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Lição 83 — Teorema Fundamental do Cálculo

TFC Parte 1 e Parte 2. A ponte entre derivada e integral. Regra de Leibniz para limites variáveis. Newton e Leibniz, séc. XVII.

Used in: 3.º ano do EM (17 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 6 · Equiv. Klasse 12 alemã

\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a), \quad F'(x) = f(x)

Teorema Fundamental do Cálculo (TFC2): a integral definida de f em [a, b] é simplesmente a diferença da antiderivada F nos extremos. Une derivada e integral numa só equação.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Enunciado e demonstrações

TFC — Parte 1: derivar a integral

"O TFC1 afirma que a derivada da função definida por uma integral com limite superior variável é igual ao integrando avaliado no limite superior." — OpenStax Calculus Vol. 1, §5.3

Demonstração do TFC1. Por definição de derivada:

$G'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{G(x+h) - G(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t)\, dt.$

Pelo Teorema do Valor Médio Integral, existe $c_h$ entre $x$ e $x+h$ tal que $\int_x^{x+h} f(t)\, dt = f(c_h) \cdot h$ . Logo:

$G'(x) = \lim_{h \to 0} f(c_h).$

Como $c_h \to x$ quando $h \to 0$ e $f$ é contínua, $f(c_h) \to f(x)$ . Portanto $G'(x) = f(x)$ . $\square$

TFC — Parte 2: calcular a integral

Demonstração do TFC2. Pelo TFC1, $G(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ satisfaz $G' = f$ . Como $F' = f$ também, $F - G$ tem derivada zero em $(a, b)$ , logo $F(x) = G(x) + C$ para alguma constante $C$ . Então:

$F(b) - F(a) = [G(b) + C] - [G(a) + C] = G(b) - G(a) = \int_a^b f - 0 = \int_a^b f. \quad \square$

Regra de Leibniz (limites variáveis)

Exemplos resolvidos

Example— 1· TFC2 aplicado a polinomio (basico)

Problema. Calcule $\displaystyle\int_1^3 (x^2 + 2x - 1)\, dx$ .

Estratégia. Achar antiderivada pelo TFC2: $F(x)$ com $F'(x) = x^2 + 2x - 1$ . Depois $F(3) - F(1)$ .

Resolução. $F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - x.$

$\int_1^3 (x^2 + 2x - 1)\, dx = F(3) - F(1) = \left(9 + 9 - 3\right) - \left(\frac{1}{3} + 1 - 1\right) = 15 - \frac{1}{3} = \frac{44}{3}.$

Verificação. $F'(x) = x^2 + 2x - 1$ . Confere.

Fonte. APEX Calculus, §5.4, Exemplo 5.4.2 — CC-BY-NC.

Example— 3· TFC1 para derivar integral (intermediario)

Problema. Calcule $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_1^{x^3} \cos(t^2)\, dt$ .

Estratégia. TFC1 combinado com regra da cadeia: o limite superior é $v(x) = x^3$ .

Resolução. $\frac{d}{dx}\int_1^{x^3} \cos(t^2)\, dt = \cos((x^3)^2) \cdot (x^3)' = \cos(x^6) \cdot 3x^2.$

Verificação. A regra geral de Leibniz: $\frac{d}{dx}\int_a^{v(x)} f(t)\, dt = f(v(x)) \cdot v'(x)$ . Aplicada com $f(t) = \cos(t^2)$ , $v(x) = x^3$ : $\cos(x^6) \cdot 3x^2$ . Confere.

Fonte. APEX Calculus, §5.4, Exemplo 5.4.5 — CC-BY-NC.

Example— 4· Regra de Leibniz com ambos os limites variaveis (intermediario)

Problema. Calcule $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt$ para $x > 0$ .

Estratégia. Regra de Leibniz geral: $f(v(x))v'(x) - f(u(x))u'(x)$ com $v(x) = x^2$ , $u(x) = x$ , $f(t) = 1/t$ .

Resolução. $\frac{d}{dx}\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt = \frac{1}{x^2} \cdot 2x - \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{2}{x} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x}.$

Verificação. Alternativamente: $\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt = \ln(x^2) - \ln x = 2\ln x - \ln x = \ln x$ . Derivando: $(\ln x)' = 1/x$ . Confere.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §5.3, Exercício 5.132 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Area entre curva e eixo com mudanca de sinal (desafio)

Problema. Calcule a área geométrica total entre $y = x^2 - 4$ e o eixo $x$ em $[-3, 3]$ .

Estratégia. A função $f(x) = x^2 - 4$ é negativa em $(-2, 2)$ e positiva fora. Dividir o intervalo nos zeros para somar áreas com sinal correto.

Resolução. Zeros: $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ .

Em $[-3, -2]$ e $[2, 3]$ : $f \geq 0$ . Em $[-2, 2]$ : $f \leq 0$ .

$A = \int_{-3}^{-2}(x^2-4)\, dx + \left|\int_{-2}^{2}(x^2-4)\, dx\right| + \int_2^3(x^2-4)\, dx.$

$F(x) = x^3/3 - 4x$ .

$F(-2) - F(-3) = (-8/3 + 8) - (-9 + 12) = 16/3 - 3 = 7/3$ .
$F(2) - F(-2) = (8/3 - 8) - (-8/3 + 8) = -32/3$ . Valor absoluto: $32/3$ .
$F(3) - F(2) = (9 - 12) - (8/3 - 8) = -3 + 16/3 = 7/3$ .

Área total: $7/3 + 32/3 + 7/3 = 46/3$ .

Verificação. A integral $\int_{-3}^3 (x^2 - 4)\, dx = F(3) - F(-3) = (9-12) - (-9+12) = -3 - 3 = -6 \neq 46/3$ . A integral definida difere da área geométrica quando $f$ muda de sinal.

Fonte. Active Calculus, §4.4, Exercício 4.4.5 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 2Modeling 3Challenge 4Proof 1

Ex. 83.1Application
Calcule $\int_0^3 2x\, dx$ pelo TFC2.
Solve online APEX Calculus · §5.4 · 5.4.1 · p. 248
Show solution
Antiderivada: $F(x) = x^2$ . $\int_0^3 2x\, dx = F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$ .
Ex. 83.2Application
Calcule $\int_{-1}^2 x^3\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.4 · 5.4.3 · p. 248
Show solution
Antiderivada: $F(x) = x^4/4$ . $\int_{-1}^2 x^3\, dx = 16/4 - 1/4 = 15/4$ .
Ex. 83.3Application
Calcule $\int_0^\pi \sin x\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.4 · 5.4.5 · p. 248
Show solution
Antiderivada: $F(x) = -\cos x$ . $\int_0^\pi \sin x\, dx = -\cos\pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2$ .
Ex. 83.4Application
Calcule $\int_0^2 e^x\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.3 · 5.3.141 · p. 534
Show solution
Antiderivada: $F(x) = e^x$ . $\int_0^2 e^x\, dx = e^2 - e^0 = e^2 - 1 \approx 6{,}389$ .
Ex. 83.5Application
Calcule $\int_0^2 (x^2 - 4x + 1)\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.3 · 5.3.143 · p. 534
Show solution
Antiderivada: $F(x) = x^3/3 - 2x^2 + x$ . $F(2) - F(0) = (8/3 - 8 + 2) - 0 = 8/3 - 6 = -10/3$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Integre monômio a monômio: $\int x^2\, dx = x^3/3$ , $\int (-4x)\, dx = -2x^2$ , $\int 1\, dx = x$ .
2. Antiderivada: $F(x) = x^3/3 - 2x^2 + x$ .
3. Avalie: $F(2) = 8/3 - 8 + 2 = 8/3 - 6$ . $F(0) = 0$ .
4. Resultado: $8/3 - 6 = -10/3$ . O valor negativo indica que a função fica majoritariamente abaixo do eixo em $[0,2]$ .
Macete: calcule $F(b)$ e $F(a)$ separadamente antes de subtrair, para evitar erros de sinal.
Ex. 83.6Application
Calcule $\int_1^e \frac{1}{x}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.4 · 5.4.9 · p. 248
Show solution
Antiderivada: $F(x) = \ln x$ . $\int_1^e \frac{dx}{x} = \ln e - \ln 1 = 1$ .
Ex. 83.7Application
Se $G(x) = \int_0^x (t^2 + 1)\, dt$ , calcule $G'(x)$ pelo TFC1.
Solve online APEX Calculus · §5.4 · 5.4.15 · p. 249
Show solution
TFC1 diretamente: $G'(x) = x^2 + 1$ .
Ex. 83.8Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^2} \sin t\, dt$ .
Solve online APEX Calculus · §5.4 · 5.4.17 · p. 249
Show solution
TFC1 com substituição: limite superior é $x^2$ . $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} \sin t\, dt = \sin(x^2) \cdot 2x$ .
Ex. 83.9Application
Calcule $\int_0^{\pi/4} \sec^2 x\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.3 · 5.3.147 · p. 534
Show solution
Antiderivada: $F(x) = \tan x$ . $\int_0^{\pi/4} \sec^2 x\, dx = \tan(\pi/4) - \tan 0 = 1 - 0 = 1$ .
Ex. 83.10Application
Calcule $\int_1^9 \sqrt{x}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.4 · 5.4.7 · p. 248
Show solution
Antiderivada: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2}$ . $\int_1^9 \sqrt{x}\, dx = \frac{2}{3}(27) - \frac{2}{3}(1) = 18 - \frac{2}{3} = \frac{52}{3}$ .
Ex. 83.11Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^3} \sqrt{1 + t^2}\, dt$ .
Solve online APEX Calculus · §5.4 · 5.4.19 · p. 249
Show solution
Leibniz: $f(t) = \sqrt{1+t^2}$ , limite superior $v(x) = x^3$ . Resultado: $\sqrt{1 + x^6} \cdot 3x^2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique: $f(t) = \sqrt{1+t^2}$ , $v(x) = x^3$ , $v'(x) = 3x^2$ .
2. TFC1 + cadeia: $\frac{d}{dx}\int_a^{v(x)} f(t)\, dt = f(v(x)) \cdot v'(x)$ .
3. Substitua: $f(x^3) \cdot 3x^2 = \sqrt{1 + (x^3)^2} \cdot 3x^2 = 3x^2\sqrt{1+x^6}$ .
Macete: o TFC1 sempre "tira a integral" e "avalia o integrando no limite superior" — a regra da cadeia cuida do resto.
Ex. 83.12Application
Calcule $\int_0^\pi (\cos x + \sin x)\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.3 · 5.3.149 · p. 534
Show solution
Antiderivada: $F(x) = \sin x - \cos x$ . $\int_0^{\pi} (\cos x + \sin x)\, dx = (0 - (-1)) - (0 - 1) = 1 + 1 = 2$ .
Ex. 83.13Application
Calcule $\int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1)\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.4 · 5.4.11 · p. 248
Show solution
Antiderivada: $F(x) = x^5/5 - 2x^3/3 + x$ . $F(1) - F(0) = 1/5 - 2/3 + 1 = 3/15 - 10/15 + 15/15 = 8/15$ .
Ex. 83.14UnderstandingAnswer key
Se $G(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\, dt$ , qual é $G'(x)$ pelo TFC1?
Select the correct option
G'(x) = f(x)G'(x) = f(b) − f(a)G'(x) = ∫f(x) dxG'(x) = 0
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.3 · conceitual · p. 533
Show solution
Pelo TFC1: se $G(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ , então $G'(x) = f(x)$ . Opção B confunde com a fórmula do TFC2. Opção C é uma tautologia circular (integral da integral). Opção D só seria correta se $f = 0$ .
Ex. 83.15Understanding
Se $F'(x) = f(x)$ , qual é a expressão correta para $\int_a^b f(x)\, dx$ pelo TFC2?
Select the correct option
F(a) − F(b)F(b) − F(a)f(b) − f(a)∫ F(x) dx
Select an option first
Solve online APEX Calculus · §5.4 · conceitual · p. 246
Show solution
TFC2: $\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$ . A ordem importa: $F(b) - F(a)$ , não $F(a) - F(b)$ . Opção C confunde antiderivada $F$ com integrando $f$ . Opção D é a integral de $F$ , não de $f$ .
Ex. 83.16ApplicationAnswer key
Calcule $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^1 t^3\, dt$ .
Solve online APEX Calculus · §5.4 · 5.4.21 · p. 249
Show solution
Leibniz com limite inferior variável: $\frac{d}{dx}\int_x^1 t^3\, dt = -\frac{d}{dx}\int_1^x t^3\, dt = -x^3$ .
Ex. 83.17Application
Calcule $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.3 · 5.3.151 · p. 534
Show solution
Antiderivada: $F(x) = \arctan x$ . $\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} = \arctan 1 - \arctan 0 = \pi/4 - 0 = \pi/4$ .
Ex. 83.18ModelingAnswer key
Um objeto tem velocidade $v(t) = t^2 - 4t + 3$ m/s. Calcule o deslocamento líquido e a distância total percorrida de $t = 0$ a $t = 4$ s.
Solve online Active Calculus · §4.4 · 4.4.5 · p. 285
Show solution
Deslocamento = $\int_0^4 v(t)\, dt = \int_0^4 (t^2 - 4t + 3)\, dt = [t^3/3 - 2t^2 + 3t]_0^4 = (64/3 - 32 + 12) - 0 = 64/3 - 20 = 4/3$ m. Distância percorrida (considerando mudança de sinal de $v$ ): zeros em $t = 1$ e $t = 3$ . Calcule separado: $[0,1]$ : $4/3$ , $[1,3]$ : $-4/3$ (valor abs: $4/3$ ), $[3,4]$ : $4/3$ . Distância = $4/3 + 4/3 + 4/3 = 4$ m.
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule o deslocamento líquido: $\int_0^4 v(t)\, dt = [t^3/3 - 2t^2 + 3t]_0^4 = 4/3$ m.
2. Para distância total, encontre os zeros de $v(t) = t^2 - 4t + 3 = (t-1)(t-3)$ : $t = 1$ e $t = 3$ .
3. Integre em cada trecho com sinal fixo e some os valores absolutos.
Observação: deslocamento e distância percorrida são diferentes quando o objeto reverte o sentido de movimento.
Ex. 83.19ApplicationAnswer key
Calcule $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^{x^2} e^{t^2}\, dt$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.3 · 5.3.157 · p. 534
Show solution
Leibniz com ambos os limites variáveis: $f(x^2) \cdot 2x - f(x) \cdot 1 = e^{x^4} \cdot 2x - e^{x^2}$ .
Ex. 83.20Application
Calcule $\int_0^2 (2x^3 - 3x^2)\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.4 · 5.4.13 · p. 248
Show solution
Antiderivada: $F(x) = x^4/2 - x^3$ . $F(2) - F(0) = (8 - 8) - 0 = 0$ . Interpretação: as regiões positivas e negativas se cancelam.
Ex. 83.21Modeling
O custo marginal de produção de uma fábrica é $C'(q) = 2q + 50$ reais por unidade. Calcule o custo total de produzir as primeiras 100 unidades.
Solve online Active Calculus · §4.4 · 4.4.3 · p. 284
Show solution
Custo total = $\int_0^{100} C'(q)\, dq = \int_0^{100} (2q + 50)\, dq = [q^2 + 50q]_0^{100} = 10000 + 5000 = 15000$ . Custo de produzir as primeiras 100 unidades: R\$ 15.000.
Ex. 83.22ChallengeAnswer key
Defina $G(x) = \int_1^x (2t - 1)\, dt$ . Calcule $G(x)$ explicitamente, verifique que $G'(x) = 2x - 1$ , e avalie $G(1)$ e $G(3)$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.3 · 5.3.135 · p. 533
Show solution
Calcule a integral: $G(x) = \int_1^x (2t - 1)\, dt = [t^2 - t]_1^x = x^2 - x - (1 - 1) = x^2 - x$ . Verifique: $G'(x) = 2x - 1$ . Confere com o integrando (TFC1). Além disso: $G(1) = 0$ (integral com limites iguais). $G(3) = 9 - 3 = 6$ .
Ex. 83.23ApplicationAnswer key
Sabendo que $\int_0^5 f(x)\, dx = 12$ e $\int_0^2 f(x)\, dx = 5$ , calcule $\int_2^5 f(x)\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.3 · 5.3.137 · p. 533
Show solution
$\int_2^5 f = \int_0^5 f - \int_0^2 f = 12 - 5 = 7$ .
Ex. 83.24Challenge
Calcule a área da região delimitada por $y = x^2 - x$ e o eixo $x$ em $[0, 1]$ .
Solve online Active Calculus · §4.4 · 4.4.7 · p. 285
Show solution
Zeros de $x^2 - x = x(x-1)$ : em $x = 0$ e $x = 1$ . Em $[0,1]$ , $x^2 - x \leq 0$ . Área = $|\int_0^1 (x^2 - x)\, dx| = |[x^3/3 - x^2/2]_0^1| = |1/3 - 1/2| = 1/6$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Encontre onde a parábola cruza o eixo: $x(x-1) = 0 \Rightarrow x = 0, 1$ .
2. No intervalo $(0, 1)$ , teste $x = 1/2$ : $(1/2)^2 - 1/2 = -1/4 < 0$ . Função negativa, então área = valor absoluto da integral.
3. Calcule: $\int_0^1 (x^2 - x)\, dx = 1/3 - 1/2 = -1/6$ . Área = $1/6$ .
Curiosidade: a área delimitada por $y = x^2 - x$ e o eixo $x$ vale exatamente $1/6$ — resultado clássico de pré-cálculo.
Ex. 83.25Application
Calcule $\int_{-2}^2 (x^2 - 1)\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.4 · 5.4.5-var · p. 248
Show solution
Antiderivada: $F(x) = x^3/3 - x$ . $\int_{-2}^2 (x^2 - 1)\, dx = F(2) - F(-2) = (8/3 - 2) - (-8/3 + 2) = 8/3 - 2 + 8/3 - 2 = 16/3 - 4 = 4/3$ .
Ex. 83.26Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^x \cos(t^2)\, dt$ sem calcular a antiderivada.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.3 · 5.3.139 · p. 533
Show solution
TFC1: $\frac{d}{dx}\int_0^x \cos(t^2)\, dt = \cos(x^2)$ . Nenhum cálculo de antiderivada necessário (não existe antiderivada elementar para $\cos(t^2)$ ).
Ex. 83.27ModelingAnswer key
A potência elétrica de uma fábrica varia conforme $P(t) = 3 + 0{,}5t$ kW ( $t$ em horas). Calcule a energia consumida nas 12 primeiras horas de operação e o custo ao valor de R$ 0,85 por kWh.
Solve online Active Calculus · §4.4 · 4.4.2 · p. 284
Show solution
Energia elétrica consumida = $\int_0^{12} P(t)\, dt = \int_0^{12} (3 + 0{,}5t)\, dt = [3t + 0{,}25t^2]_0^{12} = 36 + 36 = 72$ kWh. Custo: $72 \times 0{,}85 = 61{,}20$ reais.
Ex. 83.28Challenge
Calcule $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{\sin x}^{\cos x} t^2\, dt$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.3 · 5.3.159 · p. 534
Show solution
Usando a regra de Leibniz: $\frac{d}{dx}\int_{\sin x}^{\cos x} t^2\, dt = \cos^2 x \cdot (-\sin x) - \sin^2 x \cdot \cos x = -\cos^2 x \sin x - \sin^2 x \cos x = -\sin x \cos x(\cos x + \sin x)$ .
Ex. 83.29Challenge
Calcule o valor médio de $f(x) = x^2$ em $[0, 3]$ e encontre o ponto $c$ garantido pelo TVM integral.
Solve online APEX Calculus · §5.4 · 5.4.25 · p. 250
Show solution
Valor médio: $\frac{1}{3}\int_0^3 x^2\, dx = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ . Pelo TVM: $c^2 = 3 \Rightarrow c = \sqrt{3} \approx 1{,}73 \in (0,3)$ .
Ex. 83.30Proof
Prove o TFC2 a partir do TFC1: se $F' = f$ e $f$ é contínua em $[a,b]$ , então $\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$ .
Active Calculus · §4.4 · demonstração · p. 280
Show solution
Queremos provar TFC2: se $F' = f$ e $f$ é contínua em $[a,b]$ , então $\int_a^b f = F(b) - F(a)$ . Pelo TFC1, $G(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ satisfaz $G' = f = F'$ . Logo $(F - G)' = 0$ em $(a,b)$ . Pelo corolário do TVM, $F(x) - G(x) = C$ (constante). Como $G(a) = 0$ , temos $F(a) - G(a) = C \Rightarrow C = F(a)$ . Logo $G(x) = F(x) - F(a)$ . Em $x = b$ : $G(b) = \int_a^b f = F(b) - F(a)$ .

Fontes

Active Calculus — Boelkins · §4.4 · CC-BY-NC-SA. Motivação física, atividade de descoberta das duas partes do TFC.
APEX Calculus — Hartman et al. · §5.4 · CC-BY-NC. Demonstrações de TFC1 e TFC2, regra de Leibniz, exercícios variados.
OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · CC-BY-NC-SA. Contexto histórico Newton/Leibniz, exemplos de diferenciação de integrais.