Cálculo 3 — Várias Variáveis e Cálculo Vetorial

Estende o cálculo para ℝⁿ: limites e continuidade em várias variáveis, derivadas parciais, otimização irrestrita e restrita (Lagrange), integrais duplas/triplas em diferentes sistemas de coordenadas e os grandes teoremas do cálculo vetorial (Green, Stokes, Gauss).

40 lições4 unidades90h/semestre

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Equivalência: USP MAT0115 · ITA MA-021 (parcial) · UNICAMP MA311 · típico 3.º semestre

Pré-requisitos

Cálculo 1 e 2 completos
Álgebra Linear (Ensino Médio Ano 3, Trim 12)

Unidade 1 — Funções de Várias Variáveis

Geometria em ℝ³, topologia básica, limites e continuidade para f: ℝⁿ → ℝ.

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Lição 1
Vetores em ℝ³: produto vetorial e produto misto
u×v, [u,v,w], área de paralelogramo, volume de paralelepípedo
ref: Stewart §12.4–12.5 · Guidorizzi vol. 2 §1.3–1.4
em breve
Lição 2
Retas, planos e superfícies em ℝ³
Equações de reta/plano, quádricas (elipsóide, parabolóide, hiperbolóide)
ref: Stewart §12.5–12.6 · Guidorizzi §1.5–1.6
em breve
Lição 3
Curvas no espaço: funções vetoriais
r(t), tangente, comprimento de arco, curvatura, vetor normal
ref: Stewart §13.1–13.3 · Guidorizzi §2.1–2.3
em breve
Lição 4
Funções f: ℝⁿ → ℝ: domínio, gráfico, curvas de nível
Superfícies de nível, contornos, visualização de f(x,y)
ref: Stewart §14.1 · Guidorizzi §3.1 · OpenStax Calc III §4.1
em breve
Lição 5
Limite e continuidade em várias variáveis
Definição ε-δ em ℝⁿ, caminhos de aproximação, descontinuidades
ref: Stewart §14.2 · Guidorizzi §3.2 · Apostol II §12.1
em breve
Lição 6
Derivadas parciais: definição e cálculo
∂f/∂x, ∂f/∂y via limite, interpretação geométrica, regras algébricas
ref: Stewart §14.3 · Guidorizzi §3.3 · OpenStax Calc III §4.3
em breve
Lição 7
Derivadas de ordem superior e Teorema de Schwarz
∂²f/∂x², ∂²f/∂x∂y, Hessiana, fxy=fyx (condições Schwarz)
ref: Stewart §14.3 · Guidorizzi §3.4
em breve
Lição 8
Plano tangente e diferencial total
z−z₀ = fx(x₀,y₀)(x−x₀)+fy(x₀,y₀)(y−y₀), diferenciabilidade
ref: Stewart §14.4 · Active Calculus §10.4 · Guidorizzi §3.5
em breve
Lição 9
Regra da cadeia e derivadas implícitas em várias variáveis
df/dt = ∂f/∂x·dx/dt+..., F(x,y,z)=0 → ∂z/∂x implícita
ref: Stewart §14.5 · Guidorizzi §3.6 · OpenStax Calc III §4.5
em breve
Lição 10
Workshop Unidade 1 — Geometria em ℝ³ e Derivadas Parciais
Problemas integrados, estilo USP/UNICAMP
ref: REAMAT cap. 11 · Guidorizzi Lista IX
em breve

Unidade 2 — Derivadas Parciais e Otimização

Gradiente, otimização irrestrita e método dos multiplicadores de Lagrange.

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Lição 11
Gradiente e derivada direcional
∇f, derivada direcional Dᵤf = ∇f·u, direção de máximo crescimento
ref: Stewart §14.6 · Guidorizzi §3.7 · OpenStax Calc III §4.6
em breve
Lição 12
Superfícies de nível e planos tangentes via gradiente
∇F normal à superfície, plano tangente a F(x,y,z)=c
ref: Stewart §14.6 · Apostol II §12.7
em breve
Lição 13
Extremos livres: pontos críticos e Hessiana
Condições de 1ª e 2ª ordem, classificação via det(H), selas
ref: Stewart §14.7 · Guidorizzi §4.1 · OpenStax Calc III §4.7
em breve
Lição 14
Multiplicadores de Lagrange
∇f = λ∇g, restrição g(x,y,z)=c, casos com duas restrições
ref: Stewart §14.8 · Guidorizzi §4.2 · Active Calculus §10.8
em breve
Lição 15
Mínimos quadrados via cálculo multivariável
OLS como problema de otimização, gradiente igualado a zero
ref: Apostol II §12.13 · REAMAT §11.5
em breve
Lição 16
Teorema da função implícita
Condições para resolver F(x,y)=0 localmente, Jacobiano
ref: Apostol II §13.1 · Guidorizzi §4.3
em breve
Lição 17
Transformações e Jacobiano
J(u,v)→(x,y), mudança de variáveis em integrais duplas via Jacobiano
ref: Stewart §15.9 · Guidorizzi §5.4
em breve
Lição 18
Séries de Taylor para funções de várias variáveis
Polinômio de Taylor de 2ª ordem em ℝⁿ, forma quadrática Hessiana
ref: Apostol II §12.10 · Guidorizzi §4.4
em breve
Lição 19
Aplicações em termodinâmica e engenharia
Relações de Maxwell, potencial elétrico, análise de sensibilidade
ref: REAMAT §11.6 · Stewart §14 (exemplos)
em breve
Lição 20
Workshop Unidade 2 — Otimização Multivariável
Problemas de Lagrange e otimização irrestrita estilo USP/ITA
ref: REAMAT cap. 11 · Guidorizzi Lista X · Apostol II cap. 12
em breve

Unidade 3 — Integrais Múltiplas

Integrais duplas e triplas, mudança de variáveis, aplicações geométricas e físicas.

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Lição 21
Integral dupla sobre retângulo: definição e Fubini
Sumas duplas de Riemann, Teorema de Fubini, iteração de integrais
ref: Stewart §15.1–15.2 · Guidorizzi §5.1 · OpenStax Calc III §5.1
em breve
Lição 22
Integral dupla sobre região geral (tipo I e II)
Limites variáveis de integração, trocar ordem
ref: Stewart §15.3 · Active Calculus §11.1 · Guidorizzi §5.2
em breve
Lição 23
Integrais duplas em coordenadas polares
∬f(r,θ) r dr dθ, região polar, aplicação em distribuição gaussiana
ref: Stewart §15.4 · Guidorizzi §5.3 · OpenStax Calc III §5.3
em breve
Lição 24
Aplicações de integrais duplas: área, massa, centroide
Área, massa com densidade variável, centro de massa, momento de inércia
ref: Stewart §15.5–15.6 · Active Calculus §11.4
em breve
Lição 25
Integral tripla: Fubini em ℝ³
∭f dV, iteração, troca de ordem, volume de sólidos
ref: Stewart §15.7 · Guidorizzi §5.5 · OpenStax Calc III §5.4
em breve
Lição 26
Coordenadas cilíndricas
(r,θ,z), elemento de volume r dr dθ dz, aplicação em sólidos de revolução
ref: Stewart §15.8 · Guidorizzi §5.6 · Active Calculus §11.6
em breve
Lição 27
Coordenadas esféricas
(ρ,θ,φ), elemento de volume ρ² sin φ dρ dθ dφ, esferas e cones
ref: Stewart §15.9 · Guidorizzi §5.7 · OpenStax Calc III §5.5
em breve
Lição 28
Mudança de variáveis via Jacobiano
∭f dV = ∭f(T)·|J| du dv dw, exemplos gerais
ref: Stewart §15.10 · Apostol II §11.4
em breve
Lição 29
Aplicações: fluxo de calor, distribuições de carga, probabilidade
Densidade de carga elétrica, função de distribuição conjunta
ref: REAMAT §12.5 · Stewart §15.6
em breve
Lição 30
Workshop Unidade 3 — Integrais Múltiplas
Problemas integrados em coordenadas variadas, estilo USP/UNICAMP
ref: REAMAT cap. 12 · Guidorizzi Lista XI
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Unidade 4 — Cálculo Vetorial

Campos vetoriais, integrais de linha e de superfície, teoremas de Green, Stokes e Gauss.

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Lição 31
Campos vetoriais: definição, exemplos, campo gradiente
F: ℝⁿ→ℝⁿ, campo conservativo, potencial escalar
ref: Stewart §16.1 · Guidorizzi §6.1 · OpenStax Calc III §6.1
em breve
Lição 32
Integrais de linha (trabalho)
∫_C F·dr, independência do caminho, campos conservativos
ref: Stewart §16.2–16.3 · Guidorizzi §6.2
em breve
Lição 33
Teorema de Green
∮_C F·dr = ∬_D (∂Q/∂x−∂P/∂y)dA, área via Green, forma de fluxo
ref: Stewart §16.4 · Guidorizzi §6.3 · Apostol II §10.7
em breve
Lição 34
Rotacional e divergência
curl F = ∇×F, div F = ∇·F, interpretações físicas
ref: Stewart §16.5 · Guidorizzi §6.4 · OpenStax Calc III §6.5
em breve
Lição 35
Superfícies parametrizadas e integrais de superfície
r(u,v), elemento de área dS, ∬_S f dS
ref: Stewart §16.6–16.7 · Guidorizzi §6.5
em breve
Lição 36
Integrais de superfície de campos vetoriais (fluxo)
∬_S F·dS = ∬_S F·n dS, fluxo elétrico e magnético
ref: Stewart §16.7 · Guidorizzi §6.6
em breve
Lição 37
Teorema de Stokes
∮_C F·dr = ∬_S (∇×F)·dS, interpretação como generalização de Green
ref: Stewart §16.8 · Guidorizzi §6.7 · Apostol II §11.6
em breve
Lição 38
Teorema da Divergência (Gauss-Ostrogradski)
∬_S F·dS = ∭_V div F dV, lei de Gauss, equações de Maxwell
ref: Stewart §16.9 · Guidorizzi §6.8 · Apostol II §11.7
em breve
Lição 39
Equações de Maxwell como aplicação do cálculo vetorial
∇·E=ρ/ε₀, ∇×B=μ₀J, ∇·B=0, ∇×E=−∂B/∂t
ref: REAMAT §13.5 · Apostol II §11.8
em breve
Lição 40
Workshop Final — Cálculo 3
Prova simulada completa: integrais múltiplas e cálculo vetorial
ref: REAMAT cap. 13 · Guidorizzi Lista XII · ITA provas
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