Cálculo 4 — EDOs Avançadas e Métodos Matemáticos

Equações diferenciais de 2ª ordem (massa-mola, RLC), sistemas de EDOs, transformadas de Laplace e Fourier (ferramentas-chave em sinais e sistemas), introdução a EDP (ondas, calor, Laplace) e análise numérica aplicada.

40 lições4 unidades60h/semestre

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Equivalência: USP MAT0116 (parcial) · ITA MA-021 (parte II) · UNICAMP MA311 (avançado) · disciplina de Métodos Matemáticos

Pré-requisitos

Cálculo 1, 2 e 3 completos
Álgebra Linear (autovalores e autovetores)

Unidade 1 — EDOs Lineares de 2ª Ordem e Sistemas

Solução completa: homogênea + particular; sistemas de EDOs; espaço de fase.

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Lição 1
EDOs lineares de 2ª ordem: equação característica
ay″+by′+cy=0, raízes reais distintas, repetidas e complexas
ref: Boyce & DiPrima §3.1–3.4 · Guidorizzi vol. 2 §12.1
em breve
Lição 2
Método dos coeficientes indeterminados
ay″+by′+cy=g(x), g polinomial/exponencial/trig, ressonância
ref: Boyce & DiPrima §3.5 · Stewart §17.2 · Guidorizzi §12.2
em breve
Lição 3
Método da variação dos parâmetros
Wronskiano, W₁, W₂, u₁′ e u₂′, solução geral com g(x) arbitrário
ref: Boyce & DiPrima §3.6 · Stewart §17.3 · Guidorizzi §12.3
em breve
Lição 4
Modelo massa-mola: vibração livre e forçada
Oscilação livre amortecida/subamortecida/criticamente amortecida, ressonância
ref: Boyce & DiPrima §3.7–3.8 · REAMAT §14.2
em breve
Lição 5
Circuito RLC como EDO de 2ª ordem
L q″+Rq′+q/C = E(t), analogia com massa-mola, filtros
ref: Boyce & DiPrima §3.8 · REAMAT §14.3
em breve
Lição 6
Sistemas de EDOs de 1ª ordem: forma matricial
x′ = Ax, solução via autovalores, espaço de fase
ref: Boyce & DiPrima §7.1–7.5 · Guidorizzi §13.1
em breve
Lição 7
Sistemas de EDOs: raízes complexas e repetidas
Espirais, centros, nós, selas — classificação de pontos de equilíbrio
ref: Boyce & DiPrima §7.6–7.8 · Strogatz §5.2
em breve
Lição 8
Exponencial de matriz e solução geral de x′=Ax
e^(At), fórmula de Cayley-Hamilton, implementação
ref: Boyce & DiPrima §7.7 · Apostol II §11.11
em breve
Lição 9
Sistemas de EDOs não-lineares: linearização
Ponto de equilíbrio, Jacobiano, estabilidade de Lyapunov
ref: Boyce & DiPrima §9.1–9.3 · Strogatz §6.1–6.3
em breve
Lição 10
Workshop Unidade 1 — EDOs de 2ª Ordem e Sistemas
Problemas de vibrações, circuitos e espaço de fase estilo USP/ITA
ref: REAMAT cap. 14 · Boyce & DiPrima Listas 3 e 7
em breve

Unidade 2 — Transformadas de Laplace e Fourier

Transformada de Laplace para resolução de EDOs com condições iniciais; série e transformada de Fourier para análise de sinais.

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Lição 11
Transformada de Laplace: definição e propriedades
ℒ{f}(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt, transformadas elementares, linearidade
ref: Boyce & DiPrima §6.1 · REAMAT §15.1
em breve
Lição 12
Propriedades da Laplace: derivação, integração, translação
ℒ{f′}=sF−f(0), ℒ{e^(at)f}=F(s−a), translação no tempo
ref: Boyce & DiPrima §6.2–6.3 · REAMAT §15.2
em breve
Lição 13
Transformada inversa: frações parciais e tabelas
ℒ⁻¹, decomposição em frações parciais, Heaviside
ref: Boyce & DiPrima §6.2 · REAMAT §15.3
em breve
Lição 14
Resolução de EDOs e sistemas via Laplace
Aplicação a y″+by′+cy=g(t) com CI, circuito RLC
ref: Boyce & DiPrima §6.4 · REAMAT §15.4
em breve
Lição 15
Função de Heaviside e delta de Dirac
u_c(t), ℒ{u_c}, δ(t−c), resposta impulsiva
ref: Boyce & DiPrima §6.3–6.5 · REAMAT §15.5
em breve
Lição 16
Convolução e Teorema de Convolução
(f*g)(t) = ∫₀ᵗ f(τ)g(t−τ)dτ, ℒ{f*g}=F·G, função de transferência
ref: Boyce & DiPrima §6.6 · REAMAT §15.6
em breve
Lição 17
Série de Fourier: coeficientes e convergência
Coeficientes aₙ, bₙ, série complexa, convergência pontual
ref: Boyce & DiPrima §10.2–10.3 · REAMAT §9.6
em breve
Lição 18
Série de Fourier: seno, cosseno, forma complexa
Série de seno e cosseno em [0,L], forma exponencial, parseval
ref: Boyce & DiPrima §10.4 · REAMAT §9.7
em breve
Lição 19
Transformada de Fourier
ℱ{f}(ω), inversa, propriedades, convolução, análise espectral
ref: Boyce & DiPrima §10.6 · REAMAT §9.8
em breve
Lição 20
Workshop Unidade 2 — Transformadas
Resolução de EDOs e sistemas via Laplace; análise de sinais periódicos
ref: REAMAT cap. 15 · Boyce & DiPrima Listas 6 e 10
em breve

Unidade 3 — Análise Numérica Aplicada

Erros, zeros de funções, interpolação, integração numérica e métodos para EDOs.

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Lição 21
Aritmética de ponto flutuante e análise de erros
IEEE 754, erro de representação, cancelamento catastrófico, propagação
ref: REAMAT §2.1 · Burden & Faires §1.2
em breve
Lição 22
Zeros de funções: bisseção e ponto fixo
Convergência de bisseção, teorema do ponto fixo de Banach
ref: REAMAT §5.1 · Burden & Faires §2.1–2.2
em breve
Lição 23
Newton-Raphson multivariável e método da secante
Sistema F(x)=0, Jacobiano, taxa de convergência quadrática
ref: REAMAT §5.2–5.3 · Burden & Faires §2.3
em breve
Lição 24
Interpolação polinomial: Lagrange e Newton
Polinômio de Lagrange, diferenças divididas, erro de interpolação
ref: REAMAT §7.1–7.2 · Burden & Faires §3.1–3.3
em breve
Lição 25
Interpolação por splines cúbicas
Splines naturais e not-a-knot, sistema tridiagonal, suavidade C²
ref: REAMAT §7.3 · Burden & Faires §3.5
em breve
Lição 26
Integração numérica: trapézio, Simpson e Gauss
Fórmulas de Newton-Cotes, erro, quadratura de Gauss-Legendre
ref: REAMAT §6.6 · Burden & Faires §4.1–4.3
em breve
Lição 27
Sistemas lineares: eliminação de Gauss e fatoração LU
Pivoteamento parcial, fatoração PA=LU, condicionamento, norma de matriz
ref: REAMAT §8.1–8.2 · Burden & Faires §6.1–6.4
em breve
Lição 28
Métodos iterativos: Jacobi, Gauss-Seidel
Convergência (raio espectral), critério de parada, SOR
ref: REAMAT §8.3 · Burden & Faires §7.1–7.3
em breve
Lição 29
Métodos numéricos para EDOs: Runge-Kutta e Adams
RK4, métodos multipasso Adams-Bashforth, controle de passo
ref: REAMAT §10.4–10.5 · Burden & Faires §5.1–5.4
em breve
Lição 30
Workshop Unidade 3 — Análise Numérica
Implementação em Python: bisseção, LU, RK4; interpretação de erros
ref: REAMAT · Burden & Faires selecionados
em breve

Unidade 4 — Equações Diferenciais Parciais e Síntese Final

Introdução às EDPs clássicas (ondas, calor, Laplace) e conexão com as demais disciplinas do programa.

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Lição 31
Introdução às EDPs: classificação e exemplos
Elíptica, parabólica, hiperbólica — exemplos físicos canônicos
ref: Boyce & DiPrima §10.1 · REAMAT §16.1
em breve
Lição 32
Equação da onda: separação de variáveis
u_tt = c²u_xx, modos normais, problema de valor inicial
ref: Boyce & DiPrima §10.7 · REAMAT §16.2
em breve
Lição 33
Equação do calor
u_t = αu_xx, solução por Fourier, estado estacionário
ref: Boyce & DiPrima §10.5 · REAMAT §16.3
em breve
Lição 34
Equação de Laplace e problema de Dirichlet
∇²u=0, harmônicas, solução via separação em retângulo e disco
ref: Boyce & DiPrima §10.8 · REAMAT §16.4
em breve
Lição 35
Método de diferenças finitas para EDPs
Discretização, estabilidade (von Neumann), implementação Laplace 2D
ref: Burden & Faires §12.1–12.2 · REAMAT §16.5
em breve
Lição 36
Funções especiais: Bessel e Legendre (introdução)
Equação de Bessel, Jₙ(x), equação de Legendre, Pₙ(x)
ref: Boyce & DiPrima §11.4–11.5
em breve
Lição 37
Análise complexa: números complexos, funções analíticas
ℂ, funções holomorfas, equações de Cauchy-Riemann
ref: Guidorizzi vol. 4 §1.1–1.3 · Churchill §1–2
em breve
Lição 38
Integral de Cauchy e Teorema dos Resíduos
∮_C f dz, fórmula integral de Cauchy, pólos, cálculo de integrais reais
ref: Guidorizzi vol. 4 §2 · Churchill §4–6
em breve
Lição 39
Conexão: Black-Scholes como EDP parabólica
∂V/∂t + ½σ²S²∂²V/∂S² + rS∂V/∂S − rV = 0, substituição para equação do calor
ref: Wilmott §5 · REAMAT §16.6
em breve
Lição 40
Workshop Final — Cálculo 4 e síntese do programa de Engenharia
Prova simulada completa: 25 questões cobrindo Cálculo 1–4
ref: REAMAT · ITA/USP provas históricas · Boyce & DiPrima revisão geral
em breve