4/23 \cdot 4 / 2.
  24. Ex. 111.24Application

    Qual é a dimensão de P5\mathcal{P}_5 (polinômios de grau ≤5\leq 5)?

    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §D Exemplo D.DSP · p. 197
    Show solution
    P5\mathcal{P}_5 tem base {1,x,x2,x3,x4,x5}\{1, x, x^2, x^3, x^4, x^5\} — 6 elementos LI que geram todo polinômio de grau ≤5\leq 5. Dim = 6. Em geral, dim Pn=n+1\mathcal{P}_n = n+1.
  25. Ex. 111.25Understanding

    As soluções de y′′+y=0y'' + y = 0 formam espaço de qual dimensão? Exiba uma base.

    Solve onlineHefferon — Linear Algebra · §2.III Exercício 2.III.3.21 · p. 162
    Show solution
    Soluções de y′′+y=0y'' + y = 0: o espaço solução tem dimensão = ordem da EDO = 2. Uma base: {sin⁡x,cos⁡x}\{\sin x, \cos x\}. LI: se c1sin⁡x+c2cos⁡x=0c_1 \sin x + c_2 \cos x = 0 para todo xx, tome x=0x=0: c2=0c_2 = 0, tome x=π/2x=\pi/2: c1=0c_1 = 0. Geração: solução geral é Acos⁡x+Bsin⁡xA\cos x + B\sin x pelo método característico (r2+1=0r^2+1=0).
  26. Ex. 111.26UnderstandingAnswer key

    Mostre que se dim⁡V=n\dim V = n (finito), então todo subespaço próprio de VV tem dimensão estritamente menor que nn.

    Axler — Linear Algebra Done Right · §2B Exercício 5 · p. 38
    Show solution
    Se dim V=nV = n, qualquer subespaço próprio WW tem dim <n< n. Prova: toda base de WW é LI em VV. Um conjunto LI em VV tem no máximo nn elementos. Se dim⁡W=n\dim W = n, então a base de WW tem nn elementos LI que geram um subespaço de dim nn em VV, o que implica W=VW = V, contradizendo WW próprio. Logo dim⁡W<n\dim W < n.
  27. Ex. 111.27Modeling

    Embeddings de palavras Word2Vec vivem em R300\mathbb{R}^{300}. Qual é a dimensão deste espaço? Por que 300 e não o tamanho do vocabulário?

    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §D Exercício D.M20 · p. 204
    Show solution
    Em Word2Vec, cada palavra é representada como vetor em R300\mathbb{R}^{300}. A dimensão 300 é escolhida empiricamente: grande o suficiente para capturar relações semânticas ("rei" - "homem" + "mulher" ≈ "rainha"), pequena o suficiente para não ser esparsa. A dimensão do espaço de embeddings é 300 independentemente do vocabulário (que pode ter 100 mil palavras): o vocabulário dá os vetores, não a dimensão.
  28. Ex. 111.28ModelingAnswer key

    Portfólio Markowitz com 5 ativos vive em R5\mathbb{R}^5. O subespaço dos portfólios com ∑wi=1\sum w_i = 1 tem qual dimensão?

    Solve onlineHefferon — Linear Algebra · §2.I Exercício 2.I.2.22 · p. 128
    Show solution
    Portfólio de 5 ativos: w=(w1,…,w5)∈R5w = (w_1, \ldots, w_5) \in \mathbb{R}^5. Restrição: ∑wi=1\sum w_i = 1. O conjunto S={w∈R5:∑wi=1}S = \{w \in \mathbb{R}^5 : \sum w_i = 1\} é um affine subspace (hiperplano afim), não subespaço (não contém 0). Mas o espaço de variações de portfólio (= espaço tangente) é {d∈R5:∑di=0}\{d \in \mathbb{R}^5 : \sum d_i = 0\} — este sim é subespaço, de dimensão 4.
    Show step-by-step (with the why)
    1. O conjunto de portfólios totalmente investidos é S={w∈R5:w1+w2+w3+w4+w5=1}S = \{w \in \mathbb{R}^5 : w_1+w_2+w_3+w_4+w_5=1\}.
    2. SS não é subespaço (o portfólio zero, w=0w=0, tem soma 0, não 1).
    3. O espaço de variações admissíveis é W={d:∑di=0}W = \{d : \sum d_i = 0\} — uma equação homogênea em R5\mathbb{R}^5.
    4. Dim W=5−1=4W = 5 - 1 = 4: a restrição linear remove 1 grau de liberdade.
    5. Aplicação: no modelo de Markowitz, otimização de portfólio acontece neste espaço 4-dimensional de variações. A tangência da fronteira eficiente é um problema no espaço 4D, não 5D.
  29. Ex. 111.29Modeling

    Estado de robô: posição (x,y)(x, y), orientação θ\theta, velocidades (x˙,y˙,θ˙)(\dot{x}, \dot{y}, \dot{\theta}). Qual a dimensão do espaço de estado?

    Solve onlineHefferon — Linear Algebra · §2.I Exercício 2.I.2.21 · p. 127
    Show solution
    Estado de robô móvel: posição (x,y)(x, y) e orientação θ\theta formam configuração em R2×S1\mathbb{R}^2 \times S^1 (espaço não-linear). O espaço de estado aumentado com velocidades (x˙,y˙,θ˙)(\dot{x}, \dot{y}, \dot{\theta}) é localmente aproximado por R6\mathbb{R}^6 — 6 coordenadas independentes. Dim do espaço de estado = 6.
  30. Ex. 111.30Modeling

    Sinal de áudio a 44 100 Hz, 10 s. Qual a dimensão do espaço sem compressão? Como a compressão MP3 explora a dimensão efetiva?

    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §B Exercício B.M20 · p. 186
    Show solution
    Sinal de áudio a 44 100 Hz por 10 s: 44100×10=44100044100 \times 10 = 441000 amostras. Vive em R441000\mathbb{R}^{441000}. Compressão MP3: mudança de base para domínio de frequência (Fourier modificado, MDCT). A maioria das componentes de alta frequência tem amplitude desprezível (psicoacústica) e é descartada. Bit-rate 128 kbps guarda tipicamente 10–15 coeficientes por bloco de 576 amostras.
  31. Ex. 111.31ModelingAnswer key

    Imagem MNIST 28×2828 \times 28 vive em R784\mathbb{R}^{784}. PCA revela ~100 componentes relevantes. O que isso diz sobre a "dimensão efetiva" do subespaço das imagens de dígitos?

    Solve onlineHefferon — Linear Algebra · §2.I Exercício 2.I.2.23 · p. 128
    Show solution
    Imagem MNIST: 28×28=78428 \times 28 = 784 pixels, cada um em [0,255][0, 255]. Espaço ambiente: R784\mathbb{R}^{784}. PCA sobre o conjunto MNIST revela que ~95% da variância está em ~100 componentes principais. A "dimensão intrínseca" efetiva é muito menor que 784 — as imagens de dígitos manuscritos ocupam uma variedade de baixa dimensão no espaço ambiente de dim 784.
  32. Ex. 111.32Modeling

    Em controle linear, x∈Rnx \in \mathbb{R}^n e u∈Rmu \in \mathbb{R}^m. Qual a dimensão do espaço de pares (x,u)(x, u)? O que é o subespaço controlável?

    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §D Exercício D.M21 · p. 205
    Show solution
    Em controle: estado x∈Rnx \in \mathbb{R}^n, entrada u∈Rmu \in \mathbb{R}^m. O par (x,u)(x, u) vive em Rn×Rm≅Rn+m\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \cong \mathbb{R}^{n+m}, dimensão n+mn+m. O subespaço controlável de Rn\mathbb{R}^n é C=im[B,AB,A2B,…,An−1B]\mathcal{C} = \text{im}[B, AB, A^2B, \ldots, A^{n-1}B] — dim ≤n\leq n. Sistema totalmente controlável: dim C=n\mathcal{C} = n.
  33. Ex. 111.33Modeling

    Em finanças quantitativas, payoffs replicáveis com nn ativos em NN cenários formam subespaço de RN\mathbb{R}^N. O que mercado "completo" significa em termos de dimensão?

    Solve onlineHefferon — Linear Algebra · §2.I Exercício 2.I.2.20 · p. 127
    Show solution
    Payoffs replicáveis: com nn ativos em NN cenários, os payoffs atingíveis formam o subespaço im(D)⊆RN\text{im}(D) \subseteq \mathbb{R}^N, onde DD é a matriz de payoffs (dimensão N×nN \times n). Dim do subespaço = posto de DD. Mercado completo: posto = NN (todo payoff é replicável). Mercado incompleto: posto <N< N (existem riscos não-hedgeáveis). Black-Scholes supõe mercado completo em tempo contínuo.
  34. Ex. 111.34Understanding

    Qual é a dimensão do espaço das matrizes antissimétricas n×nn \times n (com AT=−AA^T = -A)? Para n=3n = 3, exiba uma base.

    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right · §2A Exercício 4 · p. 33
    Show solution
    Matrizes antissimétricas: AT=−AA^T = -A, logo entradas diagonais nulas e aij=−ajia_{ij} = -a_{ji} para i≠ji \neq j. Entradas livres: os n(n−1)/2n(n-1)/2 elementos acima da diagonal. Para n=3n=3: dim = 3, base {E12−E21,E13−E31,E23−E32}\{E_{12}-E_{21}, E_{13}-E_{31}, E_{23}-E_{32}\}.
  35. Ex. 111.35Understanding

    Enuncie e demonstre (esboço) a fórmula de Grassmann: dim⁡(U+W)=dim⁡U+dim⁡W−dim⁡(U∩W)\dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W).

    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §D Teorema DSFB · p. 199
    Show solution
    A fórmula de Grassmann: dim(U+W)=(U+W) = dimUU + dimWW - dim(U∩W)(U \cap W). Prova (esboço): tome base de U∩WU \cap W, estenda para base de UU e separadamente para base de WW. Reunindo, obtenha base de U+WU+W e conte os vetores. A cardinalidade bate com a fórmula.
  36. Ex. 111.36Proof

    Usando apenas os 8 axiomas, demonstre que (−1)⋅v=−v(-1) \cdot v = -v para todo v∈Vv \in V.

    Solve onlineAxler — Linear Algebra Done Right · §1A Proposição 1.4 · p. 16
    Show solution
    Queremos: (−1)⋅v=−v(-1) \cdot v = -v para todo v∈Vv \in V. Pelo axioma 6: (−1+1)v=(−1)v+1⋅v(-1+1)v = (-1)v + 1 \cdot v. Mas −1+1=0-1+1=0 em KK, e 0⋅v=00 \cdot v = \mathbf{0} (provado no Exemplo 5). Logo 0=(−1)v+v\mathbf{0} = (-1)v + v. Adicionando (−v)(-v): −v=(−1)v-v = (-1)v. ■\blacksquare
  37. Ex. 111.37ProofAnswer key

    Demonstre: se SS é linearmente dependente, existe vj∈Sv_j \in S tal que span(S)=span(S∖{vj})\text{span}(S) = \text{span}(S \setminus \{v_j\}).

    Beezer — A First Course in Linear Algebra · §LI Teorema DLDS · p. 88
    Show solution
    Suponha S={v1,…,vk}S = \{v_1, \ldots, v_k\} LD com ∑civi=0\sum c_i v_i = \mathbf{0}, cj≠0c_j \neq 0. Então vj=−1cj∑i≠jcivi∈span(S∖{vj})v_j = -\frac{1}{c_j}\sum_{i\neq j}c_i v_i \in \text{span}(S \setminus \{v_j\}). Logo span(S)=span(S∖{vj})\text{span}(S) = \text{span}(S \setminus \{v_j\}): remover vjv_j não muda o span. Iterando, remove-se todos os dependentes até restar conjunto LI com mesmo span. ■\blacksquare
  38. Ex. 111.38Proof

    Demonstre: se dim⁡V=n\dim V = n e WW é subespaço próprio (W⊊VW \subsetneq V), então dim⁡W≤n−1\dim W \leq n-1.

    Axler — Linear Algebra Done Right · §2A Teorema 2.23 · p. 35
    Show solution
    Seja VV com dim nn e WW subespaço. Toda base de WW é LI em VV. Um conjunto LI em espaço de dim nn tem no máximo nn vetores, logo dim W≤nW \leq n. Se dim W=nW = n, a base de WW tem nn vetores LI — e em VV de dim nn, nn vetores LI formam base de VV (Teorema Steinitz). Logo span da base de WW = VV, ou seja W=VW = V, contradizendo subespaço próprio.
  39. Ex. 111.39ChallengeAnswer key

    Exiba uma base explícita de M2×2\mathcal{M}_{2 \times 2} (matrizes 2×22\times2) e calcule a dimensão.

    Solve onlineHefferon — Linear Algebra · §2.III Exercício 2.III.4.29 · p. 166
    Show solution
    Em M2×2\mathcal{M}_{2\times2}, a base canônica é {E11,E12,E21,E22}\{E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}\} onde EijE_{ij} tem 1 na posição (i,j)(i,j) e zeros demais. São 4 matrizes LI que geram M2×2\mathcal{M}_{2\times2}. Logo dim = 4. Toda matriz (abcd)=aE11+bE12+cE21+dE22\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = aE_{11}+bE_{12}+cE_{21}+dE_{22}.
  40. Ex. 111.40Challenge

    Argumente que F(R,R)\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) (todas as funções reais) tem dimensão infinita. Use funções com suporte em ponto único.

    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §D Exercício D.M30 · p. 205
    Show solution
    A dimensão de F(R,R)\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) (funções reais) é infinita (não-enumerável). Para ver que é infinita, basta exibir conjuntos LI de tamanho arbitrário: para cada a∈Ra \in \mathbb{R}, defina δa(x)=1\delta_a(x) = 1 se x=ax = a, else 0. Qualquer conjunto finito de tais funções é LI (suporte disjunto). Logo não existe base finita. (A base de Hamel existe pelo Lema de Zorn mas é não-construtiva.)

Fontes

  • A First Course in Linear Algebra — Robert A. Beezer · 2022 · EN · GNU FDL · §VS, §S, §LC, §LI, §B, §D. Fonte primária dos exercícios.
  • Linear Algebra — Jim Hefferon · 2020 · EN · CC-BY-SA · Capítulo 2 (Vector Spaces), §2.I–2.III. Fonte dos exemplos e exercícios do cap. 2.
  • Linear Algebra Done Right — Sheldon Axler · 2024 · 4ª ed · EN · CC-BY-NC · Capítulos 1–2. Fonte das demonstrações e porta formal.

Updated on 2026-05-06 · Author(s): Clube da Matemática

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