Cálculo 1 — Diferencial e Integral

Fundação rigorosa do cálculo de uma variável real. Cobre limites (ε-δ), derivadas e suas aplicações, integral de Riemann e o Teorema Fundamental do Cálculo. Ao final, o aluno consegue modelar e resolver problemas de otimização, taxa de variação e cálculo de áreas que aparecem em todas as engenharias.

40 lições4 unidades90h/semestre

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Equivalência: USP MAC0105 / MAT0111 · ITA MA-011 · UNICAMP MA111 · IME/UFRJ · típico 1.º semestre

Pré-requisitos

Ensino Médio otimizado completo (Anos 1-3)
Em especial: limites intuitivos (Lição 19 e 41–50), derivada (Lições 51–60), integral (Lições 81–90)

Unidade 1 — Limites e Continuidade

Definição rigorosa ε-δ, técnicas de cálculo de limites, continuidade e teoremas fundamentais (TVI, Weierstrass).

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Lição 1
Revisão: números reais, supremo e ínfimo
Completude de ℝ, sup/inf, Axioma de Arquimedes, densidade de ℚ
ref: Guidorizzi vol. 1 §1.1–1.3 · Apostol I §I 3–4
em breve
Lição 2
Limite de função: definição ε-δ →
Definição de Cauchy, unicidade do limite, limites laterais
ref: Stewart §2.4 · Guidorizzi §2.1 · OpenStax Calc I §2.5
publicada
Lição 3
Técnicas algébricas de cálculo de limites
Álgebra de limites, fatoração, racionalização, Teorema do Confronto
ref: Stewart §2.3 · Active Calculus §1.2 · OpenStax Calc I §2.3
em breve
Lição 4
Limites fundamentais
lim(sin x)/x = 1, lim(1+1/n)^n = e, lim(e^x−1)/x = 1
ref: Guidorizzi §2.3 · Stewart §3.3 Nota · REAMAT cap. 2
em breve
Lição 5
Limites no infinito e assíntotas
Comportamento assintótico, assíntotas horizontais e oblíquas
ref: Stewart §2.6 · OpenStax Calc I §4.6
em breve
Lição 6
Continuidade: definição e classificação de descontinuidades
Continuidade no ponto e no intervalo, descontinuidades removível/salto/essencial
ref: Stewart §2.5 · Guidorizzi §2.4 · Active Calculus §1.7
em breve
Lição 7
Teorema do Valor Intermediário (TVI)
Enunciado, demonstração, zeros de funções contínuas, aplicações (bisseção)
ref: Stewart §2.5 · Apostol I §3.11 · OpenStax Calc I §2.4
em breve
Lição 8
Teorema de Weierstrass (máximo e mínimo)
Funções contínuas em compactos, existência de extremos globais
ref: Guidorizzi §2.5 · Apostol I §3.16
em breve
Lição 9
Limites de sequências: formalização ε-N
Sequências convergentes, monotona limitada, Bolzano-Weierstrass
ref: Guidorizzi §1.4–1.6 · Apostol I §10.1–10.3
em breve
Lição 10
Workshop Unidade 1 — Limites e Continuidade
Resolução de problemas integrados, estilo FUVEST/ITA/ENEM
ref: REAMAT cap. 1–2 · Guidorizzi Lista I · ITA provas 2010–2024
em breve

Unidade 2 — Derivadas

Derivada como limite do quociente diferencial, regras de derivação e derivadas das funções elementares.

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Lição 11
Derivada: definição via limite
Quociente de Newton Δy/Δx → dy/dx, interpretação geométrica (reta tangente) e física (velocidade)
ref: Stewart §2.1–2.2 · Guidorizzi §3.1 · Active Calculus §1.3
em breve
Lição 12
Regras de derivação: soma, produto, quociente
(f+g)′=f′+g′, (fg)′, (f/g)′, derivada da potência x^n
ref: Stewart §2.3 · OpenStax Calc I §3.3 · Active Calculus §2.1
em breve
Lição 13
Regra da cadeia
(f∘g)′(x) = f′(g(x))·g′(x), exemplos encadeados, notação de Leibniz
ref: Stewart §2.5 · Guidorizzi §3.3 · Active Calculus §2.5
em breve
Lição 14
Derivadas das funções trigonométricas e inversas
(sin)′=cos, (cos)′=−sin, (tan)′=sec², (arctan)′, (arcsin)′
ref: Stewart §2.4 e §2.6 · Guidorizzi §3.4
em breve
Lição 15
Derivadas das funções exponencial e logarítmica
(e^x)′=e^x, (ln x)′=1/x, (a^x)′, (log_a x)′, derivação logarítmica
ref: Stewart §3.1–3.3 · OpenStax Calc I §3.9 · Active Calculus §2.6
em breve
Lição 16
Derivação implícita
F(x,y)=0 → dy/dx, derivada de função inversa via implícita
ref: Stewart §2.6 · Active Calculus §2.7 · Guidorizzi §3.5
em breve
Lição 17
Derivadas de ordem superior
f′′, f^(n), notação, aceleração, concavidade
ref: Stewart §2.7 · OpenStax Calc I §3.5
em breve
Lição 18
Diferenciabilidade e aproximação linear
Diferencial dy = f′(x)dx, approximação f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)
ref: Stewart §3.10 · Active Calculus §1.8 · Guidorizzi §3.6
em breve
Lição 19
Taxas relacionadas
dy/dt = f′(x)·dx/dt, problemas de engenharia e física
ref: Stewart §2.8 · OpenStax Calc I §4.1 · Active Calculus §3.5
em breve
Lição 20
Workshop Unidade 2 — Derivadas
Problemas integrados, estilo ITA/USP/UNICAMP
ref: REAMAT cap. 3 · ITA provas 2015–2024 · Guidorizzi Lista II
em breve

Unidade 3 — Aplicações da Derivada

Usar a derivada para analisar funções, resolver otimização e construir aproximações polinomiais.

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Lição 21
Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio (TVM)
Enunciados, demonstrações, aplicações: monotonicidade, funções constantes
ref: Stewart §3.2 · Guidorizzi §4.1 · Apostol I §4.1–4.3
em breve
Lição 22
Crescimento, decrescimento e teste da 1ª derivada
f′>0 → crescente, pontos críticos, extremos locais
ref: Stewart §3.3 · Active Calculus §3.1 · OpenStax Calc I §4.3
em breve
Lição 23
Concavidade, inflexão e teste da 2ª derivada
f′′>0 → convexa, pontos de inflexão, teste de segunda derivada
ref: Stewart §3.4 · Active Calculus §3.1 · Guidorizzi §4.2
em breve
Lição 24
Esboço sistemático de gráficos
Análise completa: domínio, simetria, assíntotas, monotonia, concavidade
ref: Stewart §3.5 · Guidorizzi §4.3 · OpenStax Calc I §4.5
em breve
Lição 25
Máximos e mínimos globais
Extremos em intervalos fechados, algoritmo de busca
ref: Stewart §3.1 · Active Calculus §3.3 · OpenStax Calc I §4.2
em breve
Lição 26
Otimização aplicada
Problemas reais: dimensões ótimas, custo mínimo, lucro máximo
ref: Stewart §3.7 · Active Calculus §3.4 · REAMAT cap. 4
em breve
Lição 27
Regra de L'Hôpital e formas indeterminadas
0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞−∞, 0^0, 1^∞, ∞^0
ref: Stewart §3.7 · Guidorizzi §4.4 · Apostol I §7.12
em breve
Lição 28
Polinômio de Taylor e série de Taylor
f(x) = Σ f^(k)(a)/k! (x−a)^k, resto de Lagrange, erro de truncamento
ref: Stewart §11.11 · Guidorizzi §4.5 · Apostol I §7.7
em breve
Lição 29
Método de Newton-Raphson
Iteração xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ), convergência, implementação
ref: Stewart §3.8 · REAMAT §5.2 · Active Calculus §3.8
em breve
Lição 30
Workshop Unidade 3 — Aplicações da Derivada
Problemas integrados estilo ITA/IME/vestibular de engenharia
ref: REAMAT cap. 4 · ITA 2018–2024 · Guidorizzi Lista III
em breve

Unidade 4 — Integral de Riemann

Construção rigorosa da integral definida, Teorema Fundamental do Cálculo e primeiras aplicações.

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Lição 31
Somas de Riemann e integral definida
Partições, soma inferior/superior, definição de ∫[a,b]f(x)dx
ref: Stewart §4.1–4.2 · Guidorizzi §5.1 · Apostol I §1.7–1.10
em breve
Lição 32
Propriedades da integral definida
Linearidade, aditividade, monotonia, módulo
ref: Stewart §4.2 · OpenStax Calc I §5.2 · Active Calculus §4.3
em breve
Lição 33
Antiderivada e integral indefinida
F′=f, constante de integração, primitivas imediatas
ref: Stewart §4.4 · Guidorizzi §5.2 · Active Calculus §4.4
em breve
Lição 34
Teorema Fundamental do Cálculo (TFC1 e TFC2)
G(x) = ∫[a,x]f, G′=f; ∫[a,b]f = F(b)−F(a)
ref: Stewart §4.3–4.4 · Guidorizzi §5.3 · Apostol I §5.1
em breve
Lição 35
Técnica de substituição (mudança de variável)
u-substitution, método geral, casos trigonométricos simples
ref: Stewart §4.5 · Active Calculus §5.3 · OpenStax Calc I §5.5
em breve
Lição 36
Área entre curvas
A = ∫(f−g)dx, integração em relação a y
ref: Stewart §5.1 · Active Calculus §6.1 · OpenStax Calc I §6.1
em breve
Lição 37
Volume por discos e cascas cilíndricas
Sólidos de revolução, método dos discos/anéis e das cascas
ref: Stewart §5.2–5.3 · OpenStax Calc I §6.2–6.3
em breve
Lição 38
Comprimento de arco e área de superfície de revolução
ds = √(1+[f′]²)dx, área de superfície = 2π∫f·ds
ref: Stewart §5.4 · Guidorizzi §5.5 · OpenStax Calc I §6.4
em breve
Lição 39
Aplicações físicas: trabalho, pressão, centro de massa
W = ∫F dx, força hidrostática, centroides
ref: Stewart §5.5 · REAMAT §6.4 · OpenStax Calc I §6.5
em breve
Lição 40
Workshop Unidade 4 — Integral e síntese de Cálculo 1
Problemas integrados, prova-modelo estilo USP/ITA
ref: REAMAT cap. 5–6 · Guidorizzi Lista IV · ITA provas 2010–2024
em breve