v1 · padrão canônico

Lição 85 — Integração por partes

∫ u dv = uv − ∫ v du. Inversa da regra do produto. Heurística LIATE para escolher u. Método tabular para polinômio × função.

Used in: Cálculo II (Brasil) · Equiv. Math III japonês · Equiv. Analysis LK alemão · AP Calculus BC (EUA)

\int u\, dv = uv - \int v\, du

Integração por partes: inversa da regra do produto. Escolha u que simplifica ao derivar e dv que tem antiderivada v conhecida. Heurística LIATE: Logarítmica, Inversa-trig, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial — a primeira que aparece vira u.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Demonstração, LIATE e método tabular

Derivação da fórmula

Definition· Integração por partes

Sejam $u(x)$ e $v(x)$ funções deriváveis em $[a, b]$ , com $u'$ e $v'$ contínuas. A regra do produto afirma:

$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).$

Integrando ambos os lados de $a$ a $b$ e aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:

$[u(x)v(x)]_a^b = \int_a^b u'(x)v(x)\, dx + \int_a^b u(x)v'(x)\, dx.$

Reorganizando:

$\int_a^b u(x)v'(x)\, dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b v(x)u'(x)\, dx.$

Em notação diferencial ( $dv = v'(x)\, dx$ , $du = u'(x)\, dx$ ):

\int u\, dv = uv - \int v\, du.

what this means · Fórmula de integração por partes — forma indefinida.

"The formula for integration by parts comes from the product rule for differentiation: if $u$ and $v$ are both functions of $x$ , then $(uv)' = u'v + uv'$ . Integrating both sides and rearranging gives $\int u\, dv = uv - \int v\, du$ ." — Active Calculus §5.4

Heurística LIATE

"A useful heuristic for deciding which function to call $u$ in integration by parts is the acronym LIATE, which stands for Logarithmic, Inverse trigonometric, Algebraic, Trigonometric, and Exponential functions." — OpenStax Calculus Vol. 2, §3.1

Método tabular (DI Method)

Para integrais da forma $\int P(x) f(x)\, dx$ com $P$ polinômio:

Método DI para $\int x^2 e^x\, dx$ . Somas diagonais com sinais alternados. Pare quando D = 0.

Theorem· Truque: integral que volta a si mesma

Para $I = \int e^x \cos x\, dx$ :

Aplica partes com $u = \cos x$ , $dv = e^x dx$ : $I = e^x \cos x + \int e^x \sin x\, dx$ .

Aplica partes novamente com $u = \sin x$ : $I = e^x \cos x + e^x \sin x - I$ .

Portanto $2I = e^x(\cos x + \sin x)$ , e:

I = \frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C.

what this means · Resultado do truque quando a integral original reaparece após duas aplicações.

Condição: o truque funciona quando a segunda aplicação reproduz a integral original com o mesmo sinal (e não com sinal invertido, que daria identidade nula).

Exemplos resolvidos

Example— 3· Polinômio x² com tabela DI (intermediário)

Problema. Calcule $\int x^2 e^x\, dx$ pelo método tabular.

Estratégia. Polinômio de grau 2 × exponencial: método DI (derivar $x^2$ até zero, integrar $e^x$ repetidamente).

Resolução.

D	I	Sinal
$x^2$	$e^x$	+
$2x$	$e^x$	−
$2$	$e^x$	+
$0$	—	—

Somando produtos diagonais com sinais alternados:

$\int x^2 e^x\, dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C.$

Verificação. Derivando $e^x(x^2 - 2x + 2)$ : $e^x(x^2 - 2x + 2) + e^x(2x - 2) = e^x x^2$ . Correto.

Fonte. APEX Calculus §6.2, Example 6.2.4 — CC-BY-NC.

Example— 4· Truque: integral que volta (eˣ cos x)

Problema. Calcule $I = \int e^x \cos x\, dx$ .

Estratégia. Duas aplicações de partes — a integral reaparecerá. Isolar $I$ .

Resolução.

1.ª aplicação: $u = \cos x$ , $dv = e^x\, dx$ , $du = -\sin x\, dx$ , $v = e^x$ .

$I = e^x \cos x + \int e^x \sin x\, dx.$

2.ª aplicação: $u = \sin x$ , $dv = e^x\, dx$ , $du = \cos x\, dx$ , $v = e^x$ .

$I = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x\, dx = e^x \cos x + e^x \sin x - I.$

Portanto $2I = e^x(\cos x + \sin x)$ :

$I = \frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C.$

Verificação. Derivando: $\frac{e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x)}{2} = \frac{2e^x \cos x}{2} = e^x \cos x$ . Correto.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.1, Example 3.3 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Integral definida com partes (desafio)

Problema. Calcule $\int_0^\pi x \sin x\, dx$ .

Estratégia. LIATE: $u = x$ , $dv = \sin x\, dx$ . Aplicar partes e avaliar nos limites.

Resolução.

$du = dx$ , $v = -\cos x$ .

$\int_0^\pi x \sin x\, dx = [-x \cos x]_0^\pi + \int_0^\pi \cos x\, dx.$

$[-x \cos x]_0^\pi = -\pi\cos\pi - 0 = -\pi(-1) = \pi$ .

$\int_0^\pi \cos x\, dx = [\sin x]_0^\pi = 0 - 0 = 0$ .

Portanto $\int_0^\pi x \sin x\, dx = \pi + 0 = \pi$ .

Verificação. O resultado $\pi$ é clássico — confirma-se numericamente ( $\approx 3{,}1416$ ). A assimetria do sinal de $x\sin x$ em $[0, \pi]$ (sempre positiva) garante resultado positivo.

Fonte. Active Calculus §5.4, Exercise 5.4.3 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

45 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 30Modeling 8Challenge 5Proof 2

Ex. 85.1Application
Calcule $\int x e^x\, dx$ .
Solve online Active Calculus · §5.4 · 5.4.2 · p. Activity 5.4.2
Show solution
Escolha $u = x$ , $dv = e^x dx$ . Então $du = dx$ , $v = e^x$ . Aplicando a fórmula: $xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C = e^x(x-1) + C$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique o produto $x \cdot e^x$ . LIATE: $x$ é Algébrico, $e^x$ é Exponencial. Logo $u = x$ .
2. Então $dv = e^x dx$ . Calcule: $du = dx$ , $v = e^x$ .
3. Aplique $\int u\, dv = uv - \int v\, du$ : $xe^x - \int e^x dx$ .
4. Resolva a integral restante: $\int e^x dx = e^x$ .
5. Resultado: $xe^x - e^x + C = e^x(x-1) + C$ . Macete: verifique sempre derivando o resultado.
Ex. 85.2Application
Calcule $\int x \sin x\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.2 · 6.2.1 · p. 290
Show solution
$u = x$ , $dv = \sin x\, dx$ , $du = dx$ , $v = -\cos x$ . Resultado: $-x\cos x + \int \cos x\, dx = -x\cos x + \sin x + C$ .
Ex. 85.3Application
Calcule $\int x \cos x\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.2 · 6.2.2 · p. 290
Show solution
$u = x$ , $dv = \cos x\, dx$ , $v = \sin x$ . Resultado: $x\sin x - \int \sin x\, dx = x\sin x + \cos x + C$ .
Ex. 85.4Application
Calcule $\int \ln x\, dx$ .
Solve online Active Calculus · §5.4 · 5.4.3 · p. Activity 5.4.3
Show solution
LIATE: $u = \ln x$ , $dv = dx$ . Então $du = dx/x$ , $v = x$ . Resultado: $x\ln x - \int 1\, dx = x\ln x - x + C$ .
Show step-by-step (with the why)
1. $\ln x$ não tem fator acompanhante. Use o truque: $dv = dx$ (integra trivialmente para $v = x$ ).
2. $u = \ln x$ , $du = dx/x$ .
3. Aplique a fórmula: $x\ln x - \int x \cdot (1/x)\, dx = x\ln x - \int 1\, dx$ .
4. Resultado: $x\ln x - x + C$ . Macete: sempre que o integrando é só um logaritmo ou arco-trigonométrico, use dv = dx.
Ex. 85.5Application
Calcule $\int x^2 e^x\, dx$ . Aplique partes duas vezes ou use o método tabular.
Solve online APEX Calculus · §6.2 · 6.2.4 · p. 292
Show solution
Aplique partes duas vezes ou use tabela DI. $u = x^2$ , $dv = e^x dx$ . Após dois ciclos: $x^2 e^x - 2xe^x + 2e^x + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$ .
Ex. 85.6Application
Calcule $\int x^2 \sin x\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.1 · 3.1.5 · p. Exercise 3.1.5
Show solution
Tabela DI com $D = x^2$ , $I = \sin x$ : $-x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C$ .
Ex. 85.7ApplicationAnswer key
Calcule $\int x^2 \cos x\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.1 · 3.1.6 · p. Exercise 3.1.6
Show solution
Tabela DI: $x^2 \sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$ .
Ex. 85.8ApplicationAnswer key
Calcule $\int x \ln x\, dx$ .
Solve online Active Calculus · §5.4 · 5.4.4 · p. Exercise 5.4.4
Show solution
$u = \ln x$ , $dv = x\, dx$ , $v = x^2/2$ . Resultado: $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$ .
Show step-by-step (with the why)
1. LIATE: $\ln x$ é Log, $x$ é Algébrico. Então $u = \ln x$ .
2. $dv = x\, dx$ , portanto $v = x^2/2$ ; $du = dx/x$ .
3. Aplique: $\frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}\, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\, dx$ .
4. Resultado: $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$ . Curiosidade: padrão geral é ∫ xⁿ ln x dx = xⁿ⁺¹ ln x/(n+1) − xⁿ⁺¹/(n+1)².
Ex. 85.9Application
Calcule $\int x^2 \ln x\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.2 · 6.2.5 · p. 291
Show solution
$u = \ln x$ , $dv = x^2\, dx$ . Resultado: $\frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C$ .
Ex. 85.10ApplicationAnswer key
Calcule $\int \arctan x\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.1 · 3.1.9 · p. Exercise 3.1.9
Show solution
$u = \arctan x$ , $dv = dx$ , $du = dx/(1+x^2)$ , $v = x$ . Resultado: $x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$ .
Ex. 85.11Application
Calcule $\int \arcsin x\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.2 · 6.2.6 · p. 291
Show solution
$u = \arcsin x$ , $dv = dx$ , $du = dx/\sqrt{1-x^2}$ , $v = x$ . Resultado: $x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$ .
Ex. 85.12Application
Calcule $\int x e^{2x}\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.1 · 3.1.7 · p. Exercise 3.1.7
Show solution
$u = x$ , $dv = e^{2x}\, dx$ , $v = e^{2x}/2$ . Resultado: $\frac{x e^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{4} + C$ .
Ex. 85.13Application
Calcule $\int x \cdot 2^x\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.2 · 6.2.7 · p. 292
Show solution
$u = x$ , $dv = 2^x\, dx$ , $v = 2^x/\ln 2$ . Resultado: $\frac{x \cdot 2^x}{\ln 2} - \frac{2^x}{(\ln 2)^2} + C$ .
Ex. 85.14Application
Calcule $\int x e^{-x}\, dx$ .
Solve online Active Calculus · §5.4 · 5.4.5 · p. Exercise 5.4.5
Show solution
$u = x$ , $dv = e^{-x}\, dx$ , $v = -e^{-x}$ . Resultado: $-xe^{-x} - e^{-x} + C = -e^{-x}(x+1) + C$ .
Ex. 85.15ApplicationAnswer key
Calcule $\int (\ln x)^2\, dx$ . Aplique partes duas vezes.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.1 · 3.1.11 · p. Exercise 3.1.11
Show solution
Aplique partes com $u = (\ln x)^2$ , $dv = dx$ . Após dois ciclos: $x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C$ .
Ex. 85.16Application
Calcule $\int e^x \cos x\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.2 · 6.2.9 · p. 294
Show solution
Duas aplicações com truque. Resultado: $\frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Defina $I = \int e^x \cos x\, dx$ . Aplique partes: $u = \cos x$ , $dv = e^x\, dx$ .
2. Resultado da 1.ª aplicação: $I = e^x \cos x + \int e^x \sin x\, dx$ .
3. Aplique partes novamente na nova integral: $u = \sin x$ , $dv = e^x\, dx$ . Obtém-se $e^x \sin x - \int e^x \cos x\, dx = e^x \sin x - I$ .
4. Substitua: $I = e^x \cos x + e^x \sin x - I$ , logo $2I = e^x(\cos x + \sin x)$ .
5. Resultado: $I = \frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C$ . Macete: quando a integral volta, isole I — é erro grave cancelar ambos os lados como zero.
Ex. 85.17Application
Calcule $\int e^x \sin x\, dx$ .
Solve online Active Calculus · §5.4 · 5.4.7 · p. Exercise 5.4.7
Show solution
Truque análogo ao 85.16: $\int e^x \sin x\, dx = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$ .
Ex. 85.18Application
Calcule $\int e^{2x} \cos(3x)\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.1 · 3.1.15 · p. Exercise 3.1.15
Show solution
Truque com $a = 2$ , $b = 3$ . Resultado: $\frac{e^{2x}(2\cos 3x + 3\sin 3x)}{13} + C$ .
Ex. 85.19Application
Calcule $\int e^{-x} \sin(2x)\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.2 · 6.2.10 · p. 294
Show solution
Resultado: $\frac{e^{-x}(-\sin 2x - 2\cos 2x)}{5} + C$ .
Ex. 85.20Application
Calcule $\int \cos x \ln(\sin x)\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.1 · 3.1.17 · p. Exercise 3.1.17
Show solution
Sub $t = \sin x$ primeiro, depois partes em $\int \ln t\, dt$ . Resultado: $\sin x \ln(\sin x) - \sin x + C$ .
Ex. 85.21Application
Calcule $\int \sec^3 x\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.3 · 6.3.1 · p. 300
Show solution
Partes com $u = \sec x$ , $dv = \sec^2 x\, dx$ mais identidade $\sec^2 = 1 + \tan^2$ . Resultado: $\frac{\sec x \tan x}{2} + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C$ .
Ex. 85.22ApplicationAnswer key
Calcule $\int \csc^3 x\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.3 · 6.3.2 · p. 301
Show solution
Análogo a sec³: $\int \csc^3 x\, dx = -\frac{\csc x \cot x}{2} - \frac{1}{2}\ln|\csc x + \cot x| + C$ .
Ex. 85.23ApplicationAnswer key
Calcule $\int_0^1 x e^x\, dx$ .
Solve online Active Calculus · §5.4 · 5.4.8 · p. Exercise 5.4.8
Show solution
Do indefinido $e^x(x-1)$ , avalie em $[0,1]$ : $[e^x(x-1)]_0^1 = e^1 \cdot 0 - e^0(-1) = 0 + 1 = 1$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule o antiderivado: $\int x e^x\, dx = e^x(x-1) + C$ (veja 85.1).
2. Avalie nos limites: $[e^x(x-1)]_0^1$ .
3. Em $x=1$ : $e^1(1-1) = 0$ . Em $x=0$ : $e^0(0-1) = -1$ .
4. Resultado: $0 - (-1) = 1$ . Curiosidade: área sob xeˣ em [0,1] é exatamente 1, um resultado elegante.
Ex. 85.24Application
Calcule $\int_0^\pi x \sin x\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.1 · 3.1.19 · p. Exercise 3.1.19
Show solution
Do indefinido $-x\cos x + \sin x$ , avalie em $[0,\pi]$ : $[-x\cos x + \sin x]_0^\pi = \pi + 0 - 0 = \pi$ .
Ex. 85.25Application
Calcule $\int_1^e \ln x\, dx$ .
Solve online Active Calculus · §5.4 · 5.4.9 · p. Exercise 5.4.9
Show solution
Do indefinido $x\ln x - x$ , avalie em $[1,e]$ : $[x\ln x - x]_1^e = (e - e) - (0 - 1) = 1$ .
Ex. 85.26Application
Calcule $\int_0^{\pi/2} x \cos x\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.2 · 6.2.11 · p. 295
Show solution
Do indefinido $x\sin x + \cos x$ , avalie em $[0, \pi/2]$ : $[x\sin x + \cos x]_0^{\pi/2} = \pi/2 + 0 - 1 = \pi/2 - 1$ .
Ex. 85.27Application
Calcule $\int_0^1 \arctan x\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.1 · 3.1.21 · p. Exercise 3.1.21
Show solution
Do indefinido $x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2)$ , avalie em $[0,1]$ : $\frac{\pi}{4} - \frac{\ln 2}{2}$ .
Ex. 85.28Application
Calcule $\int_1^2 x^2 \ln x\, dx$ .
Solve online Active Calculus · §5.4 · 5.4.10 · p. Exercise 5.4.10
Show solution
Do indefinido $\frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9}$ , avalie em $[1,2]$ : $\frac{8\ln 2}{3} - \frac{8}{9} + \frac{1}{9} = \frac{8\ln 2}{3} - \frac{7}{9}$ .
Ex. 85.29Application
Calcule $\int_0^1 x e^{-x}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.2 · 6.2.12 · p. 295
Show solution
Do indefinido $-e^{-x}(x+1)$ , avalie em $[0,1]$ : $-2e^{-1} - (-1) = 1 - 2/e$ .
Ex. 85.30Application
Calcule $\int_0^{\pi/2} e^x \sin x\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.1 · 3.1.23 · p. Exercise 3.1.23
Show solution
Do indefinido $\frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2}$ , avalie em $[0, \pi/2]$ : $\frac{e^{\pi/2} + 1}{2}$ .
Ex. 85.31ModelingAnswer key
Trabalho realizado por uma força $F(x) = x e^{-x}$ N ao longo de $[0, 1]$ m. Calcule $W = \int_0^1 F(x)\, dx$ .
Solve online Active Calculus · §5.4 · 5.4.12 · p. Exercise 5.4.12
Show solution
Trabalho $W = \int_0^1 x e^{-x}\, dx = 1 - 2e^{-1} \approx 0{,}26$ J. (Veja 85.29.)
Ex. 85.32ModelingAnswer key
Carga elétrica acumulada com corrente $i(t) = t\cos(\omega t)$ . Calcule $Q = \int_0^{2\pi/\omega} i(t)\, dt$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.1 · 3.1.25 · p. Exercise 3.1.25
Show solution
$\int_0^{2\pi/\omega} t\cos(\omega t)\, dt$ . Por partes: $u = t$ , $dv = \cos(\omega t)\, dt$ . Avaliando nos limites: resultado é $0$ (simetria do cosseno em período completo).
Ex. 85.33Modeling
Função Gama: calcule $\Gamma(2) = \int_0^\infty t e^{-t}\, dt$ e mostre que o resultado é $1$ .
Solve online Active Calculus · §5.4 · 5.4.13 · p. Exercise 5.4.13
Show solution
$\Gamma(2) = \int_0^\infty t e^{-t}\, dt$ . Por partes: $u = t$ , $dv = e^{-t}\, dt$ . Resultado: $[-te^{-t}]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-t}\, dt = 0 + 1 = 1$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Escreva a integral: $\int_0^\infty t e^{-t}\, dt$ . Aplique partes: $u = t$ , $dv = e^{-t}\, dt$ .
2. $du = dt$ , $v = -e^{-t}$ .
3. Resultado: $[-te^{-t}]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-t}\, dt$ .
4. O primeiro termo: $\lim_{t\to\infty} te^{-t} = 0$ (L'Hôpital). Em $t=0$ : $0$ . Logo contribuição é $0$ .
5. O segundo termo: $[-e^{-t}]_0^\infty = 0 - (-1) = 1$ . Curiosidade: Γ(n+1) = n! — a função Gama estende o fatorial a reais.
Ex. 85.34ModelingAnswer key
Esperança de variável exponencial: calcule $E[X] = \int_0^\infty x \lambda e^{-\lambda x}\, dx$ e mostre que o resultado é $1/\lambda$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.1 · 3.1.27 · p. Exercise 3.1.27
Show solution
$E[X] = \int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}\, dx$ . Por partes: $\lambda\left([-xe^{-\lambda x}/1]_0^\infty + \frac{1}{\lambda}\int_0^\infty e^{-\lambda x}\, dx\right) = \lambda \cdot \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda}$ .
Ex. 85.35Modeling
Variância da exponencial: calcule $E[X^2] = \int_0^\infty x^2 \lambda e^{-\lambda x}\, dx$ e determine $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ .
Solve online APEX Calculus · §6.2 · 6.2.15 · p. 296
Show solution
$E[X^2] = \int_0^\infty x^2 \lambda e^{-\lambda x}\, dx$ . Tabela DI: resultado $2/\lambda^2$ . Portanto variância $= E[X^2] - (E[X])^2 = 2/\lambda^2 - 1/\lambda^2 = 1/\lambda^2$ .
Ex. 85.36Modeling
Coeficiente de Fourier $a_n = (1/\pi)\int_{-\pi}^\pi x\cos(nx)\, dx$ . Determine $a_n$ para todo inteiro $n \geq 1$ .
Solve online Active Calculus · §5.4 · 5.4.14 · p. Exercise 5.4.14
Show solution
Por partes: $a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x\cos(nx)\, dx$ . Como $x\cos(nx)$ é produto de função ímpar ( $x$ ) e par ( $\cos(nx)$ ), é função ímpar. Integral de função ímpar em intervalo simétrico é $0$ . Logo $a_n = 0$ para todo $n$ .
Ex. 85.37Modeling
Transformada de Laplace de $t$ : mostre que $\mathcal{L}\{t\}(s) = \int_0^\infty t e^{-st}\, dt = 1/s^2$ para $s > 0$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.1 · 3.1.29 · p. Exercise 3.1.29
Show solution
$\mathcal{L}\{t\} = \int_0^\infty t e^{-st}\, dt$ . Por partes: $u = t$ , $dv = e^{-st}\, dt$ . Resultado: $[-t e^{-st}/s]_0^\infty + \frac{1}{s}\int_0^\infty e^{-st}\, dt = 0 + \frac{1}{s^2} = \frac{1}{s^2}$ .
Ex. 85.38Modeling
Valor presente de uma renda crescente $C(t) = t$ (em mil reais/ano) com taxa de desconto $r$ contínua em $[0, T]$ . Calcule $VP = \int_0^T t e^{-rt}\, dt$ .
Solve online APEX Calculus · §6.2 · 6.2.16 · p. 296
Show solution
VP = $\int_0^T t e^{-rt}\, dt$ . Por partes: $u = t$ , resultado: $\frac{1}{r^2}[1 - e^{-rT}(1 + rT)]$ .
Ex. 85.39Challenge
Calcule $\int x^3 e^{-x^2}\, dx$ . Pista: substitua $u = x^2$ primeiro, depois aplique partes.
Solve online Active Calculus · §5.4 · 5.4.15 · p. Exercise 5.4.15
Show solution
Sub $u = x^2$ : $\int x^3 e^{-x^2}\, dx = \frac{1}{2}\int u e^{-u}\, du$ . Por partes: $-\frac{1}{2}e^{-x^2}(x^2 + 1) + C$ .
Ex. 85.40ChallengeAnswer key
Calcule $\int e^{\sqrt{x}}\, dx$ . Pista: substitua $u = \sqrt{x}$ , depois aplique partes.
Solve online APEX Calculus · §6.2 · 6.2.17 · p. 297
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Sub $u = \sqrt{x}$ , $x = u^2$ , $dx = 2u\, du$ : integral vira $2\int u e^u\, du$ . Por partes: $2(u-1)e^u + C = 2(\sqrt{x} - 1)e^{\sqrt{x}} + C$ .
Ex. 85.41Challenge
Mostre por indução que $\int_0^\infty x^n e^{-x}\, dx = n!$ para todo inteiro $n \geq 0$ , usando integração por partes na etapa indutiva.
Active Calculus · §5.4 · 5.4.16 · p. Exercise 5.4.16
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Por partes: $\int_0^\infty x^n e^{-x}\, dx = n \int_0^\infty x^{n-1} e^{-x}\, dx$ . Por indução: $= n(n-1)\cdots 1 \int_0^\infty e^{-x}\, dx = n!$ .
Ex. 85.42Challenge
Seja $I_n = \int x^n e^x\, dx$ . Mostre que $I_n = x^n e^x - n I_{n-1}$ e use a fórmula para calcular $I_3$ .
Solve online APEX Calculus · §6.2 · 6.2.18 · p. 298
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Por partes com $u = x^n$ , $dv = e^x\, dx$ : $I_n = x^n e^x - n\int x^{n-1}e^x\, dx = x^n e^x - nI_{n-1}$ .
Ex. 85.43ChallengeAnswer key
Derive a fórmula de redução $\int \sin^n x\, dx = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}x\, dx$ e aplique para calcular $\int \sin^4 x\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.1 · 3.1.31 · p. Exercise 3.1.31
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Por partes com $u = \sin^{n-1}x$ , $dv = \sin x\, dx$ . Resultado: $\int \sin^n x\, dx = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}x\, dx$ . Use para $n = 4$ : $-\frac{\sin^3 x\cos x}{4} + \frac{3}{4}\int \sin^2 x\, dx$ .
Ex. 85.44Proof
Demonstração. Prove a fórmula $\int u\, dv = uv - \int v\, du$ a partir da regra do produto para derivadas e do Teorema Fundamental do Cálculo.
Solve online Active Calculus · §5.4 · Thm 5.4.1 · p. Theorem 5.4.1
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Pela regra do produto: $(uv)' = u'v + uv'$ . Integre ambos os lados em $[a,b]$ e aplique o TFC: $[uv]_a^b = \int_a^b u'v\, dx + \int_a^b uv'\, dx$ . Reorganizando: $\int_a^b uv'\, dx = [uv]_a^b - \int_a^b u'v\, dx$ , que em notação diferencial é $\int u\, dv = uv - \int v\, du$ .
Ex. 85.45Proof
Demonstração (informal). Justifique por que o LIATE é uma heurística eficaz: analise como cada tipo de função se comporta ao ser derivada e explique por que Log e Inv-trig são os candidatos prioritários para $u$ .
Solve online APEX Calculus · §6.2 · Remark 6.2.1 · p. 289
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Log: $(\ln x)' = 1/x$ — transcendente vira algébrico, redução. Inv-trig: $(\arctan x)' = 1/(1+x^2)$ — idem. Algébrico: $(x^n)' = nx^{n-1}$ — reduz grau. Trig/Exp: $(\sin x)' = \cos x$ , $(e^x)' = e^x$ — não simplificam. Logo as primeiras categorias são preferíveis como $u$ , pois ao derivar produzem integrais mais simples.

Fontes

Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §5.4. Fonte primária.
Calculus Volume 2 (OpenStax) — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA · §3.1.
APEX Calculus v5 — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC · §6.2–6.3.