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Lição 81 — Antiderivada e integral indefinida

F tal que F'(x) = f(x). Constante de integração C. Tabela de antiderivadas elementares. Linearidade. Verificação por derivação.

Used in: 3.º ano do EM (17 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 6 · Equiv. Klasse 12 alemã Integral

\int x^n\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)

Antiderivada: operação inversa da derivada. F é antiderivada de f se $F'(x) = f(x)$ . A constante C surge porque qualquer constante adicional some ao derivar.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Antiderivada e integral indefinida

"Se $F$ é uma antiderivada de $f$ em um intervalo $I$ , então a antiderivada mais geral de $f$ em $I$ é $F(x) + C$ , onde $C$ é uma constante arbitrária." — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.10

Tabela de antiderivadas elementares

Tabela das antiderivadas elementares. Verificar cada linha derivando o resultado: deve retornar a coluna da esquerda.

Linearidade da antiderivação

"A regra da soma e as regras dos múltiplos constantes da integração mostram que a antiderivada de qualquer combinação linear de funções é a combinação linear das antiderivadas." — APEX Calculus, §5.1

Exemplos resolvidos

Example— 3· Condição inicial determina C (intermediário)

Problema. Encontre $F(x)$ sabendo que $F'(x) = x^2 - 4x + 1$ e $F(2) = -3$ .

Estratégia. Integrar para obter a família geral; usar a condição $F(2) = -3$ para determinar $C$ .

Resolução. $F(x) = \int (x^2 - 4x + 1)\, dx = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + x + C.$

Condição inicial: $F(2) = \frac{8}{3} - 8 + 2 + C = -3$ , logo $C = -3 - \frac{8}{3} + 6 = 3 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3}$ .

$F(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + x + \frac{1}{3}.$

Verificação. $F'(x) = x^2 - 4x + 1$ e $F(2) = \frac{8}{3} - 8 + 2 + \frac{1}{3} = 3 - 8 + 2 = -3$ . Confere.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §4.10, Exercício 4.284 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Expansão algébrica antes de integrar (intermediário)

Problema. Calcule $\displaystyle\int x(3x - 1)^2\, dx$ .

Estratégia. Expandir o quadrado e distribuir antes de aplicar a regra da potência. (Substituição funcionaria, mas expansão é mais direta aqui.)

Resolução. $(3x-1)^2 = 9x^2 - 6x + 1$ , então $x(3x-1)^2 = 9x^3 - 6x^2 + x$ .

$\int (9x^3 - 6x^2 + x)\, dx = \frac{9x^4}{4} - 2x^3 + \frac{x^2}{2} + C.$

Verificação. Derivando: $9x^3 - 6x^2 + x = x(9x^2 - 6x + 1) = x(3x-1)^2$ . Confere.

Fonte. APEX Calculus, §5.1, Exercício 5.1.15 — CC-BY-NC.

Exercise list

36 exercises · 9 with worked solution (25%)

Application 28Understanding 2Modeling 3Challenge 2Proof 1

Ex. 81.1Application
Calcule $\int x^4\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.1 · 1 · p. 213
Show solution
Regra da potência: $\int x^4\, dx = \frac{x^5}{5} + C$ . Verificação: $\left(\frac{x^5}{5}\right)' = x^4$ .
Ex. 81.2Application
Calcule $\int x^7\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.1 · 2 · p. 213
Show solution
Regra da potência com $n = 7$ : $\int x^7\, dx = \frac{x^8}{8} + C$ .
Ex. 81.3ApplicationAnswer key
Calcule $\int \frac{1}{x^3}\, dx$ .
APEX Calculus · §5.1 · 5 · p. 213
Show solution
Reescreva $x^{-3}$ e aplique a regra: $\int x^{-3}\, dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$ .
Ex. 81.4Application
Calcule $\int \sqrt{x}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.1 · 7 · p. 213
Show solution
Reescreva como $x^{1/2}$ : $\int \sqrt{x}\, dx = \int x^{1/2}\, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Reescreva: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ . A regra da potência exige a forma $x^n$ explícita.
2. Aplique $\int x^n\, dx = x^{n+1}/(n+1)$ com $n = 1/2$ : expoente vira $3/2$ , denomina por $3/2$ .
3. Simplifique: dividir por $3/2$ é multiplicar por $2/3$ . Resultado: $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$ .
4. Verifique derivando: $\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} = x^{1/2} = \sqrt{x}$ . Confere.
Macete: radicais sempre viram potências fracionárias antes de integrar.
Ex. 81.5Application
Calcule $\int e^x\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.10 · 4.271 · p. 474
Show solution
Tabela direta: $\int e^x\, dx = e^x + C$ .
Ex. 81.6Application
Calcule $\int \cos x\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.10 · 4.273 · p. 474
Show solution
Tabela direta: $\int \cos x\, dx = \sin x + C$ .
Ex. 81.7Application
Calcule $\int \sin x\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.10 · 4.272 · p. 474
Show solution
Tabela direta: $\int \sin x\, dx = -\cos x + C$ . O sinal negativo é crítico: esquecer é o erro mais comum aqui.
Ex. 81.8Application
Calcule $\int \sec^2 x\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.1 · 11 · p. 213
Show solution
Tabela: $\int \sec^2 x\, dx = \tan x + C$ .
Ex. 81.9Application
Calcule $\int (5x^2 - 3x + 2)\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.1 · 13 · p. 213
Show solution
Linearidade: $\int (5x^2 - 3x + 2)\, dx = 5 \cdot \frac{x^3}{3} - 3 \cdot \frac{x^2}{2} + 2x + C = \frac{5x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x + C$ .
Ex. 81.10Application
Calcule $\int (7x^3 + 2\sin x - e^x)\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.1 · 17 · p. 213
Show solution
Linearidade: $\int (7x^3 + 2\sin x - e^x)\, dx = \frac{7x^4}{4} - 2\cos x - e^x + C$ .
Ex. 81.11ApplicationAnswer key
Calcule $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.1 · 9 · p. 213
Show solution
Reescreva: $x^{-1/2}$ . Integral: $\int x^{-1/2}\, dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C$ .
Ex. 81.12Application
Calcule $\int \frac{3x^2 - x}{x}\, dx$ para $x \neq 0$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.10 · 4.278 · p. 474
Show solution
Divida a fração: $\frac{3x^2 - x}{x} = 3x - 1$ . Integral: $\int (3x - 1)\, dx = \frac{3x^2}{2} - x + C$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Simplifique o integrando: $\frac{3x^2 - x}{x} = \frac{3x^2}{x} - \frac{x}{x} = 3x - 1$ .
2. Aplique linearidade e regra da potência: $\int (3x - 1)\, dx = \frac{3x^2}{2} - x + C$ .
3. Verifique: $\left(\frac{3x^2}{2} - x\right)' = 3x - 1 = \frac{3x^2 - x}{x}$ . Confere.
Macete: simplifique frações antes de integrar — nunca tente integrar numerador e denominador separadamente.
Ex. 81.13Application
Calcule $\int (x+1)^2\, dx$ (expanda antes de integrar).
Solve online APEX Calculus · §5.1 · 19 · p. 213
Show solution
Expanda: $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ . Integral: $\frac{x^3}{3} + x^2 + x + C$ .
Ex. 81.14Application
Calcule $\int \frac{4}{x^2}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.1 · 6 · p. 213
Show solution
Reescreva: $\frac{4}{x^2} = 4x^{-2}$ . Integral: $4 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{4}{x} + C$ .
Ex. 81.15Application
Calcule $\int \frac{1}{x}\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.10 · 4.276 · p. 474
Show solution
Tabela: $\int \frac{1}{x}\, dx = \ln|x| + C$ . O módulo é necessário para cobrir $x < 0$ também.
Ex. 81.16ApplicationAnswer key
Calcule $\int (2e^x + 3\cos x)\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.10 · 4.280 · p. 474
Show solution
Linearidade + tabela: $\int (2e^x + 3\cos x)\, dx = 2e^x + 3\sin x + C$ .
Ex. 81.17Application
Calcule $\int \sqrt{x}(x + 1)\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.1 · 21 · p. 213
Show solution
Expanda: $x^{1/2}(x + 1) = x^{3/2} + x^{1/2}$ . Integral: $\frac{x^{5/2}}{5/2} + \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} + C$ .
Ex. 81.18ApplicationAnswer key
Calcule $\int \frac{1}{1+x^2}\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.10 · 4.282 · p. 474
Show solution
Tabela: $\int \frac{1}{1+x^2}\, dx = \arctan x + C$ .
Ex. 81.19Application
Calcule $\int \left(\frac{4}{x} + 2e^x - \cos x\right) dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.1 · 23 · p. 213
Show solution
Linearidade: $\int (4x^{-1} + 2e^x - \cos x)\, dx = 4\ln|x| + 2e^x - \sin x + C$ .
Ex. 81.20Application
Calcule $\int \frac{x^3 - 4x + 1}{x^2}\, dx$ para $x > 0$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.10 · 4.283 · p. 475
Show solution
Reescreva: $\frac{x^3 - 4x + 1}{x^2} = x - 4x^{-1} + x^{-2}$ . Integral: $\frac{x^2}{2} - 4\ln|x| - x^{-1} + C$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Divida cada parcela do numerador por $x^2$ : $x^3/x^2 = x$ , $4x/x^2 = 4/x$ , $1/x^2 = x^{-2}$ .
2. Integre separadamente: $\int x\, dx = x^2/2$ , $\int (-4/x)\, dx = -4\ln|x|$ , $\int x^{-2}\, dx = -x^{-1}$ .
3. Some: $\frac{x^2}{2} - 4\ln|x| - \frac{1}{x} + C$ .
Macete: toda fração com polinômio no numerador e monômio no denominador — divida antes de integrar.
Ex. 81.21ApplicationAnswer key
Calcule $\int \tan^2 x\, dx$ usando a identidade $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ .
Solve online APEX Calculus · §5.1 · 27 · p. 214
Show solution
Use identidade: $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ . Integral: $\int (\sec^2 x - 1)\, dx = \tan x - x + C$ .
Ex. 81.22Modeling
Uma bola é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial de 20 m/s a partir do chão. Usando $a(t) = -9{,}8\ \text{m/s}^2$ e condições iniciais $v(0) = 20$ e $h(0) = 0$ , determine $v(t)$ e $h(t)$ , e calcule a altura máxima.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.10 · 4.292 · p. 476
Show solution
Integre a aceleração: $v(t) = \int (-9{,}8)\, dt = -9{,}8t + C$ . Com $v(0) = 20$ : $C = 20$ , logo $v(t) = 20 - 9{,}8t$ m/s. Integre para posição: $h(t) = 20t - 4{,}9t^2 + C_2$ . Com $h(0) = 0$ : $h(t) = 20t - 4{,}9t^2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. A aceleração da gravidade é $a = -9{,}8$ m/s² (negativo pois aponta para baixo).
2. Velocidade: $v(t) = \int a\, dt = -9{,}8t + C_1$ . Condição $v(0) = 20$ dá $C_1 = 20$ .
3. Altura: $h(t) = \int v(t)\, dt = 20t - 4{,}9t^2 + C_2$ . Condição $h(0) = 0$ dá $C_2 = 0$ .
4. A bola sobe enquanto $v(t) > 0$ : $20 - 9{,}8t > 0 \Rightarrow t < 2{,}04\text{ s}$ . Altura máxima: $h(2{,}04) \approx 20{,}4\text{ m}$ .
Observação: no modelo sem resistência do ar, as condições iniciais determinam completamente a trajetória.
Ex. 81.23Modeling
Uma carteira de investimentos tem taxa de crescimento $r(t) = 800 + 50t$ reais por mês (onde $t$ é o número de meses). Sabendo que o valor inicial é R$ 5.000, escreva $V(t)$ e calcule o valor ao final de 6 meses.
Solve online Active Calculus · §4.1 · 4.1.3 · p. 245
Show solution
Taxa de crescimento da carteira: $r(t) = 800 + 50t$ reais por mês. Valor acumulado: $V(t) = \int (800 + 50t)\, dt = 800t + 25t^2 + C$ . Com $V(0) = 5000$ : $V(t) = 800t + 25t^2 + 5000$ . Em 6 meses: $V(6) = 4800 + 900 + 5000 = \text{R\$ }10700$ .
Ex. 81.24Understanding
Qual é a antiderivada geral de $f(x) = x^2 - 4x$ ?
Select the correct option
x³/3 − 2x² + Cx³ − 4x + C3x² − 4 + Cx³/3 − 4x + C
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.10 · 4.274 · p. 474
Show solution
Linearidade: $\int (x^2 - 4x)\, dx = \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + C$ . Opção B: derivou em vez de integrar. Opção C: derivou $x^2 - 4x$ . Opção D: errou o coeficiente de $x^2$ (integrou $4x$ como $4x$ em vez de $2x^2$ ).
Ex. 81.25Understanding
Qual é a antiderivada correta de $f(x) = 1/x$ ?
Select the correct option
ln|x| + C−1/x² + Cln x + C (sem módulo)1/x + C
Select an option first
Solve online APEX Calculus · §5.1 · conceitual · p. 212
Show solution
A resposta correta é A: $\int (1/x)\, dx = \ln|x| + C$ . O módulo é necessário pois $(\ln|x|)' = 1/x$ tanto para $x > 0$ quanto para $x < 0$ . Opção B: derivou em vez de integrar ( $(x^{-1})' = -x^{-2}$ ). Opção C: falta o módulo — incorreta para $x < 0$ . Opção D: confundiu com a derivada de $\ln x$ .
Ex. 81.26ApplicationAnswer key
Encontre $F(x)$ tal que $F'(x) = 3x^2 - 5$ e $F(1) = 2$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.10 · 4.285 · p. 475
Show solution
Integre: $F(x) = x^3 - 5x + C$ . Use $F(1) = 2$ : $1 - 5 + C = 2 \Rightarrow C = 6$ . Logo $F(x) = x^3 - 5x + 6$ .
Ex. 81.27ApplicationAnswer key
Encontre $F(x)$ tal que $F'(x) = \cos x$ e $F(0) = 3$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.10 · 4.286 · p. 475
Show solution
Integre: $F(x) = \sin x + C$ . Use $F(0) = 3$ : $0 + C = 3$ , logo $F(x) = \sin x + 3$ .
Ex. 81.28Application
Um objeto tem velocidade $v(t) = 2t - 1$ m/s e posição inicial $s(0) = 4$ m. Encontre $s(t)$ e calcule a posição em $t = 3$ s.
Solve online Active Calculus · §4.1 · 4.1.5 · p. 246
Show solution
Integre a velocidade: $s(t) = \int (2t - 1)\, dt = t^2 - t + C$ . Com $s(0) = 4$ : $C = 4$ . Posição: $s(t) = t^2 - t + 4$ . Em $t = 3$ : $s(3) = 9 - 3 + 4 = 10$ m.
Show step-by-step (with the why)
1. Reconheça que velocidade é a derivada da posição: $s'(t) = v(t) = 2t - 1$ .
2. Integre: $s(t) = t^2 - t + C$ .
3. Use a condição $s(0) = 4$ : $0 - 0 + C = 4 \Rightarrow C = 4$ .
4. Calcule $s(3) = 9 - 3 + 4 = 10$ m.
Curiosidade: este problema é o protótipo de cinemática — toda física de movimento começa assim.
Ex. 81.29Application
Encontre $F(x)$ tal que $F'(x) = e^x + 1$ e $F(0) = 5$ .
Solve online APEX Calculus · §5.1 · 31 · p. 214
Show solution
Integre: $F(x) = e^x + x + C$ . Use $F(0) = 5$ : $1 + 0 + C = 5 \Rightarrow C = 4$ . Logo $F(x) = e^x + x + 4$ .
Ex. 81.30ApplicationAnswer key
Calcule $\int (2x+1)^2\, dx$ expandindo antes de integrar.
Solve online APEX Calculus · §5.1 · 25 · p. 213
Show solution
Reescreva: $(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$ . Integral: $\frac{4x^3}{3} + 2x^2 + x + C$ .
Ex. 81.31ModelingAnswer key
Um veículo parte do repouso ( $v(0) = 0$ , $s(0) = 0$ ) com aceleração $a(t) = -6t + 12\ \text{m/s}^2$ . Encontre $v(t)$ e $s(t)$ , e calcule a posição em $t = 4$ s.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.10 · 4.291 · p. 476
Show solution
Aceleração: $a(t) = -6t + 12$ . Velocidade: $v(t) = \int a\, dt = -3t^2 + 12t + C_1$ . Com $v(0) = 0$ : $C_1 = 0$ . Posição: $s(t) = -t^3 + 6t^2 + C_2$ . Com $s(0) = 0$ : $s(t) = -t^3 + 6t^2$ . Em $t = 4$ : $s(4) = -64 + 96 = 32$ m.
Ex. 81.32Application
Calcule $\int (5\sin x - 3\cos x + 2)\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.1 · 18 · p. 213
Show solution
$\int (5\sin x - 3\cos x + 2)\, dx = -5\cos x - 3\sin x + 2x + C$ .
Ex. 81.33Application
Calcule $\int \cos^2 x\, dx$ usando a identidade $\cos^2 x = (1 + \cos 2x)/2$ .
Solve online APEX Calculus · §5.1 · 29 · p. 214
Show solution
Use identidade $\cos^2 x = (1 + \cos 2x)/2$ : $\int \cos^2 x\, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$ .
Ex. 81.34Challenge
Calcule $\int \frac{x^4 - 1}{x^2 + 1}\, dx$ simplificando o integrando antes.
Solve online APEX Calculus · §5.1 · 33 · p. 214
Show solution
Divida: $\frac{x^4 - 1}{x^2 + 1} = x^2 - 1$ (pois $x^4 - 1 = (x^2-1)(x^2+1)$ ). Integral: $\frac{x^3}{3} - x + C$ .
Ex. 81.35Challenge
Calcule $\int \sin^2 x\, dx$ usando identidade de ângulo duplo.
Solve online APEX Calculus · §5.1 · 28 · p. 214
Show solution
Use $\sin^2 x = (1 - \cos 2x)/2$ : $\int \sin^2 x\, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$ .
Ex. 81.36Proof
Mostre que, em um intervalo $I$ , duas antiderivadas de uma mesma função $f$ diferem por uma constante.
OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.10 · Teorema 4.12 · p. 470
Show solution
Suponha que $F$ e $G$ são ambas antiderivadas de $f$ em intervalo $I$ , i.e., $F'(x) = G'(x) = f(x)$ para todo $x \in I$ . Considere $h = F - G$ . Então $h'(x) = F'(x) - G'(x) = 0$ em $I$ . Pelo Corolário do Teorema do Valor Médio, uma função com derivada zero num intervalo é constante. Logo $h(x) = C$ para alguma constante $C \in \mathbb{R}$ , ou seja, $F(x) = G(x) + C$ para todo $x \in I$ .

Fontes

Active Calculus — Boelkins · §4.1 · CC-BY-NC-SA. Motivação física da antiderivada; conexão velocidade-posição.
APEX Calculus — Hartman et al. · §5.1 · CC-BY-NC. Tabela de antiderivadas, exercícios de drill, linearidade.
OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · CC-BY-NC-SA. Corolário do TVM, condição inicial, erros comuns, exercícios de modelagem.