Cálculo 2 — Técnicas, Séries e EDOs

Aprofunda o cálculo integral com técnicas avançadas, estende o conceito de integral para o caso impróprio, introduz sequências e séries (com convergência rigorosa) e apresenta as equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem — modelo matemático central em engenharia.

40 lições4 unidades90h/semestre

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Equivalência: USP MAT0112 · ITA MA-012 · UNICAMP MA211 · típico 2.º semestre

Pré-requisitos

Cálculo 1 completo

Unidade 1 — Técnicas Avançadas de Integração

Ampliar o repertório de técnicas para calcular integrais.

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Lição 1
Integração por partes
∫u dv = uv − ∫v du, tabela, integrais cíclicas, fórmula de redução
ref: Stewart §7.1 · Guidorizzi §6.1 · Active Calculus §5.4
em breve
Lição 2
Integrais trigonométricas
∫sinⁿx cosᵐx, ∫tanⁿx, ∫secⁿx, identidades de Pitágoras
ref: Stewart §7.2 · Guidorizzi §6.2 · OpenStax Calc II §3.2
em breve
Lição 3
Substituição trigonométrica
√(a²−x²), √(a²+x²), √(x²−a²) — escolha de substituição
ref: Stewart §7.3 · Guidorizzi §6.3 · OpenStax Calc II §3.3
em breve
Lição 4
Integração por frações parciais
Decomposição racional (fatores simples, repetidos, irredutíveis)
ref: Stewart §7.4 · Guidorizzi §6.4 · Active Calculus §5.5
em breve
Lição 5
Integrais de funções hiperbólicas e inversas
sinh, cosh, tanh e suas integrais; ∫1/√(x²±a²)
ref: Stewart §6.7 · Guidorizzi §6.5
em breve
Lição 6
Estratégias de integração e tabelas
Seleção de técnica, uso de tabelas, CAS como verificação
ref: Stewart §7.5 · OpenStax Calc II §3.5
em breve
Lição 7
Integrais impróprias de 1.º tipo (limites infinitos)
∫[a,+∞)f, ∫(−∞,b]f, ∫(−∞,+∞)f — convergência e divergência
ref: Stewart §7.8 · Guidorizzi §7.1 · Active Calculus §6.5
em breve
Lição 8
Integrais impróprias de 2.º tipo (descontinuidades)
Integrando com singularidade, teste de comparação
ref: Stewart §7.8 · Guidorizzi §7.2
em breve
Lição 9
Aplicações: distribuições de probabilidade contínuas
Função densidade, E[X], Var[X], distribuição exponencial, gaussiana
ref: Stewart §7.9 (aplicação) · REAMAT §6.5
em breve
Lição 10
Workshop Unidade 1 — Técnicas de Integração
Banco de 40 integrais de nível USP/ITA/UNICAMP
ref: REAMAT cap. 6 · Guidorizzi Lista V · Stewart cap. 7 exercícios
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Unidade 2 — Sequências e Séries Numéricas

Convergência rigorosa de sequências e séries; critérios aplicáveis em engenharia.

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Lição 11
Sequências: limite, monotonia, limitação
Definição ε-N, sequências monótonas e limitadas, Bolzano-Weierstrass
ref: Stewart §11.1 · Guidorizzi §8.1 · Apostol I §10.1–10.4
em breve
Lição 12
Séries numéricas: definição e convergência
Sequência de somas parciais, série geométrica, série harmônica
ref: Stewart §11.2 · Guidorizzi §8.2 · Apostol I §10.5
em breve
Lição 13
Critérios de convergência I: integral e comparação
Teste da integral (Cauchy), comparação direta e limite
ref: Stewart §11.3–11.4 · Guidorizzi §8.3
em breve
Lição 14
Critérios de convergência II: razão, raiz, Leibniz
Teste da razão (D'Alembert), raiz (Cauchy), séries alternadas (Leibniz)
ref: Stewart §11.5–11.6 · Guidorizzi §8.4
em breve
Lição 15
Convergência absoluta e condicional
Séries absolutamente convergentes, Teorema de Riemann sobre rearranjos
ref: Stewart §11.6 · Apostol I §10.14–10.16
em breve
Lição 16
Séries de potências: raio e intervalo de convergência
Σ aₙ(x−c)ⁿ, raio via fórmula de Hadamard, derivação e integração termo a termo
ref: Stewart §11.8–11.9 · Guidorizzi §8.6 · Apostol I §11.1–11.5
em breve
Lição 17
Série de Taylor e Maclaurin
f(x) = Σf^(n)(a)/n! (x−a)ⁿ, desenvolvimentos clássicos (eˣ, sin, cos, ln, ...)
ref: Stewart §11.10 · Guidorizzi §8.7 · Active Calculus §8.5
em breve
Lição 18
Erro de truncamento e estimativas
Resto de Lagrange, grau necessário para precisão ε
ref: Stewart §11.11 · Guidorizzi §8.8
em breve
Lição 19
Aplicações de séries: cálculo de limites e integrais
Limite via expansão, ∫sin(x²)dx, ∫e^(−x²)dx, soma de séries conhecidas
ref: Stewart §11.11 · REAMAT §9.5
em breve
Lição 20
Workshop Unidade 2 — Séries
Problemas de convergência e aplicações estilo USP/ITA
ref: REAMAT cap. 9 · Guidorizzi Lista VII · Apostol I cap. 10
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Unidade 3 — Equações Diferenciais de 1ª Ordem

Modelagem, resolução analítica e qualitativa de EDOs de 1ª ordem.

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Lição 21
Introdução a EDOs: classificação e modelagem
Ordem, grau, tipo (linear/não-linear), campo de direções
ref: Boyce & DiPrima §1.1–1.3 · Stewart §9.1 · REAMAT §10.1
em breve
Lição 22
EDOs separáveis
dy/dx = g(x)h(y), separação de variáveis, soluções implícitas e explícitas
ref: Boyce & DiPrima §2.2 · Stewart §9.3 · OpenStax Calc II §4.3
em breve
Lição 23
EDOs lineares de 1ª ordem
y′+P(x)y = Q(x), fator integrante μ(x) = e^∫P(x)dx
ref: Boyce & DiPrima §2.1 · Stewart §9.5 · Active Calculus §7.4
em breve
Lição 24
Equação de Bernoulli
y′+P(x)y = Q(x)yⁿ, substituição v=y^(1−n)
ref: Boyce & DiPrima §2.4 · Guidorizzi vol. 2 §11.3
em breve
Lição 25
Equações exatas e fator integrante
M dx + N dy = 0, ∂M/∂y = ∂N/∂x, determinação de fator integrante
ref: Boyce & DiPrima §2.6 · Guidorizzi §11.2
em breve
Lição 26
Existência e unicidade (Picard-Lindelöf)
Teorema de Picard, iterações de Picard, exemplos e contra-exemplos
ref: Boyce & DiPrima §2.8 · Apostol I §8.3
em breve
Lição 27
Modelo logístico e equações autônomas
y′=ry(1−y/K), diagrama de fase 1D, pontos de equilíbrio, estabilidade
ref: Boyce & DiPrima §2.5 · Stewart §9.4 · Active Calculus §7.5
em breve
Lição 28
Método de Euler e métodos numéricos básicos
Euler explícito, Euler melhorado, Runge-Kutta 4ª ordem (esboço)
ref: Boyce & DiPrima §8.1 · REAMAT §10.4
em breve
Lição 29
Aplicações de EDOs de 1ª ordem em engenharia
Circuito RC, lei de Newton de resfriamento, mistura de soluções, queda livre com arrasto
ref: Boyce & DiPrima §2.3 · REAMAT §10.3 · Stewart §9.4
em breve
Lição 30
Workshop Unidade 3 — EDOs de 1ª Ordem e síntese de Cálculo 2
Problemas integrados: técnicas, séries e EDOs
ref: REAMAT cap. 10 · Boyce & DiPrima cap. 2 · ITA provas
em breve

Unidade 4 — Tópicos Integradores de Cálculo 2

Coordenadas paramétricas e polares, integrais relacionadas e problemas de engenharia que unem os três blocos anteriores.

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Lição 31
Curvas paramétricas
x=f(t), y=g(t), tangente, comprimento de arco paramétrico
ref: Stewart §10.1–10.2 · Guidorizzi §9.1
em breve
Lição 32
Coordenadas polares
r=f(θ), área em polares A = ½∫r²dθ, comprimento de arco polar
ref: Stewart §10.3–10.4 · Guidorizzi §9.2
em breve
Lição 33
Cônicas em coordenadas polares
r = ed/(1+e cosθ), excentricidade, órbitas kepleranas
ref: Stewart §10.6 · Apostol I §13.8
em breve
Lição 34
Funções hiperbólicas: integrais e EDOs
cosh, sinh, tanh — integrais, equação da catenária
ref: Stewart §6.7 · Guidorizzi §6.6
em breve
Lição 35
Série de Fourier (introdução)
Coeficientes de Fourier, convergência pontual, fenômeno de Gibbs
ref: Boyce & DiPrima §10.2 · REAMAT §9.6
em breve
Lição 36
Aplicações de séries de Taylor em física e engenharia
Expansão de potencial elétrico, aproximações de pequenas oscilações
ref: Stewart §11.11 · REAMAT §9.5
em breve
Lição 37
Integração numérica
Regras de trapézio, Simpson 1/3, erro, quadratura de Gauss
ref: Stewart §7.7 · REAMAT §6.6 · OpenStax Calc II §3.6
em breve
Lição 38
Integrais dependentes de parâmetro (diferenciação sob o sinal)
Regra de Leibniz: d/dα ∫f(x,α)dx = ∫∂f/∂α dx
ref: Apostol I §12.1 · Guidorizzi §7.4
em breve
Lição 39
Problema inverso: identificação de primitivas difíceis
∫e^(−x²)dx (função erro), ∫sin(x²)dx (Fresnel), liouvillianos
ref: REAMAT §6.7 · Apostol I §11.6
em breve
Lição 40
Workshop Final — Cálculo 2
Prova simulada completa: 20 questões nível USP/ITA
ref: REAMAT · ITA provas 2010–2024 · Guidorizzi Listas V–VIII
em breve