v1 · padrão canônico

Lição 88 — Área entre curvas

A = ∫ₐᵇ [f(x) − g(x)] dx, com f ≥ g em [a, b]. Determinação de interseções, escolha do eixo de integração, cruzamento de curvas.

Used in: Cálculo II (Brasil) · Equiv. Math III japonês · Equiv. Analysis LK alemão · AP Calculus BC (EUA)

A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\, dx, \quad f(x) \geq g(x) \text{ em } [a, b]

Área entre curvas: integre a diferença superior menos inferior. Se as curvas trocam de posição, divida o intervalo nos pontos de cruzamento. Em alguns problemas, integrar em y simplifica a conta.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição, justificativa e procedimento

Definição e justificativa via Riemann

Definition· Área entre duas curvas

Sejam $f$ e $g$ contínuas em $[a, b]$ com $f(x) \geq g(x)$ para todo $x \in [a, b]$ . A área da região $R = \{(x, y) : a \leq x \leq b,\ g(x) \leq y \leq f(x)\}$ é

A(R) = \int_a^b [f(x) - g(x)]\, dx.

what this means · Fórmula fundamental para área entre curvas — integração da diferença superior menos inferior.

Justificativa: para cada $x_i^*$ em um subintervalo de comprimento $\Delta x$ , um retângulo de altura $[f(x_i^*) - g(x_i^*)]$ e largura $\Delta x$ aproxima a área local. A soma de Riemann $\sum_i [f(x_i^*) - g(x_i^*)]\Delta x$ converge para a integral quando $n \to \infty$ .

"The area of the region between the graphs of $f$ and $g$ is found by integrating the difference $f - g$ over the interval, provided $f \geq g$ throughout. If the graphs cross, break the interval at the crossing points." — Active Calculus §6.1

Integração em $y$

Esquerda: integração em x (retângulos verticais). Direita: integração em y (retângulos horizontais).

Procedimento geral

"Finding the area of a region between two curves requires careful attention to the sign of the integrand. Always determine which function is greater on the interval of integration." — APEX Calculus §7.1

Exemplos resolvidos

Example— 1· Área clássica x² e x (básico)

Problema. Calcule a área entre $y = x$ e $y = x^2$ no intervalo $[0, 1]$ .

Estratégia. Encontrar interseção, verificar qual está acima, integrar diferença.

Resolução.

Interseção: $x = x^2 \Rightarrow x(x-1) = 0 \Rightarrow x = 0$ ou $x = 1$ .

Em $(0, 1)$ : $x > x^2$ (verifique: $0{,}5 > 0{,}25$ ). Então $f = x$ , $g = x^2$ .

$A = \int_0^1 (x - x^2)\, dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.$

Verificação. $1/6 \approx 0{,}167$ . O esboço mostra a região triangular-curva cobrindo aproximadamente $17\%$ do quadrado $[0,1]^2$ . Plausível.

Fonte. Active Calculus §6.1, Activity 6.1.1 — CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Curvas com cruzamento — sin e cos (intermediário)

Problema. Calcule a área entre $y = \sin x$ e $y = \cos x$ em $[0, \pi/2]$ .

Estratégia. As curvas cruzam em $x = \pi/4$ . Dividir e integrar cada trecho separadamente.

Resolução.

Cruzamento: $\sin x = \cos x \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \pi/4$ .

Em $[0, \pi/4]$ : $\cos x \geq \sin x$ . Em $[\pi/4, \pi/2]$ : $\sin x \geq \cos x$ .

$A = \int_0^{\pi/4}(\cos x - \sin x)\, dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2}(\sin x - \cos x)\, dx$ .

$= [\sin x + \cos x]_0^{\pi/4} + [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$

$= (\sqrt{2} - 1) + ((-0 - 1) - (-\sqrt{2}/2 - \sqrt{2}/2))$

$= (\sqrt{2} - 1) + (-1 + \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2 \approx 0{,}83$ .

Verificação. Por simetria do problema, as duas parcelas são iguais: cada uma vale $\sqrt{2} - 1$ . Soma $= 2(\sqrt{2} - 1)$ . Consistente.

Fonte. APEX Calculus §7.1, Example 7.1.3 — CC-BY-NC.

Example— 3· Integração em y — parábola horizontal (intermediário)

Problema. Calcule a área da região delimitada por $x = y^2$ e $x = y + 2$ .

Estratégia. As curvas são mais naturais em $y$ . Encontrar interseção em $y$ , integrar $h(y) - k(y)$ .

Resolução.

Interseção: $y^2 = y + 2 \Rightarrow y^2 - y - 2 = 0 \Rightarrow (y-2)(y+1) = 0 \Rightarrow y = -1$ ou $y = 2$ .

Em $[-1, 2]$ : $y + 2 \geq y^2$ (verifique em $y = 0$ : $2 \geq 0$ ). Então $h = y + 2$ , $k = y^2$ .

$A = \int_{-1}^2 [(y + 2) - y^2]\, dy = \left[\frac{y^2}{2} + 2y - \frac{y^3}{3}\right]_{-1}^2.$

Em $y = 2$ : $2 + 4 - 8/3 = 6 - 8/3 = 10/3$ .

Em $y = -1$ : $1/2 - 2 + 1/3 = -7/6$ .

$A = 10/3 - (-7/6) = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 9/2$ .

Verificação. Integração em $x$ exigiria duas partes (a parábola $x = y^2$ tem duas "saídas" em $x$ ) — mais trabalhoso. A integração em $y$ foi mais eficiente.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §2.1, Example 2.5 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Excedente do consumidor (modelagem)

Problema. Curva de demanda $D(q) = 100 - q$ , preço de equilíbrio $p^* = 60$ , quantidade $Q^* = 40$ . Calcule o excedente do consumidor.

Estratégia. $CS = \int_0^{Q^*} [D(q) - p^*]\, dq$ — área entre a curva de demanda e a reta horizontal de preço.

Resolução.

$CS = \int_0^{40} [(100 - q) - 60]\, dq = \int_0^{40}(40 - q)\, dq = \left[40q - \frac{q^2}{2}\right]_0^{40} = 1600 - 800 = 800.$

Verificação. Geometricamente, a região é um triângulo de base $40$ e altura $D(0) - p^* = 40$ . Área = $(40 \cdot 40)/2 = 800$ . Confirma.

Fonte. Active Calculus §6.1, Exercise 6.1.5 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Área com subdivisão — polinômio cúbico (desafio)

Problema. Calcule a área total da região entre $y = x^3 - 4x$ e o eixo $x$ em $[-2, 2]$ .

Estratégia. Identificar onde $x^3 - 4x$ troca de sinal; dividir o intervalo; usar $|f|$ em cada parte.

Resolução.

Zeros: $x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x = -2, 0, 2$ .

Em $[-2, 0]$ : $f(x) = x^3 - 4x \geq 0$ (verifique $f(-1) = -1 + 4 = 3 > 0$ ).

Em $[0, 2]$ : $f(x) \leq 0$ (verifique $f(1) = 1 - 4 = -3 < 0$ ).

$A = \int_{-2}^0 (x^3 - 4x)\, dx + \int_0^2 [0 - (x^3 - 4x)]\, dx$ .

Para a 1.ª parte: $\left[\frac{x^4}{4} - 2x^2\right]_{-2}^0 = 0 - (4 - 8) = 4$ .

Para a 2.ª parte: $\left[-\frac{x^4}{4} + 2x^2\right]_0^2 = (-4 + 8) - 0 = 4$ .

$A = 4 + 4 = 8$ .

Verificação. Por simetria ímpar de $f$ , as duas áreas são iguais. Total $= 8$ .

Fonte. APEX Calculus §7.1, Example 7.1.4 — CC-BY-NC.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 18Modeling 7Challenge 3Proof 2

Ex. 88.1Application
Calcule a área entre $y = x$ e $y = x^2$ em $[0, 1]$ .
Solve online Active Calculus · §6.1 · 6.1.1 · p. Activity 6.1.1
Show solution
Interseção: $x = x^2 \Rightarrow x = 0, 1$ . Em $(0,1)$ : $x > x^2$ . Área: $\int_0^1(x-x^2)\, dx = 1/2 - 1/3 = 1/6$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Interseção: $x = x^2 \Rightarrow x(x-1) = 0 \Rightarrow x = 0, 1$ .
2. Verifique em $x = 0{,}5$ : $0{,}5 > 0{,}25$ , então $y = x$ é superior.
3. Integre: $\int_0^1 (x - x^2)\, dx = [x^2/2 - x^3/3]_0^1 = 1/2 - 1/3 = 1/6$ .
4. Resultado: $1/6 \approx 0{,}167$ . Macete: sempre verifique a ordem das curvas com um ponto interior antes de integrar.
Ex. 88.2ApplicationAnswer key
Calcule a área entre $y = x^2$ e $y = 2x$ .
Solve online APEX Calculus · §7.1 · 7.1.1 · p. 355
Show solution
Interseção de $x^2$ e $2x$ : $x^2 = 2x \Rightarrow x = 0, 2$ . Em $(0,2)$ : $2x > x^2$ . Área: $\int_0^2 (2x - x^2)\, dx = [x^2 - x^3/3]_0^2 = 4 - 8/3 = 4/3$ .
Ex. 88.3Application
Calcule a área entre $y = \sqrt{x}$ e $y = x$ em $[0, 1]$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §2.1 · 2.1.1 · p. Exercise 2.1.1
Show solution
Interseção em $x=0$ e $x=1$ . Em $(0,1)$ : $\sqrt{x} > x$ . Área: $\int_0^1(\sqrt{x}-x)\, dx = [2x^{3/2}/3 - x^2/2]_0^1 = 2/3 - 1/2 = 1/6$ .
Ex. 88.4Application
Calcule a área entre $y = x^2$ e $y = x^3$ em $[0, 1]$ .
Solve online APEX Calculus · §7.1 · 7.1.2 · p. 356
Show solution
Em $[0,1]$ : $x^2 > x^3$ (verifique em $x=0{,}5$ : $0{,}25 > 0{,}125$ ). Área: $\int_0^1(x^2-x^3)\, dx = 1/3 - 1/4 = 1/12$ .
Ex. 88.5Application
Calcule a área entre $y = \sin x$ e o eixo $x$ em $[0, \pi]$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §2.1 · 2.1.3 · p. Exercise 2.1.3
Show solution
Em $[0,\pi]$ : $\sin x \geq 0$ . Área: $\int_0^\pi \sin x\, dx = [-\cos x]_0^\pi = 1 + 1 = 2$ .
Ex. 88.6Application
Calcule a área entre $y = \cos x$ e o eixo $x$ em $[0, \pi]$ .
Solve online APEX Calculus · §7.1 · 7.1.3 · p. 357
Show solution
$\cos x$ é positivo em $[0,\pi/2]$ e negativo em $[\pi/2, \pi]$ . Área total: $\int_0^{\pi/2}\cos x\, dx + \int_{\pi/2}^\pi (-\cos x)\, dx = 1 + 1 = 2$ .
Ex. 88.7Application
Calcule a área entre $y = e^x$ e $y = e^{-x}$ em $[0, 1]$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §2.1 · 2.1.5 · p. Exercise 2.1.5
Show solution
$e^x > e^{-x}$ em $[0,1]$ . Área: $\int_0^1 (e^x - e^{-x})\, dx = [e^x + e^{-x}]_0^1 = (e + 1/e) - 2$ .
Ex. 88.8ApplicationAnswer key
Calcule a área entre $y = \ln x$ e o eixo $x$ em $[1, e]$ .
Solve online APEX Calculus · §7.1 · 7.1.4 · p. 358
Show solution
$\ln x \geq 0$ em $[1, e]$ . Área: $\int_1^e \ln x\, dx = [x\ln x - x]_1^e = (e - e) - (0 - 1) = 1$ .
Ex. 88.9Application
Calcule a área entre $y = \sin x$ e $y = \cos x$ em $[0, \pi/2]$ .
Solve online Active Calculus · §6.1 · 6.1.3 · p. Activity 6.1.3
Show solution
Cruzamento em $x = \pi/4$ . Área: $\int_0^{\pi/4}(\cos x - \sin x)\, dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2}(\sin x - \cos x)\, dx = (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{2}-2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Cruzamento: $\sin x = \cos x \Rightarrow x = \pi/4$ .
2. Em $[0,\pi/4]$ : cos está acima. Em $[\pi/4, \pi/2]$ : sin está acima.
3. Primeira integral: $[\sin x + \cos x]_0^{\pi/4} = \sqrt{2} - 1$ .
4. Segunda integral: $[-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{\pi/2} = \sqrt{2} - 1$ .
5. Total: $2\sqrt{2} - 2 \approx 0{,}83$ . Curiosidade: as duas partes são iguais por simetria em relação a x = π/4.
Ex. 88.10Application
Calcule a área entre $y = x^2 - 1$ e $y = 1 - x^2$ .
Solve online APEX Calculus · §7.1 · 7.1.6 · p. 360
Show solution
Interseção: $x^2 - 1 = 1 - x^2 \Rightarrow x = \pm 1$ . Em $(-1,1)$ : $1-x^2 > x^2-1$ . Área: $\int_{-1}^1 2(1-x^2)\, dx = 2[x - x^3/3]_{-1}^1 = 2 \cdot 4/3 = 8/3$ .
Ex. 88.11Application
Calcule a área entre $y = x^3$ e $y = x$ em $[-1, 1]$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §2.1 · 2.1.7 · p. Exercise 2.1.7
Show solution
Interseção em $x=-1,0,1$ . $x^3 - x$ muda sinal nesses pontos. Área total (3 pedaços): $\int_{-1}^0(x^3-x)\, dx + \int_0^1(-( x^3-x))\, dx$ . Cada integral vale $1/4$ . Total: $1/2$ .
Ex. 88.12Application
Calcule a área entre $y = x^2 - 4x + 3$ e o eixo $x$ em $[0, 4]$ .
Solve online APEX Calculus · §7.1 · 7.1.7 · p. 361
Show solution
Zeros de $x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$ : $x=1,3$ . Em $[1,3]$ : parabola está abaixo de 0. Área: $\int_0^1(x^2-4x+3)\, dx + \int_1^3(-(x^2-4x+3))\, dx + \int_3^4(x^2-4x+3)\, dx$ . Calcule cada parte.
Ex. 88.13Application
Calcule a área entre $x = y^2$ e $x = y$ em $[0, 1]$ (em $y$ ).
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §2.1 · 2.1.9 · p. Exercise 2.1.9
Show solution
Em $y$ : integre $x = y$ menos $x = y^2$ em $[0,1]$ . Área: $\int_0^1(y - y^2)\, dy = 1/2 - 1/3 = 1/6$ .
Ex. 88.14Application
Calcule a área entre $x = y^2$ e $x = 4$ (integre em $y$ ).
Solve online APEX Calculus · §7.1 · 7.1.8 · p. 362
Show solution
Interseção de $y^2$ e $4$ : $y = \pm 2$ . Em $[-2,2]$ : $x=4$ está à direita de $x=y^2$ . Área: $\int_{-2}^2(4-y^2)\, dy = [4y - y^3/3]_{-2}^2 = (8-8/3) - (-8+8/3) = 32/3$ .
Ex. 88.15Application
Calcule a área entre $x = y^2 - 2$ e $x = y$ (integre em $y$ ).
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §2.1 · 2.1.11 · p. Exercise 2.1.11
Show solution
Interseção de $y^2-2$ e $y$ : $y^2-y-2=0 \Rightarrow y=-1,2$ . Em $[-1,2]$ : $x=y > x=y^2-2$ . Área: $\int_{-1}^2(y-(y^2-2))\, dy = \int_{-1}^2(y-y^2+2)\, dy = 9/2$ .
Ex. 88.16Application
Calcule a área entre $y = 4 - x^2$ e $y = x + 2$ .
Solve online APEX Calculus · §7.1 · 7.1.9 · p. 363
Show solution
Interseção de $4-x^2$ e $x+2$ : $4-x^2=x+2 \Rightarrow x^2+x-2=0 \Rightarrow x=-2,1$ . Área: $\int_{-2}^1[(4-x^2)-(x+2)]\, dx = \int_{-2}^1(2-x-x^2)\, dx = 9/2$ .
Ex. 88.17ApplicationAnswer key
Calcule a área entre $y = x^4$ e $y = 8x$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §2.1 · 2.1.13 · p. Exercise 2.1.13
Show solution
Interseção: $x^4 = 8x \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x=2$ (e $x=0$ ). Em $[0,2]$ : $8x > x^4$ . Área: $\int_0^2(8x-x^4)\, dx = [4x^2 - x^5/5]_0^2 = 16 - 32/5 = 48/5$ .
Ex. 88.18Application
Usando o resultado do exercício 88.9, determine a área entre $y = \sin x$ e $y = \cos x$ em $[0, \pi/2]$ verificando a simetria das duas parcelas.
Solve online APEX Calculus · §7.1 · 7.1.10 · p. 364
Show solution
Cruzamento em $x=\pi/4$ (já calculado em 88.9). Área em $[0,\pi/4]$ : $\sqrt{2}-1$ . Por simetria, área em $[\pi/4, \pi/2]$ também é $\sqrt{2}-1$ . Total: $2\sqrt{2}-2$ .
Ex. 88.19Modeling
Curva de demanda $D(q) = 100 - q$ , preço de equilíbrio $p^* = 60$ . Calcule o excedente do consumidor $CS = \int_0^{Q^*} [D(q) - p^*]\, dq$ .
Solve online Active Calculus · §6.1 · 6.1.5 · p. Exercise 6.1.5
Show solution
Excedente do consumidor: $CS = \int_0^{40}(100-q-60)\, dq = \int_0^{40}(40-q)\, dq = [40q - q^2/2]_0^{40} = 1600 - 800 = 800$ . Geometricamente, triângulo de base 40 e altura 40: área = 800.
Show step-by-step (with the why)
1. Equilíbrio: $D(Q^*)=p^* \Rightarrow 100-Q^*=60 \Rightarrow Q^*=40$ .
2. Fórmula: $CS = \int_0^{40}[D(q)-p^*]\, dq$ .
3. Calcule: $\int_0^{40}(40-q)\, dq = [40q-q^2/2]_0^{40} = 1600-800 = 800$ .
4. Verificação geométrica: triângulo com base $Q^*=40$ e altura $D(0)-p^*=40$ , área $= 40\cdot 40/2 = 800$ . Curiosidade: em demandas lineares, o excedente do consumidor é sempre um triângulo — fácil de calcular sem integral.
Ex. 88.20Modeling
Curva de oferta $S(q) = 20 + q/2$ , preço de equilíbrio $p^* = 40$ . Calcule o excedente do produtor $PS = \int_0^{Q^*} [p^* - S(q)]\, dq$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §2.1 · 2.1.17 · p. Exercise 2.1.17
Show solution
Equilíbrio: $20 + q/2 = 40 \Rightarrow q/2 = 20 \Rightarrow Q^* = 40$ . $PS = \int_0^{40}[40-(20+q/2)]\, dq = \int_0^{40}(20-q/2)\, dq = [20q-q^2/4]_0^{40} = 800 - 400 = 400$ .
Ex. 88.21ModelingAnswer key
Receita marginal $R'(t) = 100$ R$/dia e custo marginal $C'(t) = 50 + 5t$ R$/dia. Calcule o lucro líquido máximo acumulado e em que dia $t$ o custo ultrapassa a receita.
Solve online Active Calculus · §6.1 · 6.1.6 · p. Exercise 6.1.6
Show solution
Receita marginal $R'=100$ , custo marginal $C'=50+5t$ . Lucro líquido: $\int_0^T(100-(50+5t))\, dt = \int_0^T(50-5t)\, dt = [50t - 5t^2/2]_0^T$ . Cruza zero em $t=10$ . Lucro máximo: $[50t-5t^2/2]_0^{10} = 500-250=250$ .
Ex. 88.22Modeling
Calcule a área da elipse $x^2/9 + y^2/4 = 1$ via $A = 4\int_0^3 (2/3)\sqrt{9 - x^2}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §7.1 · 7.1.12 · p. 366
Show solution
Área da elipse: sub trig $x = a\sin\theta$ em $4\int_0^a(b/a)\sqrt{a^2-x^2}\, dx = 4(b/a)\cdot(\pi a^2/4) = \pi ab$ .
Ex. 88.23Modeling
Calcule a área entre a parábola $y = x^2$ e sua reta tangente no ponto $(1, 1)$ em $[0, 2]$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §2.1 · 2.1.19 · p. Exercise 2.1.19
Show solution
Área entre curva e sua tangente em $x=1$ : tangente é $y = 2x - 1$ . Interseção: $x^2 = 2x-1 \Rightarrow (x-1)^2 = 0 \Rightarrow x=1$ (ponto único — tangente). A área entre $x^2$ e $2x-1$ em $[0,2]$ : onde $x^2 \geq 2x-1$ ? Em $[0,1]$ e $[1,2]$ : $x^2 \geq 2x-1$ sempre (tangente toca por baixo). Área: $\int_0^2(x^2-(2x-1))\, dx = [x^3/3 - x^2 + x]_0^2 = 8/3 - 4 + 2 = 2/3$ .
Ex. 88.24ModelingAnswer key
Calcule a área entre $y = 1/(1+x^2)$ e $y = 1/2$ , na região onde a primeira está acima.
Solve online APEX Calculus · §7.1 · 7.1.13 · p. 367
Show solution
Área entre $y = 1/(1+x^2)$ e $y = 1/2$ : interseção em $1/(1+x^2) = 1/2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ . Em $[-1,1]$ : $1/(1+x^2) \geq 1/2$ . Área: $\int_{-1}^1[1/(1+x^2) - 1/2]\, dx = [\arctan x - x/2]_{-1}^1 = (\pi/4 - 1/2) - (-\pi/4 + 1/2) = \pi/2 - 1$ .
Ex. 88.25Modeling
Calcule a área total entre $y = x^3 - 4x$ e o eixo $x$ em $[-2, 2]$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §2.1 · 2.1.21 · p. Exercise 2.1.21
Show solution
Área total entre $y = x^3-4x$ e eixo $x$ em $[-2,2]$ . Zeros em $x = -2, 0, 2$ . Por simetria ímpar, cada metade tem a mesma área. Em $[-2,0]$ : $\int_{-2}^0(x^3-4x)\, dx = [x^4/4-2x^2]_{-2}^0 = 0-(-4) = 4$ . Total: $8$ .
Ex. 88.26Challenge
Compare as duas abordagens para a área entre $y = x^2$ e $y = 4$ : integração em $x$ e em $y$ . Calcule pelas duas formas e verifique que coincidem.
Solve online Active Calculus · §6.1 · 6.1.7 · p. Exercise 6.1.7
Show solution
Área entre $x^2$ e $4$ integrada em $x$ : interseção em $x=\pm 2$ , resultado $\int_{-2}^2(4-x^2)\, dx = 32/3$ . Integrada em $y$ : $\int_0^4 2\sqrt{y}\, dy = [4y^{3/2}/3]_0^4 = 32/3$ . Ambas dão $32/3$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Em $x$ : interseção em $x=\pm 2$ . Área: $\int_{-2}^2(4-x^2)\, dx = [4x-x^3/3]_{-2}^2 = (8-8/3) - (-8+8/3) = 32/3$ .
2. Em $y$ : para dado $y$ , a largura é $2\sqrt{y}$ (de $-\sqrt{y}$ a $\sqrt{y}$ ). Área: $\int_0^4 2\sqrt{y}\, dy = [4y^{3/2}/3]_0^4 = 32/3$ . Curiosidade: as duas abordagens devem dar o mesmo resultado — é uma boa verificação!
Ex. 88.27Challenge
Calcule a área da cardióide $r = 1 + \cos\theta$ em coordenadas polares: $A = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} r^2\, d\theta$ .
Solve online APEX Calculus · §7.1 · 7.1.15 · p. 369
Show solution
Polares: $A = (1/2)\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2\, d\theta$ . Expanda: $(1+\cos\theta)^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta$ . Integre: $(1/2)[2\pi + 0 + \pi] = 3\pi/2$ .
Ex. 88.28ChallengeAnswer key
Área entre $y = e^{-x^2}$ e o eixo $x$ em $(-\infty, +\infty)$ . O resultado é $\sqrt{\pi}$ — mostre que esta integral não tem fórmula elementar, mas pode ser calculada pelo truque da integral gaussiana em polares.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §2.1 · 2.1.23 · p. Exercise 2.1.23
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Área entre $e^{-x^2}$ e $0$ em $(-\infty, +\infty)$ : $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\, dx = \sqrt{\pi}$ (integral gaussiana — demonstrada por integração dupla em polares). A área é $\sqrt{\pi} \approx 1{,}77$ .
Ex. 88.29Proof
Demonstração. Mostre que $A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\, dx$ é o limite das somas de Riemann com retângulos verticais de altura $f(x_i^*) - g(x_i^*)$ .
Solve online Active Calculus · §6.1 · Area formula derivation · p. Theorem 6.1.1
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Partição de $[a,b]$ em $n$ subintervalos de comprimento $\Delta x = (b-a)/n$ . Em cada subintervalo com ponto amostra $x_i^*$ , o retângulo vertical tem base $\Delta x$ e altura $f(x_i^*) - g(x_i^*)$ . Área aproximada: $S_n = \sum_{i=1}^n [f(x_i^*) - g(x_i^*)]\Delta x$ . Por definição da integral de Riemann, $\lim_{n\to\infty} S_n = \int_a^b [f(x)-g(x)]\, dx$ .
Ex. 88.30ProofAnswer key
Demonstração. Verifique a fórmula de Green $A = \frac{1}{2}\oint_{\partial R}(x\, dy - y\, dx)$ para o quadrado unitário $[0,1]^2$ calculando a integral de linha ao longo de cada aresta.
Solve online APEX Calculus · §7.1 · Green formula proof · p. 370
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Para o quadrado unitário parametrizado por $(x(t), y(t)) = (t,0), (1,t), (1-t,1), (0,1-t)$ para $t \in [0,1]$ cada lado. Aplique $A = (1/2)\oint(x\, dy - y\, dx)$ : cada segmento contribui 1/4. Total: 1. Confirma área do quadrado.

Fontes

Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §6.1. Fonte primária.
APEX Calculus v5 — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC · §7.1.
Calculus Volume 2 (OpenStax) — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA · §2.1.

Definição, justificativa e procedimento

Definição e justificativa via Riemann

Integração em yyy

Procedimento geral

Exemplos resolvidos

Fontes

Integração em $y$